資源簡介

福建省 2025 年中考數學試題
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。
1.下列實數中，最小的數是
A. -1 B. 0 C. D. 2
2.中國古算詩詞歌賦較多.古算詩詞題，是反映數學數量關系的內在聯系及其規律的一種文學浪漫形式.下列分別是古算詩詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形的是
3.若 在實數范圍內有意義，則實數x的值可以是
A.-2 B.-1 C.0 D.2
4.福建博物院收藏著一件“鎮館之寶”——云紋青銅大鐃，如圖1.云紋青銅大鐃是西周樂器，鼓飾變形獸面紋，兩側飾云雷紋，渾大厚重，作風穩重古樸，代表了福建古代青銅文化曾經的歷史和輝煌.圖2為其示意圖，它的主視圖是
5.不等式 的解集在數軸上表示正確的是
6.在分別寫有-1，1，2的三張卡片中，不放回地隨機抽取兩張，這兩張卡片上的數恰好互為相反數的概率是
A B C. D
7.某數學興趣小組為探究平行線的有關性質，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點A，E，C，F在同一條直線上,∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°.當AD∥BC時,∠ADE的大小為
A.5° B.15° C.25° D.35°
8.為加強勞動教育，增加學生實踐機會，某校擬用總長為5米的籬笆，在兩邊都足夠長的直角圍墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實踐基地，如圖所示.設矩形的一邊長為x米，根據題意可列方程
A. B.
C. x(5-x)=6 D.
9.如圖, PA與⊙O 相切于點A, PO 的延長線交⊙O 于點 C. AB∥PC,且交⊙O 于點 B.若 則 的大小為
A.30° B.
C.60° D.
10.已知點 在拋物線 上，若 ，則下列判斷正確的是
A. B.
C. D.
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11.為響應“體重管理年”有關倡議，小敏對自己的體重進行了跟蹤統計.為方便記錄，他將體重增加1.5kg 記作 ，那么體重減少1 kg應記作 .
12.某房梁如圖所示,立柱AD⊥BC, E,F分別是斜梁AB,AC的中點.若AB=AC=8m,則DE的長為 m.
13.若反比例函數 的圖象過點( ，則常數
14.如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，EF過點O 且與邊AB, CD 分別相交于點 E,F.若 則△AOE 與△DOF 的面積之和為 .
15.某公司為選拔英語翻譯員，舉行聽、說、讀、寫綜合測試，其中聽、說、讀、寫各項成績(百分制)按4：3：2：1的比例計算最終成績.參與選拔的甲、乙兩位員工的聽、說、讀、寫各項測試成績及最終成績如下表：
項目 員工 聽 說 讀 寫 最終成績
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
由以上信息,可以判斷A,B的大小關系是A B.(填“>”“=”或“＜”)
16.彈簧秤是根據胡克定律并利用物體的重力來測量物體質量的.胡克定律為：在彈性限度內，彈簧彈力 F的大小與彈簧伸長(或壓縮)的長度x成正比，即F=kx，其中k為常數，是彈簧的勁度系數；質量為m的物體重力為mg，其中g為常數.如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時彈簧的長度為6厘米.在其彈性限度內：當所掛物體的質量為0.5千克時，彈簧長度為6.5厘米，那么，當彈簧長度為6.8厘米時，所掛物體的質量為 千克.
三、解答題：本題共9 小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(8分)
計算：
18.(8分)
如圖，點E，F分別在AB，AD的延長線上， 求證：
19.(8分)
先化簡，再求值： 其中
20.(8分)
甲、乙兩人是新華高級中學數學興趣小組成員.以下是他們在參加高中數學聯賽預備隊員集訓期間的測試成績及當地近五年高中數學聯賽的相關信息.
信息一：甲、乙兩人集訓期間的測試成績(單位：分)
日期 隊員 2月10日 2月 21 日 3月5日 3月14 日 3月25 日 4月7日 4月17 日 4月27 日 5月8日 5月 20日
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
其中，甲、乙成績的平均數分別是 方差分別是
信息二：當地近五年高中數學聯賽獲獎分數線(單位：分)
年份 2020 2021 2022 2023 2024
獲獎分數線 90 89 90 89 90
試根據以上信息及你所學的統計學知識，解決以下問題：
(1)計算a的值，并根據平均數與方差對甲、乙的成績進行評價；
(2)計算當地近五年高中數學聯賽獲獎分數線的平均數，并說明：若要從中選擇一人參加高中數學聯賽，選誰更合適；
(3)若要從中選擇一人參加進一步的培養，從發展潛能的角度考慮，你認為選誰更合適 為什么
21.(8分)
如圖， 是等邊三角形，D是AB的中點， ,垂足為 C,EF 是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF過點A,BE交CD 于點 G.
(1)求 的大小；
(2)求證: 是等邊三角形.
