資源簡介

泰安二中高二數學月考試題
一、選擇題：本題共 8小題，每小題 5分，共 40分.在每小題給出的四個選項
中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合 A＝{0，1，2}，B＝{x∈N|x2﹣3x＜0}，C＝{1，2}，則（ ）
A．A＝B B．A B C．A∩B＝C D．A∪B＝C
2.把一枚質地均勻的硬幣連續拋兩次，記“第一次出現正面”為事件 A，“第二次出現正
面”
為事件 B，則 P（B|A）等于（ ）
A． B．
C． D．
3.設 a＝e0.7，b＝30.8，c＝log3e，則 a，b，c 的大小關系為（ ）
D．b＜c＜
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b a
x x a 4.若 f ln 為偶函數，則 a （ ）．
B． 0 A． 1 C． D．1
5．某校高二級學生參加期末調研考試的數學成績 X 服從正態分布 N（92，92），將考試成
績從高到低按照 16%，34%，34%，16%的比例分為 A，B，C，D 四個等級．若小明的數
學成績為 100 分，則屬于等級（ ）
（附：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.95）
A．A B．B C．C D．D
6. 函數 f x log x 2 a x 1 在 1, 上單調 遞減的一個充分不必要條件是
（ ） A．a 1 B．a 0 C．a 1 D．a 2
7．某卡車為鄉村小學運送書籍，共裝有 10 個紙箱，其中 5 箱英語書、2 箱數學書、3 箱語
文書．到目的地時發現丟失一箱，但不知丟失的是哪一箱，現從剩下的 9 箱中任意打開
兩箱，兩箱都是英語書的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．任給兩個正數 x，y，使得不等式 恒成立，則實數 a 的取值范圍
是
（ ）
A．﹣e≤a＜0 B．a≥﹣e C． D．
二、選擇題：本題共 3小題，每小題 6分，共 18分.在每小題給出的選項中，有
多項符合題目要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0
分。
9.若 ，則下列正確的是（ ）
A．a0＝2024 B．
C．a0﹣a1+a2﹣a3+ +a2024＝1
D．a1﹣2a2+3a3﹣…﹣2024a2024＝﹣4048
10.下列命題中正確的是（ ）
A．若 a＜b，則
B．若 0＜a＜ b，則
C．若 0＜a＜ b，且 a+b＝1，則 2a+2b的最小值為
D．若 0＜a ＜b，且 a+b＝1，則 a+lnb＜0
11．若函數 f（2x+2）為偶函數，f（x+1）為奇函數，且當 x （0，1]時，f（x）＝lnx，則
（ ）
A．f（x）為偶函數
B．f（e）＝1
C．
D．當 x [1，2）時，f（x）＝﹣ln（2﹣x）
三、填空題：本題共 3小題，每小題 5分，共 15分。
14.某無人機愛好者在 2025 年春節，設計了利用紅、橙、黃、綠、紫五種顏色的無人機群呈
現如圖的方形陣，方形陣分為 A，B，C，D，E，F 六個區域，呈現要求是：同一區域為
相同顏色的無人機群，且相鄰區域的無人機群顏色不能相同，B 區域必須是紅色無人機
群，則不同的呈現方式共有 種．
四、解答題：本小題共 5小題，共 77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演
算步驟。
15．（13 分）已知 二項展開式中，第 4 項的二項式系數與第 3 項的二項式系
數
的比為 8：3．
（Ⅰ）求 n 的值；
（Ⅱ）求展開式中 x3 項的系數．
16.某地政府為提高當地農民收入，指導農民種植藥材，取得較好的效果．如表是某農戶近
5
年種植藥材的年收入的統計數據：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代碼 x 1 2 3 4 5
年收入 y（千元）
59 61 64 68 73
（1） 根據表中數據，現決定使用 y＝bx2+a 模型擬合 y 與 x 之間的關系，請求出此模型
