資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數(shù)學學科
第02講 一元二次方程
知識點 1 一元二次方程的相關概念
一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等號左邊是一個關于未知數(shù)的二次多項式，等號右邊是0.其中：是二次項，a是二次項系數(shù)，是一次項，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.
【易錯/熱考】如果明確了為一元二次方程，就隱含了這個條件.
一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（根）.
判斷一個數(shù)是不是一元二次方程的根：將此數(shù)代人這個一元二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，則是方程的根；若不相等，則不是方程的根.
知識點 2 一元二次方程的解法
基本思路：通過“降次”，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原方程的解.
1. 直接開平方法（基礎）
例：形如（a≠0）的一元二次方程：
當＞0時，則x1=，x2= -，此時方程有兩個不相等的實數(shù)根；
當＝0時，則，此時方程有兩個相等的實數(shù)根；
當＜0時，則方程無實數(shù)根.
2. 配方法（基礎）
配方的實質(zhì)：將方程化為的形式，當m≥0時，直接用直接開平方法求解.
用配方法解一元二次方程的一般步驟：
1）移項：將常數(shù)項移到等號右邊,含未知數(shù)的項移到等號左邊；
2）二次項系數(shù)化為1：如果二次項系數(shù)不是1，將方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；
3）配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一般的平方，把方程化為的形式；
4）求解：若q≥0時，直接用直接開平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步驟：
1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分數(shù)通常將其化為整數(shù)，方便計算)；
2）求出的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；
3）如果, 將a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【補充說明】求根公式的使用條件：
4. 因式分解法
依據(jù)：如果兩個一次因式的積為0，那么這兩個因式中至少一個為0，即若ab=0，則a=0或b=0.
步驟：
1）將方程右邊的各項移到方程左邊，使方程右邊為0；
2）將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；
3）令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；
4）求解.
【易錯易混】利用因式分解法解方程時，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過移項,將方程右邊化為0.
知識點 3 一元二次方程根的判別式
根的判別式的定義：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即.
根的情況與判別式的關系：在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根的情況由其系數(shù)a，b，c，即確定.
1）方程有兩個不相等的實根:；
2）方程有兩個相等的實根：；
3）方程無實根.
【補充說明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個相等的實數(shù)根；2）有兩個不相等的實數(shù)根．
【易錯易混】
1）使用一元二次方程根的判別式時，應先將方程整理成一般形式，再確定a，b，c的方程；
2）當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，不能說方程只有一個實數(shù)根.
知識點 4 一元二次方程的根與系數(shù)的關系
若一元二次方程的兩個根是，則與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關系：+＝，＝
【補充說明】
1）一元二次方程根與系數(shù)關系的使用條件：.
2）當一元二次方程的二次項系數(shù)為1時，如，其兩根關系為+＝， ＝.
3）以兩個數(shù)為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是.
4）運用根與系數(shù)的關系和運用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.
知識點 5 一元二次方程的應用
用一元二次方程解決實際問題的步驟：
審：理解并找出實際問題中的等量關系;
設：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎數(shù)據(jù);
列：找到所列代數(shù)式中的等量關系，以此為依據(jù)列出方程;
解：求解方程;
驗：考慮求出的解是否具有實際意義;
答：實際問題的答案.
一元二次方程的常見問題及數(shù)量關系：
常見問題 數(shù)量關系
變化率問題
利潤問題 利潤=售價-進價； 利潤率=利潤/進價×100% 總利潤=總售價-總成本=單個利潤×總銷售量.
