資源簡介

荊州中學 2024- 2025學年高二下學期 6月月考
★祝大家學習生活愉快★
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號，試室號，座位號填寫在答題
卡上。用 2B鉛筆將試卷類型和考生號填涂在答題卡相應位置上。
2．選擇題每小題選出答案后，用 2B鉛筆把答題卡上對應的題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用
橡皮擦干凈后，再填涂其他答案。答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置
上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答
案無效。
一、單選題：本題共 8小題，每小題 5分，共 40分，每小題只有一個選項符合要求
1.學校舉辦籃球賽，將 6支球隊平均分成甲、乙兩組，則兩支最強的球隊被分在不同組的概率為 ( )
A. 15 B.
2
5 C.
3
5 D.
4
5
2. ξ~N (3 , 4) , “a= 3” “P(ξ< a) = 1已知隨機變量 則 是 2 ”的 ( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.有 10件產品，其中 3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個數，則P(X< 2)等于 ( )
A. 1 B. 1415 C.
8 7
15 D. 15
4.已知隨機變量X B(n , p)，若D(2X) = 2E(X)，則 p= ( )
A. 1 B. 116 8 C.
1
4 D.
1
2
5.植物的根是吸收水分和礦物養分的主要器官．已知在一定范圍內，小麥對氮元素的吸收量與它的根長
度具有線性相關關系．某盆栽小麥實驗中，在確保土壤肥力及灌溉條件相對穩定的情況下，統計了根長
度 x(單位：cm)與氮元素吸收量 y(單位：mg/天)的相關數據，如下表所示：
x 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1
y 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86
根據表中數據可得 x = 21.2，y = 0.58及線性回歸方程為 y= 0.025x+ a ，則
A. a =-0.05
B. 變量 y與 x的相關系數 r< 0
C. 在一定范圍內，小麥的根長度每增加 1 cm，它一天的氮元素吸收量平均增加 0.025 mg
D. 若對小麥的根長度與鉀元素吸收量的相關數據進行統計，則對應回歸方程不變
6.若函數 f(x) = x2- ax與函數 g(x) = lnx+ 2x的圖象在公共點處有相同的切線，則實數 a= ( )
A. - 2 B. - 1 C. e D. - 2e
數學試題 第 1 頁 共 11 頁
7. 2 1小明爬樓梯每一步走 1級臺階或 2級臺階是隨機的，且走 1級臺階的概率為 3 ，走 2級臺階的概率為 3 .
小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第 4級臺階的條件下，他走了 3步的概率是 ( )
A. 4 B. 49 27 C.
9 D. 3613 61
8. 1關于函數 f(x) =-x3+ 3x2+ (a- 3)x+ 2- a- ex-1+ x-1 (a≤ 2)，下列選項正確的是 ( )e
A. 函數 f(x)沒有零點 B. 函數 f(x)只有 1個零點
C. 函數 f(x)至少有 1個零點 D. 函數 f(x)有 2個零點
二、多選題：本題共 3小題，每小題 6分，共 18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全
部選對的得 6分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0分。
9.已知某地 10月份第 x天的平均氣溫為 y(單位：℃)，x，y線性相關，由 x，y的前 7天樣本數據 (xi , yi) (i
= 1 , 2 , , 6 , 7) 1求得的經驗回歸方程為 y=- 4 x+ 20，則下列說法正確的是 ( )
A. x，y負相關
B. 第 8天的平均氣溫為 18℃
C. 前 7天平均氣溫的平均數為 19℃
D. 若剔除偏離經驗回歸直線最大的一個異常點，則相關系數變大
10.下列等式中正確的是 ( )
8 8 8 8
A. Ck8=28 B. C2 3 k-1 1k=C9 C. ! =1- 8! D. (C
k 2
8) =C8k 16k=1 k=2 k=2 k=0
2
11. f x = -ax +x-a已知函數 x a≠0 ，下列說法正確的是 ( )e
A. 函數 f x 既有極大值也有極小值
B. 函數 f x 的極小值點為 1
C. 若函數 f x 有三個零點，則- 12 < a< 0
1
或 0< a< 2
D. 若 a> 0，則 f 0 < f 1+ 1a
三、填空題：本題共 3小題，每小題 5分，共 15分
12.已知隨機變量 ξ的分布列為
ξ -2 -1 0 1 2 3
P 1 3 4 1 2 112 12 12 12 12 12
若P(ξ2> x) = 112 ，則實數 x的取值范圍是 ．

