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參考答案
一、單項選擇題（共8題，共40分）
1. 【答案】C
2. 【答案】C
3. 【答案】C
【解析】拋物線 ： 的焦點為 和準線 ：，作圖如下：
由 ，可得 ，過 作 于 ，設 與 軸交于 ，則 ，
結合圖形可發現三角形 與三角形 相似，則有對應線段成比例．
因為 ，
所以 ，，．
4. 【答案】A
【解析】因為 是第三象限角，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
5. 【答案】C
【解析】因為等比數列 的公比 ，
所以 ，，
所以 ，又 ，所以 ．
6. 【答案】B
7. 【答案】C
【解析】由題意設 ，，
則 ，．
因為 ，
所以 ，
解得 ，，
所以 ，
設 ，
則
兩式作差可得 ，
所以 ，
又 ，即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以橢圓的離心率 為 ．
8. 【答案】D
【解析】依題意，當 時， 恒成立，
令 ，，則 ，
又 ，
所以 在 上單調遞減，
所以 ，即 ．
故選：D．
二、多項選擇題（共3題，共18分）
9. 【答案】A；B；C
【解析】函數 的最小正周期為 ，故A選項正確．
由 ，解得 ，所以函數 在區間 上單調遞增，故B選項正確．
由于 ，所以直線 是圖象 的一條對稱軸，故C選項正確．
向右平移 得到 ，故D選項錯誤．
10. 【答案】A；B；C
【解析】如圖所示，該幾何體可補形為正方體，以 為坐標原點，，， 所在直線分別為 軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系．
由正方體的性質易得 ，故A正確．
該幾何體的外接球與正方體的外接球相同，其外接球半徑為 ，故外接球的表面積為 ，故B正確．
由題意可得 ，，，，，
所以 ，．
設平面 的法向量為 ．
由 得
令 ，得 ，，則 ．
當 為 的中點時，，
則 ，
所以 ，
又因為 ，
所以 ，故C正確．
設 ，
則 ，
故當 時， 取得最小值，
且最小值為 ，故D錯誤．
11. 【答案】B；C；D
三、填空題（共3題，共15分）
12. 【答案】 ；
13. 【答案】
【解析】因為六名同學排成一排合影，要求同學校的同學相鄰，
所以由捆綁法，可得 ．
14. 【答案】②④
四、解答題（共5題，共77分）
15. 【答案】
(1) 由正弦定理，得 ，
則 ，
因為 ，
則 ，
又 ，
所以 ．
(2) 由（）知：，又 ，
所以 ，
又 ，
根據正弦定理，得 ，
又 ，
則 ，
所以 ，．
16. 【答案】
(1) 列聯表為
(2) 根據上述列聯表可以求得 ，所以有 的把握認為學生的數學成績與物理成績之間有關系．
17. 【答案】
(1) 因為底面 是菱形，
所以 ，
又因為 ，，
所以 ，
又因為 ，，， 四點共面，且 ，
所以 ．
(2) 取 中點 ，連接 ， ,
因為 ，
所以 ，
又因為 ，且 ，
所以 ,
所以 ．
在菱形 中，
因為 ，， 是 中點，
所以 ，
如圖，建立空間直角坐直角坐標系，已知 ，則 ，，，，，，
又 ，點 是棱 的中點，
所以點 是棱 中點，
所以 ，，，，
設平面 的法向量為 ，
則有 ，
所以 ，
不妨令 ，則平面 的一個法向量為 ，
因為 ，
所以 是平面 的一個法向量，
因為 ，
所以平面 與平面 所成的銳二面角的余弦值為 ．
18. 【答案】
(1) ．
(2) ，，設 ，由 ，結合圖形可得
，此時直線 可設為：，由
（負舍）
19. 【答案】
(1) 當 時，，，，
設 圖象上任意一點 ，
切線 斜率為 ，
過點 的切線方程為 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為 ，
所以與坐標軸圍成的三角形的面積與切點無關．
(2) 由題意，函數 的定義域為 ，
因為 在 上單調遞減，
所以 在 上恒成立，
即當 ， 恒成立，
所以 ，
因為當 ，，當且僅當 時取等號，
所以當 時，，
所以 ，
所以 的取值范圍為 ．
(3) 時，零點個數為 ；，零點個數為 ； 時，零點個數為 ．