循環(huán)問題 單循環(huán)（如握手問題）：n（n－1） （其中n為人數(shù)） 雙循環(huán)（如寫信問題）：n（n－1） （其中n為人數(shù)）
面積問題
(a 2x)(b 2x) （x為空白部分的寬） (a x)(b x) （x為陰影部分的寬）
考點一：一元二次方程的相關概念
例1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】關于的方程是一元二次方程，則（ ）
A． B． C． D．或
【變式1-2】將方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】已知是關于的一元二次方程（其中為實數(shù)）的一個非零實數(shù)根，若記為，則與的關系是 ．
【變式1-4】若m是方程 的一個根，則 的值為 ．
考點二：一元二次方程的解的估算
例2．根據(jù)下列表格的對應值，判斷方程（，，，為常數(shù)）一個解的范圍是（ ）
3.1 3.2 3.3 3.4
0.5
A． B． C． D．
【變式2-1】在估算一元二次方程的根時，小明列表如下：
x 1
由此可以確定，一元二次方程的一個根x的大致范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】如表是某同學求代數(shù)式（為常數(shù)）的值的情況．根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知關于的方程的實數(shù)根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式2-3】如果是方程的一個根，根據(jù)下面表格中的取值，可以判斷 ．
1.2 1.3 1.4 1.5
0.36 0.75
【變式2-4】小貝在做“一塊矩形鐵片，面積為，長比寬多，求鐵片的長”時是這樣做的：設鐵片的長為，列出的方程為，整理，得小貝列出方程后，想知道鐵片的長到底是多少下面是它的探索過程：
第一步：


所以
第二步：


所以 ．
(1)請你幫小貝填完空格，完成她未完成的部分．
(2)通過以上探索，可以估計出矩形鐵片的長的整數(shù)部分為多少十分位為多少
考點三：一元二次方程的解法
例3．解方程：
(1)；
(2)．
【變式3-1】解下列方程：
(1)
(2)
【變式3-2】解方程：
(1)
(2)
(3)
【變式3-3】解方程：
(1)；
(2)下面是小蔣同學解一元二次方程的過程，請仔細閱讀并完成相應的任務．
解方程：，
解：方程兩邊同除以，得第一步
移項，合并同類項，得第二步
系數(shù)化為，得第三步
任務：
小蔣的解法從第_____步開始出現(xiàn)錯誤；
請寫出此題的正確解題過程．
【變式3-4】解下列方程：
(1)；
(2)．
考點四：配方法的應用
例4．在實數(shù)范圍內(nèi)，代數(shù)式的值不可能為（　　）
A． B． C． D．
【變式4-1】已知三角形的三條邊為，，，且滿足，則這個三角形的最大邊的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】我們已經(jīng)學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其它重要應用．
例如：求代數(shù)式的最小值？解答過程如下：
解：．
，
當時，的值最小，最小值是0，
，
當時，的值最小，最小值是1，
的最小值為1．
根據(jù)上述方法，可求代數(shù)式當 時有最 （填“大”或“小”）值，為 ．
【變式4-3】我們知道：對于任何實數(shù)，
①，；②，．
請模仿上述方法解答：
(1)求證：對于任何實數(shù)，都有；
(2)不論為何實數(shù)，請通過運算，比較多項式與的值的大小．
【變式4-4】閱讀材料，回答下列問題：
利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式最小值、最大值問題．
【初步思考】觀察下列式子：
（1）；
，
，
代數(shù)式的最小值為；
【嘗試應用】閱讀上述材料并完成下列問題：
（1）求的最小值；
【拓展提高】（2）求的最大值．
考點五：換元法解一元二次方程
例5．若關于的一元二次方程有一個根為2020，則方程必有根為（ ）
A．2020 B．2021 C．2019 D．2022
【變式5-1】已知關于x的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），那么方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．無法求解
【變式5-2】已知方程的解是，，則方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【變式5-3】若關于x的方程的解是，，則關于y的方程的解是 ．
【變式5-4】閱讀下列材料：
為解方程，可將方程變形為，然后設，則，原方程化為①，解①得，．當時，無意義，舍去；當時，，解得，原方程的解為，．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題．
利用以上學習到的方法解方程：．
考點六：根的判別式
例6．關于的一元二次方程的根的情況，有以下四種表述，其中表述正確的是（ ）
A．當，，時，方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；
B．當，，時，方程一定沒有實數(shù)根；
C．當，時，方程一定沒有實數(shù)根；