13.對于隨機事件A，B，若P(B|A) = 23 ，P(A|B) =
3
8 ，P(B) =
8
15 ，則P(A) = ．
14.已知 f(x)是定義在R上的奇函數，f(1) = 1 1 1，且對任意 x< 0，均有 f x = xf 1-x ，則
1012
f 1 f 1k 2025-k = ．k=1
數學試題 第 2 頁 共 11 頁
四、解答題：本題共 5小題，共 77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
15. (本小題 13分)
1 n
在 x+ 4 的展開式中，前三項的系數成等差數列．2 x
(Ⅰ)求展開式中含有 x的項的系數；
(Ⅱ)求展開式中的有理項．
16. (本小題 15分)
3-2x
已知函數 f(x) = ．
x2+a
(1)若 a= 0，求 y= f(x)在 (1，f(1))處切線方程；
(2)若函數 f(x)在 x=-1處取得極值，求 f(x)的單調區間，以及最大值和最小值．
17. (本小題 15分)
某校開設農耕勞動教育課，共設置了兩類課程：農作物種植和田間管理，學校對選擇這兩類課程的學生
人數進行了統計，數據記錄在如下表格．
男生 女生
農作物種植課程 160 80
田間管理課程 40 120
(Ⅰ)根據小概率值 α= 0.001的獨立性檢驗，判斷男生和女生在選擇課程的偏好上是否有差異．
(Ⅱ)選擇農作物種植課程的學生被分為 6個小組，各小組種植的農作物存活率 xi% (i= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6)
分別為 50%，70%，60%，66%，72%，84%.學校為了解存活率的偏差情況，需計算偏差系數 w，其值越
1 n
大，對大偏差數據的體現越明顯.現給出兩種計算偏差系數的方式： ① w1= n |x i- x|， ② w2=i=1
n
1 2
n (xi-x ，請比較哪一種方式對大偏差數據的體現更明顯．
i=1
n(ad-bc)2
附：χ2= (a+b)(c+d)(a+ ．c)(b+d)
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
數學試題 第 3 頁 共 11 頁
18. (本小題 17分)
某學校為豐富學生活動，積極開展乒乓球選修課，甲乙兩同學進行乒乓球訓練，已知甲第一局贏的概率
1 3 2
為 2 ，前一局贏后下一局繼續贏的概率為 5 ，前一局輸后下一局贏的概率為 3 ，如此重復進行.記甲同
學第 i局贏的概率為Pi(i∈N ).
(1)求乙同學第 2局贏的概率;
(2)求Pi ;
(3)若存在 i，使 epi- ln(Pi+ 1) + k≥ 0成立，求整數 k的最小值．
19. (本小題 17分)
已知函數 f(x) = xlnx，g(x) = x2+ ax．
(1)若 f(x) - g(x)≤ ex恒成立，求 a的最小值;
( ) = ( )= mf(x)-g(x)+n2 若 x 1是 φ x x + a的極小值點，求n的取值范圍．
數學試題 第 4 頁 共 11 頁
參考答案
1.【答案】C【解析】解：將 6支球隊分成甲、乙兩組 (每組 3支)，總分法有C36= 20種，
則兩支最強的球隊被分在不同組的分發為A1 22C4= 12種，
12 3
所以所求的概率為P= 20 = 5 ．
故選：C．
2.【答案】C【解析】解：因為隨機變量 ξ 服從正態分布N (3 , 4) ,可知正態密度曲線關于直線 x
= 3對稱，當“a= 3”時，可以推出“P(ξ< a) = 12“；當”P(ξ< a) =
1
2“時，也只能推出“a=
3”,故為充要條件.
故選：C.
3.【答案】B
CkC2-k C0C23
【解答】解：P(X= k) = 72 ，∴P(X= 0) =
3 7 = 212 =
7
，
C10 C10 45 15
1 1
P( = C CX 1) = 3 72 =
21 7
45 = 15 ，P(X< 2) =P(X= 0) +P(X= 1) =
7
15 +
7 14
C10 15
= 15 ，故選B．
4.【答案】D
解：依題意X滿足二項分布，且D(2X) = 2E(X)，即 4D X = 2E X , 2D X =E X ，
即 2np 1-p =np，解得 p= 12 ，(p= 0舍去)．故選：D
5.【答案】C

