資源簡介

2024-2025學年高二數學下學期期末模擬卷
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測試范圍：人教A版2019選擇性必修第二冊+選擇性必修第三冊全部內容。
5．難度系數：0.70。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數為正數，對此描述正確的是（ ）
A．氣候溫度高，海水表層溫度就高
B．氣候溫度高，海水表層溫度就低
C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢
D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢
2．已知等比數列的各項均為正數，若，則（ ）
A．4 B． C． D．
3．現有7位學員與3位攝影師站成一排拍照，要求3位攝影師互不相鄰，則不同排法數為（ ）
A． B． C． D．
4．某市衛健委用模型的回歸方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人數，令后得到的線性回歸方程為，則（ ）
A． B． C． D．
5．若數列滿足（且），則的值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
6．已知某一家旗艦店近五年“五一”黃金周期間的成交額如下表：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代號 1 2 3 4 5
成交額（萬元） 50 60 70 80 100
若關于的線性回歸方程為，則根據回歸方程預測該店2025年“五一”黃金周的成交額是（ ）
A．84萬元 B．96萬元 C．108萬元 D．120萬元
7．函數的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
8．某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關
B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大
D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．一組樣本數據，其中，求得其經驗回歸方程為：，殘差為．對樣本數據進行處理：，得到新的數據，求得其經驗回歸方程為：，其殘差為．分布如圖所示，且，則（ ）
A．樣本負相關 B．
C． D．處理后的決定系數變大
10．已知，則下列說法正確的是（ ）
A．展開式中所有項的二項式系數和為
B．
C．展開式中系數最大的項為第1350項
D．
11．已知函數的定義域是，是的導函數，若對任意的，都有，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．當時，
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．某校學生中有的同學愛好羽毛球，的同學愛好乒乓球，的同學愛好羽毛球或乒乓球.在該校的學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好羽毛球，則該同學也愛好乒乓球的概率為 .
13．亞冬會期間，某校學生會組織甲，乙，丙，丁，戊5個志愿服務團，前往A，B，C這3個比賽場地進行志愿服務，若每個場地至少分配1個志愿服務團，每個志愿服務團只能在1個場地進行服務，并且甲團只能去A場地，則不同的分配方法種數為 ．
14．已知數列滿足，設，為數列的前項和.若對任意恒成立，則實數的取值范圍為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）某景區試賣一款紀念品，現統計了該款紀念品的定價（單位：元）與銷量（單位：百件）的對應數據，如下表所示：
12 12.5 13 13.5 14
14 13 11 9 8
(1)求該紀念品定價的平均值和銷量的平均值；
(2)計算與的相關系數；
(3)由（2）的計算結果，判斷能否用線性回歸模型擬合與的關系，并說明理由.
參考數據：.參考公式：相關系數.
16．（15分）某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據難度進行賦分，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.每個人闖關活動累計得分服從正態分布，且滿分為450分，現要根據得分給共2500名參加者中得分前400名發放獎勵.
(1)假設該闖關活動平均分數為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；
(2)丙得知他的分數為430分，而乙告訴丙：“這次闖關活動平均分數為201分，351分以上共有57人”，請結合統計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真偽.
附：若隨機變量，則；；.