22.(10分)
如圖,矩形ABCD中,
(1)求作正方形EFGH,使得點 E,G分別落在邊AD, BC上,點 F,H落在BD上；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)若 ，求(1)中所作的正方形的邊長.
23.(10分)
在平面直角坐標系中，二次函數 的圖象過點A(1,t), B(2,t).
(1)求
(2)已知二次函數 的最大值為
(i)求該二次函數的表達式；
(ii)若 為該二次函數圖象上的不同兩點，且
求證：
24.(12分)
閱讀材料，回答問題.
主題 兩個正數的積與商的位數探究
提 出 問 題 小明是一位愛思考的小學生.一次，在完成多位數的乘法時，他根據算式“46×2=92;35×21=735;663×11=7293;186×362=67332”,猜想:m位的正整數與n位的正整數的乘積是一個( 位的正整數.
分析 探究 問題1 小明的猜想是否正確 若正確，請給予證明；否則，請舉出反例.
推廣 延伸 小明的猜想激發了初中生小華的探究熱情.為了使問題的研究推廣到有理數的乘法，進而遷移到對除法的研究，小華將數的“位數”與“數字”的概念進行推廣，規定：如果一個正數用科學記數法表示為 則稱這個數的位數是 n+1，數字是a. 借此，小華研究了兩個數乘積的位數問題，提出并證明了以下命題. 命題:若正數A,B,C的位數分別為m,n,p,數字分別為a,b,c,且A×B=C,則必有c≥a且c≥b,或c＜a且c＜b.并且,當( 且 時，p = m+n-1;當c＜a且c＜b時,p =m+n. 證明：依題意知，A，B，C用科學記數法可分別表示為 其中a，b，c均為正數. 由A×B=C,得 即 ( * ) 當c≥a且c≥b時, 所以 又 所以 由( *)知, 所以 當c≥a且c＜b時, ，所以 所以 與(*)矛盾，不合題意； 當c＜a且c≥b時,_____________①______________; 當c＜a且c＜b時,_____________②__________ 綜上所述，命題成立.
拓展 遷移 問題2 若正數A，B的位數分別為m，n，那么 的位數是多少 證明你的結論.
(1)解決問題1;
(2)請把①②所缺的證明過程補充完整；
(3)解決問題2.
25.(14分)
如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,AD,BC的延長線相交于點E,AC,BD相交于點 F. G是AB上一點, GD交AC于點 H,且.
(1)求證:
(2)求證:
(3)若 求 的周長.
福建省 2025 年初中畢業及高中階段各類學校招生考試
數學答案
一、選擇題：本題考查基礎知識與基本技能。每小題4分，滿分40分。
1. A 2. D 3. D 4. A 5. C
6. B 7. B 8. C 9. C 10. A
二、填空題：本題考查基礎知識與基本技能。每小題4分，滿分24分。
11.-1 12.4 13.-2
14.1 15.> 16.0.8
三、解答題：本題共9小題，共86分。
17.本小題考查零指數冪、絕對值、算術平方根、二次根式的運算等基礎知識，考查運算能力.滿分8分.
解：
說明：本參考答案僅給出一種解法供參考.
18.本小題考查全等三角形的判定與性質、補角的性質等基礎知識，考查推理能力、幾何直觀等.滿分8分.
證明:∵∠CBE=∠CDF,∠ABC +∠CBE=180°,∠ADC +∠CDF=180°,
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中,
∴AB=AD.
說明：本參考答案僅給出一種解法供參考.
19.本小題考查分式的基本性質、整式的運算、因式分解、二次根式的運算等基礎知識，考查運算能力，考查化歸與轉化思想等.滿分8分.
解：
當 時，
原式
說明：本參考答案僅給出一種解法供參考.
20.本小題考查平均數、方差、用頻率估計概率等基礎知識，考查運算能力、數據觀念、模型觀念、應用意識與創新意識，考查統計與概率思想等.滿分8分.
解： 即
因為
所以
所以甲、乙兩人的整體水平相當，但乙的成績比甲穩定.
(2)由已知得，獲獎分數線的平均數為
從信息一可知，在集訓期間的十次測試成績中，甲達到獲獎分數線的平均數的頻數為4，而乙的頻數為1，所以甲獲獎的可能性更大，故選甲參加更合適.
(3)選甲更合適.理由：在集訓期間的十次測試成績中，甲呈上升趨勢，而乙基本穩定在原有的水平，故從發展潛能的角度考慮，選甲更合適.
注：本題第(3)問為開放性試題，無論選甲或選乙，只要言之有理即可.
說明：本參考答案僅給出一種解法供參考.
21.本小題考查等邊三角形的判定與性質、平移的基本性質、線段垂直平分線的判定與性質、平行線的性質、等腰三角形的判定與性質等基礎知識，考查空間觀念、幾何直觀與推理能力，考查化歸與轉化思想等.滿分8分.