【解析】解：由線性回歸方程過樣本中心點 (x , y)知，a= 0.58- 0.025× 21.2= 0.05，故A錯誤；
小麥對氮元素的吸收量與它的根長度具有正相關關系，故決定系數 r> 0，故B錯誤；

由線性回歸方程 y= 0.025x+ a可得，在一定范圍內，小麥的根長度每增加 1cm，它一天的氮元
素吸收量平均增加 0.025mg，故C正確；
若研究小麥的根長度與鉀元素吸收量的相關關系，回歸方程可能發生改變，故D錯誤．
故選：C．
6.【答案】B【解答】
解：設兩函數 f(x) = x2- ax與函數 g(x) = lnx+ 2x公共點的橫坐標為 x0，
x20-ax0=lnx0+2x0 x0=1
由題意可得： 1 ,解得： ,2x0-a= x +2 a=-10
故 a=-1．
7.【答案】D
【解答】解：根據題意，設事件A為“小明爬到第 4級臺階”，
事件B為“小明走了 3步爬到第 4級臺階”，事件A包含 3中情況，
2 4 16
①走了 4次 1級臺階，其概率P1= 3 = 81 ，
數學試題 第 5 頁 共 11 頁
2
2 1 1 2 P =C1× 1 × 2 = 4 P AB = 4②走了 次 級臺階， 次 級臺階，其概率 2 3 3 3 9 ，即 9 ，
2
③走了 2次 2 1 1級臺階，其概率P3= 3 = 9 ，
4 P A =P +P +P = 16 + 4 + 1 = 61故小明爬到第 級臺階概率 1 2 3 81 9 9 81 ，
4
P AB
4 9 36在小明爬到第 級臺階的條件下，他走了 3步的概率P B A = =P A 61 = 61 ，
81
故選：D．
8.【答案】B
【解析】解：因為 f ' (x ) =-3x 2 + 6x + (a - 3 ) - e x-1 - e-(x-1) =-3x 2 + 6x + (a - 3 ) -
ex-1+ 1 ，ex-1
且 ex-1+ 1 x-1x-1 ≥ 2 e ×
1
x-1 = 2，-3x2+ 6x+ (a- 3) =-3(x- 1)
2+ a≤ a，
e e
所以當 a≤ 2時 f '(x) ≤ 0，故函數 f(x)在定義域上單調遞減，所以至多有一個零點，故C、D錯
誤；
令 g(x) =-x3+ 3x2+ (a- 3)x+ 2- a(a≤ 2)， (x) = ex-1- 1
ex-1
，
則 f(x) = g(x) - (x)，
∵ g'(x) =-3x2+ 6x+ (a- 3)知 x→+∞時 g(x) →-∞，且 '(x) = ex-1- e-(x-1)> 0，
可知 x→+∞時， (x) →+∞，
∴ x→+∞時，f(x) →-∞且 f(1) =-1+ 3+ (a- 3) + 2- a- e0+ 10 = 1> 0，e
所以函數 f(x) =-x3+ 3x2+ (a- 3)x+ 2- a- ex-1+ 1x-1 (a≤ 2)只有 1個零點．e
故選：B．
9. 1【答案】AC【解答】解：因為- 4 < 0，所以A正確;
第 8天的平均氣溫的預測值為 18°C，但實際值不一定是 18°C，B錯誤;