17．（15分）2024年巴黎奧運會上，網球女單決賽中，中國選手鄭欽文擊敗克羅地亞選手維基奇獲得中國在該項目上首枚金牌！展現了祖國至上，為國爭光的赤子情懷．已知網球比賽為三局兩勝制，在鄭欽文與維基奇的單局比賽中，鄭欽文獲勝的概率為，且每局比賽相互獨立．
(1)在此次決賽之前，兩人交手記錄為2021年庫馬約爾站：鄭欽文0比2不敵維基奇；2023年珠海WTA超級精英賽：鄭欽文以2比1戰勝維基奇．若用這兩次交手共計5局比賽記錄來估計．
（ⅰ）為多少？
（ⅱ）請利用上述數據，若鄭欽文再次遇到維基奇，求比賽局數的分布列．
(2)如果比賽可以為五局三勝制，若使鄭欽文在五局三勝制中獲勝的概率大于三局兩勝制中獲勝的概率，求的取值范圍？
18．（17分）近期，我國國產AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能領域取得了重大技術突破，并且通過開源策略和高性價比的模式，為AI行業的發展提供了新的可能性．為了評估DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間是否存在關聯，一研究團隊在某大學隨機抽取了200名用戶進行調查，收集整理得到了如表的數據：
高滿意度 低滿意度
頻繁使用DeepSeek 70 30
不頻繁使用DeepSeek 50 50
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間有關聯；
(2)若已知樣本中學生人數為120人，其中高滿意度用戶數為80人，教師人數為80人，其中高滿意度用戶數為40人．以樣本頻率估計總體的概率．
①若從全校使用DeepSeek的用戶中每次抽取1名用戶，直到抽出2名高滿意度用戶即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率．
②若從全校使用DeepSeek的學生用戶和教師用戶中各隨機抽取2名，設這4人中學生和教師的高滿意度用戶數分別為和，令，求的分布列．
參考公式：，其中，．
19．（17分）定義：若函數與在公共定義域內存在，使得，則稱與為“契合函數”，為“契合點”．
(1)若與為“契合函數”，且只有一個“契合點”，求實數a的取值范圍．
(2)若與為“契合函數”，且有兩個不同的“契合點”．
①求b的取值范圍；
②證明：．1—4 CBBA 5—8 ACDD
9【答案】AD
【詳解】對于A，由經驗回歸方程的斜率為負，可知樣本負相關，即A正確；
對于B，易知，
代入方程計算可得，即B錯誤；
對于C，由殘差圖可知，處理以后的殘差比處理前的殘差更集中，可知，即C錯誤；
對于D，處理以后的殘差的絕對值更小，所以處理后的決定系數變大，即D正確.
故選：AD
10【答案】ABD
【詳解】對于A，由展開式所有項的二項式系數和為，故A正確；
對于B，由，
則，故B正確；
對于C，由于第1350項系數為，顯然負值不可能是最大系數，故C錯誤；
對于D，令，則，
令，
上兩式作差可得，故D正確.
故選：ABD.
11【答案】BC
【詳解】設，.
則.
所以在上單調遞增.
對A：由，故A錯誤；
對B：由，故B正確；
對C：由，故C正確；
對D：當時，，所以，故D錯誤.
故選：BC
12【答案】
【詳解】依題意同時愛好羽毛球和乒乓球的概率為：，
設“該同學愛好羽毛球”為事件，“該同學愛好乒乓球”為事件.
則,,
所以.故答案為：.
13【答案】
【詳解】由題設，5個團去往3個場地，可按人數分組為、兩種，
按分組，
若甲一人成組，則其它4人的分組有種，再把兩組安排到有種，
若甲所在的組有兩人，則選一人與甲去往有種，余下3人分成兩組有種，再把兩組安排到有種，
所以共有種；
按分組，
若甲一人成組，則其它4人的分組有種，再把兩組安排到有種，
若甲所在的組有三人，則選兩人與甲去往有種，余下2人分成兩組安排到有種，
所以共有種；
綜上，共有種分配方法.故答案為：
14【答案】
【詳解】當時，，因為，
當時，，
兩式相減可得，即，當時不適合此式，
所以，所以，
當時，，
當時，，
若對任意恒成立，
所以，即實數的取值范圍為.故答案為：.
15【答案】(1)13；11(2)(3)可以用線性回歸模型擬合與之間的關系，理由見解析
【詳解】（1）由題可知，......................................................2
；.........................................................................................................4
（2）計算得，
故；........................................................................10
（3）由（2）可知，與的相關系數的絕對值近似為0.992，大于0.75且非常接近1，
說明與的線性相關性很強，從而可以用線性回歸模型擬合與之間的關系............................13
16【答案】(1)甲能夠獲得獎勵，理由見詳解(2)乙所說為假
【詳解】（1）甲能夠獲得獎勵，理由如下：
設此次闖關活動的分數記為.