的回歸方程；（結果保留一位小數）
（2） 統計學中常通過計算殘差的平方和來判斷模型的擬合效果．在本題中，若殘差平方
和小于 0.5，則認為擬合效果符合要求．請判斷（1）中回歸方程的擬合效果是否符
合要求，并說明理由．
參 考 數 據 及 公 式 ： ，
， ．
．設 t ＝ x2 ，則
17．（15 分）已知函數 f（x）＝2x3﹣3ax2+1（a R）．
（1） 討論 f（x）的單調性；
（2） 若對 x∈（0，+∞），f（x）≥0 恒成立，求 a 的取值范圍．
18．（17 分）有一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有 3 個紅球和 3 個白球，這些球除顏色外
完全相同，游戲規定：每位參與者進行 n 次摸球，每次從袋中一次性摸出兩個球，如果
每次摸出的兩個球顏色相同即為中獎，顏色不同即為不中獎，有兩種摸球方式：一是每
次摸球后將球均不放回袋中，直接進行下一次摸球，中獎次數記為 X；二是每次摸球后
將球均放回袋中，再進行下一次摸球，中獎次數記為 Y．
（1）求第一次摸球就中獎的概率；（2）若 n＝2，求 X 的分布列和數學期望；
（3） 若 n＝10，函數 隨機變量 ，求 Z 的數學期
望．
19．（17 分）已知函數 f（x）＝x（a﹣lnx），a R．
（1） 若 a＝2 時，曲線 f（x）與直線 y＝m（x+1）相切，求實數 m 的值；
（2） 若 x＝1 是 f（x）的極值點，函數 g（x）＝f（x）﹣2k 有且僅有一個零點，設 x1
和 x2為兩個不相等的正數，且滿足 f（x1）＝f（x2）．
①求 k 的取值范圍；
②求證：x1+x2＜e．月考試題答案
1-----5 CACBB 6----8 CCA 9.BCD 10.BD 11.ACD 12.4 13.3/2 或 1/3 14.156
15.解：（I）∵第 4 項的二項式系數與第 3 項的二項式系數的比為 8：3
∴ ∴n ＝ 1 0 ； ∴
（I I ）
，其通項公式為 Tr+1＝（﹣2）r× ×x5﹣r
令 5﹣r＝3，可得 r＝2 ∴展開式中 x3 項的系數為（﹣2）2× ＝180．
16.（1）根據農戶近 5 年種植藥材的平均收入情況的統計數據可得：
59 61 64 68 73
65，設 t x2 ，則 y bx2 a bt
a y 0 .6 x 2 58.4 . y bt 65 0.6 11 58.4 . 所以，回歸方程為
（2）將 x 值代入可得估計值分別為 59，60.8，63.8，68，73.4，
59 59 2 則殘差平方和為 61 60.8
2
64 63.8 2 68 68 2 73 73.4 2 0.24 .
因為 0.24 0.5，所以回歸方程 y 0.6x2 58.4 擬合效果符合要求.
17.解：（1）f（x）＝2x3﹣3ax2+1 定義域為 R，f′（x）＝6x2﹣6ax＝6x（x﹣a），當 a＞0
時，令 f′（x）＞0，得 x＞a 或 x＜0，令 f′（x）＜0，得 0＜x＜a，函數的單調遞增
區間是（﹣∞，0）和（a，+∞），單調遞減區間是（0，a）；當 a＜0 時，令 f′（x）＞
0，得 x＞0 或 x＜a，令 f′（x）＜0，得 a＜x＜0，函數的單調遞增區間是（﹣∞， a）
和（0，+∞），單調遞減區間是（a，0）；當 a＝0 時，f′（x）＝6x2≥0 恒成立，函數在
（﹣∞，+∞）單調遞增．綜上可知，當 a＞0 時，函數的單調遞增區間是（﹣∞， 0）
和（a，+∞），單調遞減區間是（0，a）；當 a＜0 時，函數的單調遞增區間是（﹣ ∞，
a）和（0，+∞），單調遞減區間是（a，0）；當 a＝0 時，函數的單調遞增區間是
（﹣∞，+∞），無減區間．
（2）若函數 f（x）＝2x3﹣3ax2+1≥0，對 x∈（0，+∞）恒成立，
即對 x∈（0，+∞）恒成立，
令，x∈（0， +∞），則 ，
當 0＜x＜1 時 F′（x）＜0，當 x＞1 時 F′（x）＞0，所以 F（x）在區間（0，
1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增，
所以 F（x）在 x＝1 處取得極小值即最小值 F（x）min＝F（1）＝1，所以 a≤1，即實數