D．當，，時，方程一定有實數(shù)根．
【變式6-1】已知一元二次方程和．在探究兩個方程的根的情況時，甲同學認為：若， 則兩個方程都有兩個不相等的實數(shù)根；乙同學認為：若m是其中一個方程的根， 則是另一個方程的根；以下對兩位同學的看法判斷正確的是（ ）
A．甲乙都正確 B．甲乙都錯誤
C．甲正確，乙錯誤 D．甲錯誤，乙正確
【變式6-2】關于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情況是（）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根 D．無法確定
【變式6-3】已知一次函數(shù)的圖像不過第三象限，則方程的根的個數(shù)為 ．
【變式6-4】已知方程，
(1)求證：對任意實數(shù)m，方程總有兩個實數(shù)根；
(2)任給一個m值，使得方程有兩個不同的正實數(shù)根，并求出方程的兩根．
考點七：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)
例7．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【變式7-1】若關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則 ．
【變式7-3】定義新運算：，例如：．若方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為 ．
【變式7-5】關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若為正整數(shù)，求此方程的根．
考點八：一元二次方程根與系數(shù)的關系
例8．關于的一元二次方程的兩個根是，，則的值為（ ）
A．8 B． C． D．2
【變式8-1】已知，是方程的兩根，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【變式8-2】已知關于的一元二次方程．若方程的兩個實數(shù)根為，，且，則實數(shù)的值為 ．
【變式8-3】若一元二次方程的兩根為m，n，則 ．
【變式8-4】法國數(shù)學家韋達在研究一元二次方程時發(fā)現(xiàn)：如果關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為、；那么兩個根的關系為：，．習慣上把這個結(jié)論稱作“韋達定理”．
定義：倍根方程：如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根（都不為0），且其中一個根等于另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程的兩個根是和，則方程就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(2)若是“倍根方程”，求m與n的關系；
(3)若關于x的一元二次方程是“倍根方程”，請說明，
考點九：一元二次方程的應用1
例9．實踐活動：某中學“田園夢工廠”社團準備圍建一個長方形菜園（如圖）．
素材1：要圍建的菜園邊上有一堵墻，長為，菜園的一邊靠墻，另外三邊用總長為的鋁合金材料圍建．
素材2：與墻平行的一邊上要預留寬的入口．
任務1：當長方形菜園的長為多少米時，菜園的面積為？
任務2：能否圍成的長方形菜園？若能，求出的長；若不能，請說明理由．
【變式9-1】如圖，在中，，，，點從點出發(fā)以每秒的速度向運動，同時點從點出發(fā)以每秒的速度也向運動，一個點到達點則另一個點也停止運動，設運動時間為秒．
(1)用含的式子表示、的長，并指出的取值范圍；
(2)連接，為何值時，的面積為．
【變式9-2】2024年7月，受臺風影響，我市某地遭受特大暴雨，受災嚴重．我市迅速啟動救援，擬建一批臨時安置房．如圖所示，現(xiàn)有一面長為米的墻，欲利用該墻搭建一間矩形臨時安置房．已知目前有可搭建總長為米圍墻的建筑材料（損耗忽略不計）．設邊長為x米．
(1)用含x的代數(shù)式表示的長；
(2)矩形安置房總占地面積可能為平方米嗎？請說明理由．
【變式9-3】如圖，學校在教學樓后面搭建了兩個簡易的矩形自行車車棚，一邊利用教學樓的后墻（可利用墻長為），其他的邊用總長的不銹鋼柵欄圍成，左右兩側(cè)各開一個1m的出口后，不銹鋼柵欄狀如“山”字形．（備注信息：距院墻7米處，規(guī)劃有機動車停車位）
(1)若設車棚寬度為，則車棚長度為______m；
(2)若車棚面積為，試求出自行車車棚的長和寬；
(3)若學校擬利用現(xiàn)有柵欄對車棚進行擴建，請問能圍成面積為的自行車車棚嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．
【變式9-4】如圖，某農(nóng)場有兩堵互相垂直的墻，長度分別為米和米，該農(nóng)場打算借這兩堵墻建一個長方形飼養(yǎng)場，其中和兩邊借助墻體且不超出墻體，其余部分用總長米的木欄圍成，中間預留1米寬的通道，在和邊上各留1米寬的門，設長米．
(1)求的長度（用含的代數(shù)式表示，并求出的取值范圍）．
(2)若飼養(yǎng)場的面積為平方米，求的值．
考點十：一元二次方程的應用2
例10．2024年4月25日，搭載神舟十八號載人飛船的長征二號F遙十八運載火箭發(fā)射成功．某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國空間站”模型．已知該模型平均每天可售出20個，每個盈利40元．為了擴大銷售，該網(wǎng)店準備適當降價，經(jīng)過一段時間測算，每個模型每降低1元，平均每天可以多售出2個．