由 x= 4，及 (x , y )在經驗回歸直線上，得 y = 19，C正確;
因為 x，y負相關，所以相關系數 r< 0，剔除偏離經驗回歸直線最大的一個異常點后，|r|變大，
但 r變小，D錯誤．
故選：AC．
10.【答案】BCD
8 8
【解答】解：對于A， Ck8 = 28- 1，故A錯誤;對于B， C2=C 2k 2 +C 2 2 33 + ··· +C8 =C9，故B正
k=1 k=2
確;
8
C k-1 = 1 2 3 7 1 1 1 1 1對于 ，
k=2 k! 2!
+ 3! + 4! + ··· + 8! = 1- 2! + 2! - 3! + 3! - 4! + ···
數學試題 第 6 頁 共 11 頁
+ 17! -
1
8!
= 1- 18! ，故C正確;對于D，∵ (x+ 1)
8(1+ x)8= (x+ 1)16兩邊展開式的 x8的系數相等，
8
∴ (Ck8)2=C816，故D正確．
k=0
故選：BCD．
11.【答案】AD【解答】
(-2ax+1)+ax2-x+a
解：f(x)的定義域為R，f '(x) =
ex
ax2= -(2a+1)x+a+1x ，對于A：設 g(x) = ax
2- (2a+ 1)x+ a+ 1，
e
Δ= (2a+ 1)2- 4a(a+ 1) = 1> 0，令 g(x) = 0，解得 x1= 1，x2= 1+ 1a ；
ex> 0 f(x) g(x) a< 0 1+ 1因為 恒成立，所以 的符號與 一致，當 時， a < 1，
f(x)在 -∞,1+ 1a 上單調遞減，在 1+
1
a ,1 上單調遞增，在 (1 ,+∞)上單調遞減；
1
當 a> 0時，1+ a > 1，
f(x)在 (-∞ , 1) 1 1上單調遞增，在 1,1+ a 上單調遞減，在 1+ a ,+∞ 上單調遞增，
又因為 f '(1) = f ' 1+ 1a = 0，因此 f(x)有極大值和極小值，故A正確；
對于B：a< 0時，f(x) 1的極小值點為 1+ a ; a> 0時，f(x)
1
的極小值點亦為 1+ a ，故B錯
誤；
-2a+1f(1)>0 e >0
對于C：若函數 f(x)有三個零點，則 a< 0時 ，即得f 1+ 1 <0 -2a-1 ,a <0 1+ 1e a
- 1解得 2 < a< 0，當 x→+∞時，f(x) → 0，故此時函數 f x 只有 2個零點，故C錯誤；
1 -2a-1 1
對于D：若 a> 0，f(0) =-a，f 1+ a = 1 ，假設 f(0)< f 1+ a ，即-a<
-2a-1
1+ 1+ 1
，
e a e a
a> 2a+1 1+
1
即 1 ，可得 e a > 2+
1 1
a ，設 1+ a = t(t> 1)，則 e
t> t+ 1，
1+
e a
設 (t) = et- t- 1(t> 1)， '(x) = et- 1，令 '(t) = 0，得 t= 0，
因此 (x)在 (0 ,+∞)單調遞增， (1) = e- 1- 1= e- 2> 0，所以 t> 1時， (t)> 0恒成立，
即 a> 0時，f(0)< f 1+ 1a ，故D正確．
故選：AD．
12.【答案】 4,9【 解答】
數學試題 第 7 頁 共 11 頁
解：由隨機變量 ξ的分布列知：ξ2 4 3的可能取值為 0，1，4，9，且P ξ2=0 = ，P ξ212 =1 = 12
+ 112 =
4
12 ；
P ξ2=4 = 1 2 3 1 1 12 + 12 = 12 ；P ξ
2=9 = 12 ；∵P ξ
2>x = 12 ，∴實數 x的取值范圍是 4≤
x< 9．
故答案為： 4,9 ．
13. 1【答案】2
P(AB) 3
【解答】解：P(A|B) = ( ) = 8 ，且P(B) =
8
，P(AB) =P A|B) P(B)= 1 ，
P B 15 5

∴P(AB) =P(B) -P(AB) = 8 - 1 = 115 5 3 ，∴ | )=
P(AB)
P B A ( ) =
2
，
P A 3
則P(A) = 1 12 ．故答案為：2 ．
2202214.【答案】2023!
1 1 1
【解答】解：令 an= f n ,n∈N
，則由題意知 f -n =-nf 1+n ，
又 f(x)是定義在R上的奇函數，則 f(-x) =-f 1 x ，所以 f -n =-f
1
n =-nf
1
1+n ，
a2=a1
a = 1 3 2 a2