a 的取值范圍為（﹣∞，1]．
18.解：（1）記“第一次摸球就中獎”為事件 A，則 ，
即第一次摸球就中獎的概率為 ；
（2） 若 n＝2，且第一次摸球后將球均不放回袋中，直接進行第二次摸球，則 X 的可能
取值為 0，1，2，
則 ，
，
，
則 X 的分布列為：
X 0 1 2
P
則 ；
（3） 若 n＝10，且每次摸球后均將球放回袋中，再進行下一次摸球，則每次中獎相互獨
立，且由（1）知每次中獎的概率均為
，所 以
，
此時 Y 的可能取值為 0，1，2，…，10，
Z 的可能取值 為 f
， ， ，… ， ，
（0）， ，f （1），
，當 Y ＝ 9 時 ， ，
當 Y≤8
時，
當 Y ＝ 10 時 ， Z ＝ f （ 1 ） ＝ 0 ， 因 為
，i ＝0 ， 1 ， 2 ， …，
10， 所以
＝ ，
＝
又 E（Y）＝ ＝4，
所以
＝ ＝ ，
＝ ＝ ，即
．
19.解：（1）當 a＝2 時，f（x）＝x（2﹣lnx），f'（x）＝1﹣lnx，設切點坐標為（x0，x0
（2﹣lnx0）），又 f'（x0）＝1﹣lnx0，切線方程為 y﹣x0（2﹣lnx0）＝（1﹣lnx0）（x﹣
x0），又切線 y＝m（x+1）過點（﹣1，0），所以 0﹣x0（2﹣lnx0）＝（1﹣lnx0）（﹣1
﹣x0），整理得 x0+lnx0＝1，易知 y＝x+lnx 在（0，+∞）上單調遞增，且當 x＝1 時，
y＝1+ln1＝1，所以 x0+lnx0＝1，當且僅當 x0＝1 時成立，所以 m＝f'（x0）＝f'（1）＝
1，即所求實數 m 的值為 1；
（2）①f'（x）＝a﹣lnx﹣1（x＞0），
因為 x＝1 是 f（x）的極值點，所以 f′（1）＝a﹣1＝0，解得 a＝
1，經檢驗符合題意，則 f（x）＝x（1﹣lnx），f′（x）＝﹣lnx，當 0＜
x＜1 時，f′（x）＞0，當 x＞1 時，f′（x）＜0，所以函數 f（x）在
（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，所
以 f（x）max＝f（1）＝1，又當 x→0 時，f（x）＞0 且 f（x）→0，當 x→+∞
時，f（x）→﹣∞，作出函數 f（x）的大致圖象，如圖所示，
函數 g（x）＝f（x）﹣2k 有一個零點，即函數 y＝f（x），y＝2k 的圖象有一個交點，由
圖可知 2k＝1 或 2k≤0，所以 k≤0 或 k＝ ，即 k 的取值范圍是（﹣∞，0]∪{ }；
②證明：當 a＝1 時，f（x）＝x（1﹣lnx），由 f（x1）＝f（x2），不妨設 x1＜
x2，又 f（e）＝0，結合①，則 0＜x1＜1＜x2＜e，要證 x1+x2＜e，由 f（x1）
＝f（x2），得 x1（1﹣lnx1）＝x2（1﹣lnx2）＞x1，即證 x2（1﹣lnx2）+x2＜
e x1+x2＜e，
令 μ（x）＝x（1﹣lnx）+x，x∈（1，e），則 μ′（x）＝1﹣lnx＞0，故 μ（x）在區間
（1，e）內單調遞增，所以 μ（x）＜μ（e）＝e，故 μ（x2）＜e，即
x1+x2＜e．綜上，x1+x2＜
e．
11.】解：若函數 f（2x+2）為偶函數，可得 f（﹣2x+2）＝f（2x+2），即
為 f（﹣x+2）＝f（x+2），即 f（﹣x）＝f（x+4），又 f（x+1）為奇函
數，可得 f（﹣x+1）+f（x+1）＝
0，即有 f（﹣x）+f（x+2）＝0，所以 f（x+4）＝﹣f
（x+2），即有 f（x+2）＝
﹣f（x），可得 f（﹣x）＝
f（x），即 f（x）為偶函
數，故 A 正確；當 x
（0，1]時，f（x）＝lnx，
由 f（x+4）＝﹣f（x+2）
＝f（x），可得 f（x）的最
小正周期為 4， f（e）＝f
（﹣e）＝f（4﹣e）＝﹣f
（e﹣2）＝﹣ln（e﹣2），
故 B 錯誤； f（4
﹣ ）＝f（﹣ ）＝f（ ）＝ln ＝﹣1，故 C 正確；當 x
11，2）時，2﹣x （0，1]，f（2﹣x）＝ln（2﹣ x），而
f（2﹣x）＝﹣f（﹣x）＝﹣f（x），則 f（x）＝﹣ ln（2﹣
x），x 11，2），故 D 正確．

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