(1)若每個模型降價5元，平均每天可以售出多少個模型？此時每天獲利多少元？
(2)在每個模型盈利不超過25元的前提下，要使“中國空間站”模型每天獲利1200元，每個模型應降價多少元？
【變式10-1】某水果經(jīng)銷商批發(fā)了一批水果，進貨單價為每箱元，若按每箱元出售，則每天可銷售箱．現(xiàn)準備提價銷售，經(jīng)市場調(diào)研后發(fā)現(xiàn)：每箱每提價元，每天的銷量就會減少箱．設該水果售價為每箱元．
(1)用含的代數(shù)式表示提價后平均每天的銷售量為______箱；（化為最簡形式）
(2)既要考慮經(jīng)銷商的利潤，保證經(jīng)銷商每天可獲得元利潤，又要讓利于消費者，則這批水果應按每箱多少元銷售？
【變式10-2】商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．
(1)若某天該商品每件降價5元，當天可獲利多少元？
(2)在上述銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？
【變式10-3】2023年亞運會在杭州順利召開，亞運會吉祥物蓮蓮爆紅．
(1)據(jù)統(tǒng)計某蓮蓮玩偶在某電商平臺6月份的銷售量是5萬件，8月份的銷售量是萬件，問月平均增長率是多少？
(2)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某實體店蓮蓮玩偶的進價為每件60元，若售價為每件100元，每天能銷售20件，售價每降價1元，每天可多售出2件，為了推廣宣傳，商家決定降價促銷，同時盡量減少庫存，若使銷售蓮蓮玩偶每天獲利1200元，則售價應降低多少元？
【變式10-4】為了促進銷售、擴大市場占有率，某品牌銷售部在某小區(qū)開展中央空調(diào)團購活動，請根據(jù)以下素材完成“問題解決”中的三個問題．
素材1 某款中央空調(diào)每臺進價為20000元．
素材2 團購方案：團購2臺時，則享受團購價30000元/臺，若團購數(shù)量每增加1臺，則每臺再降500元． 規(guī)定：一個團的團購數(shù)量不超過11臺．
問題解決 問題1：當團購3臺時，求出每臺空調(diào)的團購價． 問題2：設團購數(shù)量增加x臺，請用含x的代數(shù)式表示每臺空調(diào)的團購價． 問題3：當一個團的團購數(shù)量為多少臺時，銷售部的利潤為58500元．
拓展訓練一：整體代入求一元二次方程的解
1．關于的方程的解是，，，均為常數(shù)，，則方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知實數(shù)滿足，則的值為（ ）
A． B．4 C．或4 D．2
3．若關于x的一元二次方程的解是，，則的解是 ．
4．為了解方程，我們可以將看作一個整體，然后設，那么原方程可化為，解得，
當時，，∴，∴；
當時，，∴，∴；
故原方程的解為．
以上方法叫換元法，利用換元法可以達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照上述方法求出方程的解為 ．
5．閱讀下列材料：
已知實數(shù)、滿足，試求的值．
解：設，則原方程可化為，即；
解得．
，
．
上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學學習中最常用的一種思想方法，在結(jié)構較復雜的數(shù)和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替(即換元)，則能使復雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料為內(nèi)容，解決下列問題：
(1)若四個連續(xù)正整數(shù)的積為，直接寫出這四個連續(xù)的正整數(shù)為 ．
(2)已知實數(shù)、滿足，求的值．
(3)解方程．
拓展訓練二：一元二次方程的特殊解法
1．我們已經(jīng)學習了一元二次方程的多種解法，其基本思路是將二次方程通過“降次”轉(zhuǎn)化為一次方程求解．按照同樣的思路，我們可以將更高次的方程“降次”，轉(zhuǎn)化為二次方程或一次方程進行求解．例如，
①換元法求解四次方程：
設，則原方程可變?yōu)椋獾茫?br/>當時，即，∴；
當時，即，∴；
∴原方程有四個根：，，，．
②因式分解法求解三次方程：
將其變形為；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三個根：，，
(1)仿照以上方法解方程：
①；
②；
(2)已知：，且，則的值為________．
2．解方程．
3．解方程：
(1)；
(2)；
(3)
4．閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題：
解方程：．
解：，
方程即為：，
設，原方程轉(zhuǎn)化為：
解得，，，
當時，即，，；
當時，即，不成立．
綜上所述，原方程的解是，．
以上解方程的過程中，將其中作為一個整體設成一個新未知數(shù)，從而將原方程化為關于的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數(shù)）．
(1)已知方程：，若設，則利用“換元法”可將原方程化為關于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