a = 1 4 a3
化簡可得 f 1 1n =nf 1+n ，則 an=na
3
n+1，所以 n≥ 2,

1
an-1= n-2 an-2

a
1
n= n-1 an-1
用累乘法得 an= 1 × 1 × × 1 1 12 3 n-2 × n-1 = ，當n= 1時，0! = 1， n-1 !
1 1 1
所以 a1= 1也滿足上式，則 an= ，所以 f
n-1 ! n = ， n-1 !
1012 1012
f 1 f 1 = 1 1 Ck = 2023!因為 ，
k=1 k
2025-k k-1 ! 2024-k ! 2023k=1 k! 2023-k !
1011
1 1 1
1011
所以上式可化為 ! = C
k
k 2023-k ! 2023! 2023，k=0 k=0
由于C0 +C1 +C2 + +C1011+C1012 20222023 2023 2023 2023 2023+ +C2023+C20232023= 22023，
由組合數性質可得C0 =C2023 ,C1 =C2022 k 2023-k 1011 10122023 2023 2023 2023 , C2023=C2023 ,C2023=C2023，
1011
1 1 1
1011
則 k
k=0 k! (2023-
=
k)! 2023! C2023k=0
數學試題 第 8 頁 共 11 頁
1 22023 2022= 22023! 2 = 2023!．
22022
故答案為：2023!．
1 n r15.【答案】解：(Ⅰ) x+ 的展開式的通項 T = C r( x )n-r4 r+1 n 1r 12 x 2 4 x =
1
r C
r
2 n