【解析】
(3) 時， 零點個數為 ；， 零點個數為 ； 時， 零點個數為 ，顯然 不是 的零點，
所以 ，
令 ， 且 ，
則 ，
，，
所以 在 單調遞減，在 ， 單調遞增，
所以在 時， 有極小值 ；在 時，，
所以 如圖：
所以 時，零點個數為 ；，零點個數為 ； 時，零點個數為 ．環縣第一中學2024-2025學年度第二學期高三模擬考試
高三 數學
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
設集合 ，，，則
A． B． C． D．
已知復數 ，則復數 的共軛復數
A． B． C． D．
已知拋物線 ： 的焦點為 ，準線為 ，過點 的直線交 于點 ，與拋物線的一個交點為 ，且 則
A． B． C． D．
已知 是第三象限角，且 ，則
A． B． C． D．
設等比數列 的公比 ，前 項和為 ，則
A． B． C． D．
如圖，在平行四邊形 中，點 是 的中點，若 ，，則
A． B． C． D．
已知橢圓 ，點 ， 在橢圓上，直線 過原點 ，過點 且垂直于 的直線交橢圓于點 ，過 點且垂直于 軸的直線交橢圓于點 ，直線 交 于點 ，若 ，則橢圓 的離心率 為
A． B． C． D．
若函數 ，當 時， 恒成立，則 的取值范圍
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.
記函數 的圖象為 ，則下列結論正確的是
A．函數 的最小正周期為
B．函數 在區間 上單調遞增
C．直線 是圖象 的一條對稱軸
D．將函數 的圖象向右平移 個單位長度，得到圖象
如圖，四邊形 是邊長為 的正方形，，，且 ， 為線段 上的動點，則下列結論中正確的是
A．
B．該幾何體外接球的表面積為
C．若 為 的中點，則
D． 的最小值為
關于函數 ，則下列結論正確的是
A．存在正實數 ，使得 恒成立
B．函數 有且只有 個零點
C． 是 的極小值點
D．對任意兩個正實數 ，，且 ，若 ，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
若 展開式的二項式系數之和為 ，則 ，其展開式中的含 項的系數為 ．（用數字作答）
在市數學競賽中，A，B，C三間學校分別有 名、 名、 名同學獲一等，將這六名同學排成一排合影，要求同學校的同學相鄰，那么不同的排法共有 種．
寫出下列命題中所有真命題的序號 ．
①兩個隨機變量線性相關性越強，相關系數 越接近 ；
②回歸直線一定經過樣本點的中心 ；
③線性回歸方程 ，則當樣本數據中 時，必有相應的 ；
④回歸分析中，相關指數 的值越大說明殘差平方和越小．
解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（13分） 的內角 ，， 的對邊為 ，，，．
(1) 求 ；
(2) 若 ，，求 ，．
（15分）某學校課題組為了研究學生的數學成績與物理成績之間的關系，隨機抽取高二年級 名學生某次考試的成績（百分制）如下表所示：若數學成績 分（含 分 )以上為優秀，物理成績 分（含 分）以上為優秀.
(1) 根據上表完成下面的 列聯表：
(2) 根據題（）中表格的數據計算，有多少的把握認為學生的數學成績與物理成績之間有關系？
附：①獨立性檢驗臨界值表：②獨立性檢驗統計量 值的計算公式：
，其中 ．
（15分）如圖，在四棱錐 中，底面 是菱形，且 ．點 是棱 的中點，平面 與棱 交于點 ．
(1) 求證：；
(2) 若 ，且平面 ，求平面 與平面 所成的銳二面角的余弦值．
（17分）已知橢圓 ，， 是其左右焦點，直線 過點 交橢圓 于 ， 兩點，且 ， 在 軸上方，點 在線段 上．
(1) 若 是上頂點，，求 的值；
(2) 若 ，求點 的坐標；當原點 到直線 的距離為 時，寫出此時直線 的方程．
（17分）設函數 ，．
(1) 設 是 圖象的一條切線，求證：當 時， 與坐標軸圍成的三角形的面積與切點無關；
(2) 若函數 在定義域上單調遞減，求 的取值范圍；
(3) 當 時，直接寫出函數 零點的個數．

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