5．解方程：．
拓展訓練三：一元二次方程根與系數(shù)的關系綜合
1．閱讀下列范例，按要求解答問題．
例：已知實數(shù)、、滿足，，求、、的值．
解法1：由已知得，①．②
將①代入②，整理得．③
由①、③可知，、是關于的方程④的兩個實數(shù)根．
，即．而，，，
將代入④，得．，即．，．
解法2：，、設，．①
，．②
將①代入②，得．
整理，得，即．，．
將、的值同時代入①，得，．，．
以上解法1是構造一元二次方程解決問題．若兩實數(shù)、滿足，，則、是關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，然后利用判別式求解．
以上解法2是采用均值換元解決問題。若實數(shù)、滿足，則可設，，一些問題根據(jù)條件，若合理運用這種換元技巧，則能使問題順利解決．
下面給出兩個問題，解答其中任意一題：
(1)用另一種方法解答范例中的問題．
(2)選用范例中的一種方法解答下列問題：
已知實數(shù)、、滿足，，求證：．
2．類比是探索發(fā)現(xiàn)的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．
學習再現(xiàn)：
設一元二次方程的兩個根分別為和，
那么，
比較系數(shù)得，．
類比推廣：
（）設的三個根分別為，，，求的值．
問題解決：
（）若的三個根分別為，，，則的值是______．
拓展提升：
（）已知實數(shù)滿足，且，求正數(shù)的最小值．
3．已知關于x的一元二次方程有兩個正實數(shù)根，，且．
(1)求k關于n的表達式；
(2)若n為正整數(shù)，求k的取值范圍．
4．關于x的一元二次方程…①和…②．
(1)若，且方程①有兩實根，，方程②有兩實根，，求代數(shù)式的最小值；
(2)是否存在實數(shù)a，使得方程①和②恰有一個公共的實數(shù)根？若存在，請求出實數(shù)a的值；若不存在請說明理由．
5．定義：若關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，分別以，為橫坐標和縱坐標得到點，則稱點為該一元二次方程的衍生點．
(1)直接寫出方程的衍生點的坐標為______；
(2)已知關于的方程．
①求證：不論為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
②求該方程衍生點的坐標；
③已知不論為何值，關于的方程的 生點始終在直線上，求b，c的值．
拓展訓練四：一元二次方程的應用綜合
1．根據(jù)以下素材，探索完成任務
如何利用閑置紙板箱制作儲物盒
素材1 如圖1是小慧家的一個儲物位置，該儲物位置的底面尺寸如圖2所示
素材2 如圖3，4是利用閑置紙板箱拆解出①，②兩種寬均為（）（）的長方形紙板．
素材3 小慧分別將長方形紙板①和②以不同的方式制作儲物盒．
將紙板①裁去角上4個長寬之比為的小長方形，折成一個無蓋有把手的長方形儲物盒（如圖5）． 將紙板②裁出兩個正方形，再裁出陰影部分放在上面的位置，制作一個無蓋紙盒
目標1 （1）若按照長方形紙板①的制作方式制成的儲物盒恰好完全蓋住儲物區(qū)底面，則長方形紙板的寬為_________ （）
利用目標1計算所得的數(shù)據(jù)，進行進一步探究．
目標2 （2）按照長方形紙板①的制作方式，求當儲物盒的底面積是時儲物盒的體積為多少？
目標3 （3）按照長方形紙板②的制作方式制作儲物盒，則儲物盒的底面積為多少？
2．如圖，在四邊形中，，，，，，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿著折線先由A向D運動，再由D向C運動，點Q以每秒1個單位的速度由B向A運動，當其中一動點到達終點時，另一動點隨之停止運動，設運動時間為t秒．
(1)兩平行線與之間的距離是__________．
(2)當點P、Q與的某兩個頂點圍成一個平行四邊形時，求t的值．
(3)，以，為一組鄰邊構造平行四邊形，若的面積為，求t的值．
3．在一元二次方程中，根的判別式通常用來判斷方程實數(shù)根的個數(shù)，在實際應用中，我們也可以用根的判別式來解決部分函數(shù)的最值問題，例如：已知函數(shù)，當取何值時，取最小值，最小值為多少？
解答：
．
，即，
因此的最小值為，
此時，解得，符合題意
當時，
(1)已知函數(shù)，的最大值為多少？
(2)已知函數(shù)，的最小值為多少？
(3)如圖，已知，，是線段上一點，，，，當為何值時，取最小值，最小值是多少？

4．如何利用閑置紙板箱制作儲物盒
如何利用閑置紙板箱制作儲物盒
素材 如圖，圖中是小琴家需要設置儲物盒的區(qū)域，該區(qū)域可以近似看成一個長方體，底面尺寸如圖所示．
素材 如圖是利用閑置紙板箱拆解出的①，②兩種均為長方形紙板．
長方形紙板① 長方形紙板②

小琴分別將長方形紙板①和②以不同的方式制作儲物盒．
長方形紙板①的制作方式 長方形紙板②制作方式
裁去角上個相同的小正方形，折成一個無蓋長方體儲物盒． 將紙片四個角裁去個相同的小長方形，折成一個有蓋的長方體儲物盒．
目標 熟悉材料 熟悉按照長方形紙板①的制作方式制成的儲物盒能夠無縫障的放入儲物區(qū)域，則長方形紙板寬為______．
目標 利用目標計算所得的數(shù)據(jù)，進行進一步探究．
初步應用 （1）按照長方形紙板①的制作方式，為了更方便地放入或取出儲物盒，盒子四周需要留出一定的空間，當儲物盒的底面積是，求儲物盒的容積．