2n-3r
x 4 ，
∴ n n(n-1) n(n-1)展開式的前三項系數分別為 1，2 ， 8 ，∴ 1+ 8 =n，解得n= 1(舍)或n= 8．
2n-3r
令 4 = 1得 r= 4．∴
1 35
展開式中含有 x的項的系數為 4 C
4
8= 8 ．2
16-3r
(Ⅱ)Tr+1= 1r C
rx 48 ，∴當 r= 0 16-3r時， 4 = 4，T
0 4 4
2 1
=C8x = x．
當 r = 4 16-3r時， 4 = 1，T5=
1 4
4 C8x =
35
8 x.當 r = 8
16-3r
時， 4 =-2，T =
1 C 89 8 8x
-2=
2 2
1
．
256x2
∴ 35 1展開式中的有理項為 x4，8 x； ．256x2
16.【答案】解：(1)由 a= 0 3-2x，可得 f(x) = 2 ，x
3-2 -2x2-2x(3-2x)f(1) = = 1 f ' (x) = = -2x-6+4x = 2x-6故 1 ， x4
，
x3 x3
從而 k= f ' (1) = 2-61 =-4，所以 y= f(x)在 (1，f(1))處切線方程為 y- 1=-4(x- 1)，即
y=-4x+ 5；
( ) ' ( ) = -2(x
2+a)-2x(3-2x) 2
2 f x 2 =
2x -6x-2a
，
(x2+a) (x2+a)2
f ' (-1) = 0 2+6-2a由 ，可得 = 0，解得 a= 4 3-2x，經檢驗符合題意，所以 f(x) = ，
(1+a)2 x2+4
2
' ( ) = 2x -6x-8 = 2(x-4)(x+1)求導 f x 2 2 ，令 f ' (x) = 0，則 x= 4或 x= -1，(x2+4) (x2+4)
令 f ' (x)> 0，則 x> 4或 x< -1，令 f ' (x)< 0，則-1< x< 4，
x (-∞ ,-1) -1 (-1 , 4) 4 (4 ,+∞)
f ' (x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以函數 f(x)的遞增區間為 (-∞ ,-1)和 (4 ,+∞)，遞減區間為 (-1，4)，
故函數 f(x)在 x= -1處取得極大值，即極大值為 f(-1) = 1，
函數 f(x)在 x= 4 1處取得極小值，即極小值為 f(4) =- 4 ，
3
又因為當 x< 2 時，f(x)> 0，當 x>
3
2 時，f(x)< 0，
數學試題 第 9 頁 共 11 頁
1
由此得知，函數 f(x)的最大值為 f(-1) = 1，最小值為 f(4) =- 4 ．
( ) 2= 400(160×120-80×40)
2
17. 200【答案】解：Ⅰ 由已知得 χ 240×200×200×160 = 3 ≈ 66.667，
∵ 66.667> 10.828，∴依據小概率值 α= 0.001的獨立性檢驗，可以判定男生和女生在選擇課
程的偏好上有差異．
( )x Ⅱ = 16 (50+ 70+ 60+ 66+ 72+ 84) = 67，
6
根據 ①:w = 11 6 |xi- x
| = 16 (17+ 3+ 7+ 1+ 5+ 17) =
25
i=1 3
．
6 2
根據 ②:w = 1 (x -x = 1 (172+32+72+12+52+1722 6 i 6 ) = 331= 3 ．i 1
∵w2= 625 ，w2 331 993 2 21 9 2= 3 = 9 ，∴w1∴方式 ②對大偏差數據的體現更明顯．
18.【答案】解：(1) 1 3 1 2 19由題意甲同學第 2局贏的概率為P2= 2 × 5 + 1- 2 × 3 = 30 ，
19 11
所以乙同學第 2局贏的概率為P= 1- 30 = 30 ;
(2) 3 2 1 2由已知 i≥ 2時，Pi= 5 Pi-1+ 3 (1-Pi-1) =- 15 Pi-1+ 3 ，
P- 5 =- 1 P - 5 P - 5 =- 1所以 i 8 15 i-1 8 ，又 1 8 8 ，
5
所以數列 Pi- 8 是首項為-
1
8 ，公比為-
1
15 的等比數列，
5 1 i-1 i-1
所以Pi- 8 = - 8 × -
1
15
1
，所以Pi= - 8 × -
1
15 +
5
8 (i∈N
) ;
(3)eP1- ln (Pi+ 1) + k≥ 0即 k≥ ln(Pi+ 1) - epi，
令 f(x) = ln(x+ 1) - ex，則 f '(x) = 1 xx+1 - e ，
易知 f '(x)是減函數，f '(0) = 0，所以 x> 0時，f '(x)< 0，f(x)單調遞減，
顯然Pi> 0(i∈N )，因此要求 ln(Pi+ 1) - ePi的最小值，即求Pi的最大值，
i-1
又Pi= - 1 × - 1 5 8 15 + 8 (i∈N )，
i P= 5 + 1 × 1
i-1 5
為偶數時， i 8 8 15 ，單調遞減，所以 8 i-1
i為奇數時，Pi= 58 -
1
8 ×
1 515 ，單調遞增，所以P1≤Pi< 8 ，
所以P 192= 30 是 {Pi}中的最大值，
19
所以 k≥ ln 1+ 19 3030 - e ，
19
又因為-2< ln 1+ 1930 - e 30 <-1，所以滿足題意的整數 k的最小值為-1．
19.【答案】解：(1)因為不等式 f x - g x ≤ ex，即 xlnx- x2- ax≤ ex，
數學試題 第 10 頁 共 11 頁
等價于 lnx- x- e≤ a在 x∈ 0,+∞ 內恒成立，
令 x = lnx- x- e，因為 ' 1 x = x - 1=
1-x
x ，
當 x∈ 0,1 時， ' x > 0，函數 x 遞增，當 x∈ 1,+∞ 時， ' x < 0，函數 x 遞減，
所以 x max= 1 =-1- e，
因此，a的最小值為-1- e；
mf x( ) =
-g x +n
2 φ x mxlnx-x
2-ax+n n
由已知 x + a= x + a=mlnx- x+ x ，
φ' x = m x - 1-
n
，
x2
因為 x= 1是函數 φ x 的極小值點，所以首先有 φ' 1 = 0，從而可得m=n+ 1，
n+1 n x2- n+1 x+n x-1 x-n
于是 φ' x = x - 1- =- =-

x2 x2 x2
，
x-1 2
當 n= 1時，φ' x =- 2 ≤ 0恒成立，函數 φ x 在 x∈ 0,+∞ 內單調遞減，無極值，不x
合條件；
當n> 1時，由 φ' x < 0，得 0< x< 1或 x>n，由 φ' x > 0，得 1< x這時函數 φ x 在 0,1 內遞減，在 1,n 內遞增，在 n,+∞ 內遞減，這時 x= 1是函數 φ x
的極小值點，滿足條件；
當 0 0，得 φ x 遞增，不合條件；
當n≤ 0時，則由 x∈ 0,1 ，φ' x > 0，得 φ x 遞增，不合條件．
綜上所述，n的取值范圍是 1,+∞ ．
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