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2024級高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題
一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A. B. 2 C. D.
2．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
3. 一個(gè)圓臺的上、下底面的半徑分別為和，表面積為，則它的體積為（ ）
A. B. C. D.
4．設(shè)m，n是兩條不同的直線，，β是兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，，則 D．若,，，，，則
5．非零向量，滿足：，，則與夾角的大小為（ ）
A． B． C． D．
6.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCE是梯形，
且點(diǎn)F在棱上，且平面，則=（ ）
7.四邊形四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)平面上，，，，，則的值為( )
14
8.已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，若．過點(diǎn)作直線分別與、交于點(diǎn)、，且（），（），則的最小值是( )
2 3
多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.
9．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．復(fù)數(shù)的虛部等于 B．
C． D．若是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則
10. 如圖，向透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，
水是定量的（定體積為），固定容器底面一邊于地面上，
再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)結(jié)論，
其中正確的是（ ）
A. 沒有水部分始終呈棱柱形 B. 水面所在四邊形的面積為定值
C. 棱總與水面所在的平面平行 D. 當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，（定值）
11.下列命題正確的（ ）
A．已知，若與的夾角是鈍角，則
B．△ABC中，已知，，若三角形有唯一解，則整數(shù)可以為1,2,4.
C．在中,為常數(shù)，若，且，則的面積取最大值時(shí)，
D．在中，，，設(shè)是的內(nèi)心，若，則
填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
如圖是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，它是一個(gè)
底角為，腰和上底均為1，下底為的等腰梯形，
那么原平面圖形的面積為 .
13．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則
14.中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動(dòng),是中國玉雕工藝的一個(gè)重大突破.今一雕刻大師在棱長為10的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個(gè)可以
任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球，在球內(nèi)部又套雕出一個(gè)正四面體（所有棱長
均相等的三棱錐)，若不計(jì)各層厚度和損失，則最內(nèi)層
正四面體的棱長最長為
四、解答題：本小題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量和，則,, ,求：
(1)的值；
(2)與的夾角的余弦值．
16.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.
(1)設(shè)復(fù)數(shù)，求；
(2)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
17．在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，，
(1)求角的大小；
(2)若，的面積為，求的周長．
(3)若三角形為銳角三角形，且，求周長的取值范圍.
18.如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn).
(1)求證：∥平面；
(2)若為的中點(diǎn)，求證：平面∥平面．
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，對于非零向量，定義這兩個(gè)向量的“相離度”為，容易知道平行的充要條件為．
(1)已知，求；
(2)在中，若，求．2024級高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題答案
1——8 DBCD CBBC 9.BD 10.ACD 11.BCD
10.【詳解】依題意將容器傾斜，隨著傾斜度的不同可得如下三種情形，
對于A：依題意，水面，而平面平面，平面，則，同理，而，，又平面，平面平面，因此有水的部分的幾何體是直棱柱，長方體去掉有水部分的棱柱，沒有水的部分始終呈棱柱形，故A正確；
對于B：水面是矩形，線段的長一定，從圖1到圖2，再到圖3的過程中，線段長逐漸增大，則水面所在四邊形的面積逐漸增大，故B錯(cuò)誤；
對于C：因?yàn)椋矫妫矫妫虼似矫妫?br/>即棱總是與水面所在的平面平行，故C正確；
對于D :當(dāng)容器傾斜如圖3所示時(shí)，有水部分的幾何體是直三棱柱，其高為，體積為，
又，，所以，故D正確.
11.A、因與的夾角是鈍角，則，即，得，
又當(dāng)與共線時(shí)，有，得，不合題意，則，的取值范圍為.故A錯(cuò)誤
B.由正弦定理，得，則，
由于有唯一解，則或，解得或，
所以整數(shù)構(gòu)成的可以為1，2，4.故B正確
C.在中，由及余弦定理，得，即，則，
又，則有，即，又，因此，
則，當(dāng)時(shí)取等號，∴面積取最大值時(shí)．故C正確
D.以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的坐標(biāo)系：
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得
故，則
因?yàn)椋裕?br/>即，解得，故. 故D正確
13. 14.
15.（1）∵,∴
（2）∵,
∴
16.（1）解：因?yàn)椋瑒t，
所以為純虛數(shù)，
所以，解得.
所以，
因此.
（2）解：因?yàn)椋?br/>則，
因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，
則，解得.
因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.
17.（1），，
即，
，，
又，，，
（2），，
，
，， 的周長為．
（3）在銳角三角形ABC中，，
因?yàn)楦鶕?jù)正弦定理，所以，
因?yàn)槿切沃荛L為，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，
因?yàn)椋矗裕?br/>即，，
所以.
18.(1)連結(jié)交于，連結(jié)．
∵為正方體，底面為正方形，
∴為的中點(diǎn)，∵為的中點(diǎn)，
在中，是的中位線，所以，
又平面，平面，∴∥平面；
(2)∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，平面，∴∥平面；
由(1)知∥平面，又∵，
∴平面∥平面．
19．（1）因?yàn)?，所以 .
（2）
解得：
如圖，建系，則

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