儲物收納 （2）按照長方形紙板②的制作方式制作儲物盒，若和兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為．如圖，是家里一個玩具機械狗的實物圖和尺寸大小，請通過計算判斷玩具機械狗能否完全放入該儲物盒．
5．如圖，在中，，點P從點A出發(fā)，以每秒的速度沿勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)以每秒的速度沿勻速運動，當有一點停止運動時，另一點也停止運動，設運動時間為t秒．
(1)當時，直接寫出P，Q兩點間的距離．
(2)是否存在t，使得的面積是面積的？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
(3)當為直角三角形時，求t的取值范圍．
拓展訓練五：一元二次方程的新定義問題
1．若定義：方程是方程的“倒方程”．則下列四個結(jié)論：
①如果是的倒方程的一個解，則．
②一元二次方程與它的倒方程有公共解．
③若一元二次方程無解，則它的倒方程也無解．
④若，則與它的倒方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
上述結(jié)論正確的有（ ）個
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．對實數(shù)，，定義運算“”為：．已知關于的方程，若該方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值是 ：若該方程有兩個不等負根，則實數(shù)的取值范圍是 ．
3．如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根是另一個根的n倍（n為正整數(shù)），則稱這樣的方程為“n倍根方程”．例如：方程的兩個根分別是2和4，則這個方程就是“二倍根方程”；方程的兩個根分別是1和3，則這個方程就是“三倍根方程”．
(1)根據(jù)上述定義，是“______倍根方程”；
(2)若關于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若關于x的方程是“n倍根方程”，請?zhí)骄縝與c之間的數(shù)量關系（用含n的代數(shù)式表示）；
(4)由（3）中發(fā)現(xiàn)的b、c之間的數(shù)量關系，不難得到的最小值是______．（參考公式：，x、y均為正數(shù)）
4．閱讀材料：
材料1：法國數(shù)學家弗朗索瓦·書達于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與系數(shù)的關系，提出一元二次方程（，）的兩根x1，x2有如下的關系（韋達定理）：，；
材料2：如果實數(shù)m、n滿足、，且，則可利用根的定義構造一元二次方程，然后將m、n看作是此方程的兩個不相等實數(shù)根去解決相關問題．
請根據(jù)上述材料解決下面問題：
(1)若實數(shù)a，b滿足：，則_______，_______；
(2)若是方程兩個不等實數(shù)根，且滿足，求k的值；
(3)已知實數(shù)m、n、t滿足：，，且，求的取值范圍．
5．定義：兩根都為整數(shù)的一元二次方程稱為“全整根方程，代數(shù)式的值為該“全整根方程”的“最值碼”，用表示，即，若另一關于的一元二次方程也為“全整根方程”，其“最值碼”記為，當滿足時，則稱一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侶方程”．
(1)“全整根方程”的“最值碼”是______．
(2)若（1）中的方程是關于的一元二次方程的“全整根伴侶方程”，求的值．
(3)若關于的一元二次方程是（均為正整數(shù)）的“全整根伴侶方程”，求的值．
1．若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，，則m的值為（ ）
A． B．8 C． D．
2．某市積極響應國家的號召“房子是用來住的，不是用來炒的”，在宏觀調(diào)控下，商品房成交價由今年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，且今年房價每月的下降率保持一致，則每月的下降率為（　　）
A． B． C． D．
3．已知關于的一元二次方程，設方程的兩個實數(shù)根分別為，（其中），若是關于的函數(shù)，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程的兩根分別為，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
5．關于的一元二次方程的兩實根，，且滿足，則的值為（ ）
A．1或5 B．1或 C． D．5
6．已知是關于的一元二次方程的一個根，則 ．
7．邊長為整數(shù)的直角三角形，若其兩直角邊長是方程的兩根，則該直角三角形的斜邊長為 ．
8．一次數(shù)學探究活動中，老師給出了兩個二次多項式，（其中p，q，c均是不為零的常數(shù)）及這兩個代數(shù)式的一些信息，如下表所示：
二次多項式 對二次多項式進行因式分解 對二次多項式使用配方法
（說明：a，b，m，n，，均為常數(shù)）
有學生探究得到以下四個結(jié)論：①若，則；②若，則；③若有且只有一個x的值，使代數(shù)式的值為0，則；④若，則c的值不可能是．其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
9．若，是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為 ．