解:(1)∵△ABC是等邊三角形,
∵D 是AB 的中點,
∵CE⊥BC,
∴∠BCE=90°,
(2)由平移可知:CD∥EF,
∴∠EAC=∠DCA=30°,
又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=CE,∠AEC=120°,
又∵AB=CB,
∴BE 垂直平分AC,
由(1)知,∠GCE=60°,
∴∠EGC=60°,
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC,
∴△CEG是等邊三角形.
說明：本參考答案僅給出一種解法供參考.
22.本小題考查尺規作圖、矩形的性質、平行線分線段成比例、線段垂直平分線的判定與性質、正方形的判定與性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質等基礎知識，考查推理能力、運算能力、幾何直觀與空間觀念，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想等.滿分10分.
解:(1)
如圖，四邊形EFGH 就是所求作的正方形.
(2)連接EG交 BD 于點 O.
∵四邊形 EFGH是正方形，
∴OE=OG.
∵四邊形ABCD 是矩形,
∴∠A=90°,AD∥BC.
∴OB=OD.
在Rt△ABD中,AB=2,AD=4,
∵四邊形 EFGH是正方形，
∴EG⊥FH,
∴∠DOE=∠DAB=90°.
又∵∠ODE=∠ADB,
∴△EOD ∽△BAD,
即
在Rt△EOH中,OE=OH,
即正方形EFGH的邊長為
說明：本參考答案僅給出一種解法供參考.
23.本小題考查二次函數表達式、二次函數的圖象與性質、一元二次方程、等式的基本性質、分式的基本性質、代數推理等基礎知識，考查運算能力、推理能力、幾何直觀，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想等.滿分10分.
解：(1)二次函數 的圖象的對稱軸為
因為點A(1,t),B(2,t)在該函數的圖象上,所以 所以 所以
(2)(i)由(1)可得,b=-3a,
所以該函數的表達式為
函數圖象的頂點坐標為
因為函數的最大值為
所以a＜0,且
解得a=-1,或a=4(舍去).
所以該二次函數的表達式為
(ii)因為點 在函數 的圖象上，所以
由(i)知,點 關于直線 對稱，不妨設 則 即
所以
=0,
所以
說明：本參考答案僅給出一種解法供參考.
24.本小題考查判斷命題的真假、科學記數法、整數指數冪、冪的運算、不等式的基本性質、代數推理等基礎知識；考查抽象能力、推理能力、運算能力、應用意識與創新意識，考查應用所學知識分析、解決問題的綜合實踐能力；考查特殊與一般思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想等.滿分12分.
解：(1)小明的猜想不正確.
反例:3×4=12.
（2） 所以 所以 與(*)矛盾，不合題意；
所以 又 所以
由( *)知 所以p=m+n.
(3)當A的數字大于或等于B的數字時， 的位數是m-n+1;
當A的數字小于B的數字時， 的位數是m-n.
證明如下：
由已知，A，B的位數分別為m，n，
設 A,B,C的數字分別為a,b,c,C的位數為x,則B×C=A.
由小華的命題知，當a≥b時，必有a≥c，
此時,m=n+x- 1,所以x=m-n+ 1;
當a＜b時,必有a＜c,
此時,m=n+x,所以x=m-n.
綜上所述，當A 的數字大于或等于B的數字時，的位數是m-n+1;
當A的數字小于B的數字時， 的位數是m-n.
說明：本參考答案僅給出一種解法供參考.
25.本小題考查圓的有關性質、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、解直角三角形、三角形內角和定理及其推論等基礎知識，考查推理能力、空間觀念、幾何直觀、運算能力與創新意識，考查數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想等.滿分14分.
解:(1)∵AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB.
∴∠ACB=∠ADB,
∴∠ABC=∠ADB.
∵∠ADB=∠DBE +∠E,
∴∠ABC=∠DBE+∠E.
∴∠ABD=∠ACD.
∵BG=DG,
∴∠BDG=∠ABD=∠ACD,
又∵∠DHF=∠CHD,
∴△HDF∽△HCD,
由(1)知,∠ABC=∠DBE +∠E,
又∵∠ABC=∠DBE+∠ABD,
∴∠ABD=∠E,
∴∠BDG=∠E.
∴ ∠ADG=∠DBC.
∴∠DAC=∠DBC,
∴∠ADG=∠DAC,
∴AH=DH,
(3)由(2)知,AH=DH,
∴△AGH 的周長為 .設DE=m,則
由(2)可知,∠ACD=∠E.
又∵∠CAD=∠EAC,
∴△ACD∽△AEC,
又∵
說明：本參考答案僅給出一種解法供參考
∴EC=3.
過點C作CP⊥AE,垂足為P,則.
∵四邊形ABCD 是圓內接四邊形，
又∵∠ADC +∠CDP=180°,
∴∠CDP=∠ABC,
∴在Rt△DCP中, 即
∴PD=1,
在 中，
解得m=3,或m=-1(舍去).
∴△AGH 的周長為

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