由題意可知，因為，...........................................................................................................1
且，.............................................................2
所以，則；而，..............................................................................3
且，..........................................................5
可知前400名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為270分，
所以甲能夠獲得獎勵.................................................................................................................................................7
（2）假設乙所說為真，則，.......................................................................................................................8
，...................................................................10
而，所以，從而，
而，..................................................14
所以為小概率事件，即丙的分數為430分是小概率事件，可認為其一般不可能發生，但卻又發生了，所以可認為乙所說為假......................................................................................................................................15
17【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列見解析(2)
【分析】（1）（ⅰ）計算兩次交手記錄鄭欽文獲勝的頻率即可；
（ⅱ）按照獨立事件和互斥事件的概率公式求，再利用即可求出分布列；
（2）按照獨立事件和互斥事件的概率公式分別求出兩種情況下的鄭欽文獲勝的概率，再解關于的不等式即可.
【詳解】（1）
（ⅰ）根據兩次交手記錄，鄭欽文共勝2局，負3局，因此的估計值為．...................................1
（ⅱ）由題知，可取值為、，....................................................................................................................2
，，.....................................................................4
所以的分布列為
2 3
0.52 0.48
.................................................................................................................................................................................6
（2）三局兩勝制鄭欽文最終獲勝概率，...........................8
五局三勝制中鄭欽文最終獲勝的概率
..................................................................................10
所以，化簡得，.........................................................12
因為，，所以，即，所以，...........................................................13
所以使得五局三勝制獲勝的概率大于三局兩勝獲勝的概率的取值范圍是．......................................15
18【答案】(1)認為DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間有關聯
(2)① ；②答案見解析
【分析】（1）根據計算公式計算即可得出結論；
（2）①由題意轉化為前3次抽取中恰有1次抽取的是高滿意度用戶，第4次恰好抽取的是高滿意度用戶，利用獨立事件同時發生的乘法公式求解；②分別求出對應取值的概率，據此計算對應取值的概率，列出分布列即可.
【詳解】（1）零假設為：DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間無關聯．
根據表中數據，，..........................................................4
根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
即認為DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間有關聯．................................................................................6
（2）（1）由題知，樣本中DeepSeek高滿意度用戶的頻率為，..................................................................7
設事件“恰好第4次抽取后停止抽取”，
需在前3次抽取中恰有1次抽取的是高滿意度用戶，第4次恰好抽取的是高滿意度用戶，
則．
即恰好第4次抽取后停止的概率為．............................................................................................................10
（2）由題知，樣本中學生的高滿意度用戶頻率為，教師的高滿意度用戶頻率為．
又，，，
，，，
的所有可能取值為0，1，2，...........................................................................................................................12
則
，
．..........................................................................15
所以隨機變量的分布列為：
0 1 2
P
....................................................................................................................................................................................17
19【答案】(1)；
(2)①；②證明見解析.
【分析】（1）由給定的定義把問題轉化為方程有唯一零點，再構造函數，利用導數探討函數的性質求解即可.
（2）①根據給定的定義將問題轉化為方程有兩個不同的零點求解；②由①中信息，利用極值點偏移求解.
【詳解】（1）由與為“契合函數”，得，使
，...................................................................................................................2
令，依題意，方程有唯一解，
求導得，當時，；當時，，
函數在上單調遞增，在上單調遞減，則，
當時，，時，，，..............................................................................4
又和只有一個“契合點”，則直線與函數的圖象只有1個交點，則或，
所以實數a的取值范圍是.................................................................................................................5
（2）①由與為“契合函數”，且有兩個不同的“契合點”，
得存在，使，
即關于的方程有兩個相異正根，.......................................................................................6
令函數，
求導得，......................................................................................................7
由，得，得當時，；當時，，
則函數在上遞增，在上遞減，則，
當從大于0的方向趨近于0時，；當時，，..........................................................9
因此當時，直線與函數的圖象有兩個不同交點，
所以b的取值范圍是................................................................................................................................10
②由（1）知，當時，，令，
求導得，.........................13
令，求導得，
當時，，函數在上單調遞減，，，
函數在上單調遞減，，因此當時，，.........................................15
而，則，又，于是，
又，函數在上遞減，則，
所以................................................................................................................................................................17

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