10．已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，設此方程的一個實數(shù)根為b，令，則y的取值范圍是 ．
11．解一元二次方程時，兩位同學的解法如下：
甲同學： 或 ∴或 乙同學： ，， ∵ ∴此方程無實數(shù)根
(1)你認為他們的解決是否正確？直接寫出判斷結(jié)果．
甲同學的解法______，乙同學的解法______．（填“正確”或者“不正確”）
(2)請選擇合適的方法解一元二次方程．
12．“當你背單詞的時候，阿拉斯加的鱘魚正躍出水面；當你算數(shù)學的時候，南太平洋的海鷗掠過海岸；當你晚自習的時候，地球的極圈正五彩斑斕．但少年，夢要你親自實現(xiàn)，那些你覺得看不到的人，和遇不到的風景，都終將在生命里出現(xiàn)……”這是某直播平臺推銷某本書時的臺詞，所推銷書的成本為每套20元，當售價為每套40元時，每天可銷售100套．為了吸引更多的顧客，平臺采取降價措施，據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價每降1元，則每天多銷售10套．設每套輔導書的售價為x元，每天的銷售量為y套．
(1)求y與x之間的函數(shù)關系式；
(2)不忘公益初心，熱心教育事業(yè)，公司決定從每天利潤中捐出200元幫助云南貧困山區(qū)的學生，為了保證捐款后每天利潤達到1800元，且要最大限度讓利消費者，求此時每套書的售價為多少元？
13．定義：如果關于的一元二次方程（，，均為常數(shù)，）有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．
(1)下列方程中，屬于“鄰根方程”的是________（填序號）；
①；②；③
(2)若是“鄰根方程”，求的值；
(3)若一元二次方程（，均為常數(shù)）為“鄰根方程”，請寫出，滿足的數(shù)量關系，并說明理由．
14．我們把形如（m，n不為零），且兩個解分別為，的方程稱為“十字分式方程”．例如為十字分式方程，可化為，
，；再如為十字分式方程，可化為，．應用上面的結(jié)論解答下列問題：
(1)若為十字分式方程，則__________，_____．
(2)若十字分式方程的兩個解分別為，，求的值．
(3)若關于的十字分式方程的兩個解分別為，（，），求的值．
15．關于的一元二次方程有實數(shù)根．
(1)求的取值范圍．
(2)如果是符合條件的最大整數(shù)，且關于的一元二次方程與方程有一個相同的根，求此時的值．
(3)若方程的兩個實數(shù)根為，滿足，求此時的值．/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數(shù)學學科
第02講 一元二次方程
知識點 1 一元二次方程的相關概念
一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等號左邊是一個關于未知數(shù)的二次多項式，等號右邊是0.其中：是二次項，a是二次項系數(shù)，是一次項，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.
【易錯/熱考】如果明確了為一元二次方程，就隱含了這個條件.
一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（根）.
判斷一個數(shù)是不是一元二次方程的根：將此數(shù)代人這個一元二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，則是方程的根；若不相等，則不是方程的根.
知識點 2 一元二次方程的解法
基本思路：通過“降次”，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原方程的解.
1. 直接開平方法（基礎）
例：形如（a≠0）的一元二次方程：
當＞0時，則x1=，x2= -，此時方程有兩個不相等的實數(shù)根；
當＝0時，則，此時方程有兩個相等的實數(shù)根；
當＜0時，則方程無實數(shù)根.
2. 配方法（基礎）
配方的實質(zhì)：將方程化為的形式，當m≥0時，直接用直接開平方法求解.
用配方法解一元二次方程的一般步驟：
1）移項：將常數(shù)項移到等號右邊,含未知數(shù)的項移到等號左邊；
2）二次項系數(shù)化為1：如果二次項系數(shù)不是1，將方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；
3）配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一般的平方，把方程化為的形式；
4）求解：若q≥0時，直接用直接開平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步驟：
1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分數(shù)通常將其化為整數(shù)，方便計算)；
2）求出的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；
3）如果, 將a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【補充說明】求根公式的使用條件：
4. 因式分解法
依據(jù)：如果兩個一次因式的積為0，那么這兩個因式中至少一個為0，即若ab=0，則a=0或b=0.
步驟：
1）將方程右邊的各項移到方程左邊，使方程右邊為0；
2）將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；
3）令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；
4）求解.
【易錯易混】利用因式分解法解方程時，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過移項,將方程右邊化為0.
知識點 3 一元二次方程根的判別式
根的判別式的定義：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即.
根的情況與判別式的關系：在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根的情況由其系數(shù)a，b，c，即確定.
1）方程有兩個不相等的實根:；
2）方程有兩個相等的實根：；
3）方程無實根.
【補充說明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個相等的實數(shù)根；2）有兩個不相等的實數(shù)根．
【易錯易混】
1）使用一元二次方程根的判別式時，應先將方程整理成一般形式，再確定a，b，c的方程；
2）當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，不能說方程只有一個實數(shù)根.
知識點 4 一元二次方程的根與系數(shù)的關系
若一元二次方程的兩個根是，則與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關系：+＝，＝
【補充說明】
1）一元二次方程根與系數(shù)關系的使用條件：.
2）當一元二次方程的二次項系數(shù)為1時，如，其兩根關系為+＝， ＝.
3）以兩個數(shù)為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是.
4）運用根與系數(shù)的關系和運用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.
知識點 5 一元二次方程的應用
用一元二次方程解決實際問題的步驟：
審：理解并找出實際問題中的等量關系;
設：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎數(shù)據(jù);
列：找到所列代數(shù)式中的等量關系，以此為依據(jù)列出方程;
解：求解方程;
驗：考慮求出的解是否具有實際意義;
答：實際問題的答案.
一元二次方程的常見問題及數(shù)量關系：
常見問題 數(shù)量關系
變化率問題
利潤問題 利潤=售價-進價； 利潤率=利潤/進價×100% 總利潤=總售價-總成本=單個利潤×總銷售量.
循環(huán)問題 單循環(huán)（如握手問題）：n（n－1） （其中n為人數(shù)） 雙循環(huán)（如寫信問題）：n（n－1） （其中n為人數(shù)）
面積問題
(a 2x)(b 2x) （x為空白部分的寬） (a x)(b x) （x為陰影部分的寬）
考點一：一元二次方程的相關概念
例1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，即只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：A、含有兩個未知數(shù)，是二元一次方程，故本選項錯誤；
B、是一元一次方程，故本選項錯誤；
C、符合一元二次方程的定義，故本選項正確；
D、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項錯誤．
故選：C．
【變式1-1】關于的方程是一元二次方程，則（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程的定義即形如的整式方程，熟練掌握定義是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)不為零，最高次項的次數(shù)為，求解即可．
【詳解】解：的方程是一元二次方程，
，且，
解得：，
故選：C．
【變式1-2】將方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常數(shù)，且，分別方程的是二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項；把方程化為一元二次方程的一般形式，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：方程化為一元二次方程的一般形式為：，則二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是；
故選：B．
【變式1-3】已知是關于的一元二次方程（其中為實數(shù)）的一個非零實數(shù)根，若記為，則與的關系是 ．
【答案】
【分析】此題重點考查學生對一元二次方程的根的應用，把握非零實數(shù)根與題意是解題的關鍵．把k代入方程，然后把方程兩邊同時除以k得出，最后整體代入即可得出與的關系．
【詳解】解：∵是關于的一元二次方程（其中為實數(shù)）的一個非零實數(shù)根，
則，
把方程兩邊同時除以k，得：，
整理得：，
∴，
故答案為：．
【變式1-4】若m是方程 的一個根，則 的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，代數(shù)式的求值等知識點，先根據(jù)一元二次方程根的定義得到，再把變形為，然后代入計算即可得解，熟練掌握一元二次方程的解并能靈活運用是解決此題的關鍵．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
【詳解】解：把代入方程得，
，
，
故答案為：．
考點二：一元二次方程的解的估算
例2．根據(jù)下列表格的對應值，判斷方程（，，，為常數(shù)）一個解的范圍是（ ）
3.1 3.2 3.3 3.4
0.5
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查求一元二次方程的近似根，根據(jù)表格，找到相鄰兩個的值，使的符號為一正一負，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：由表格可知：當時，，當時，，
∴當時，必然存在一個，使，
∴（，，，為常數(shù)）一個解的范圍是；
故選D．
【變式2-1】在估算一元二次方程的根時，小明列表如下：
x 1
由此可以確定，一元二次方程的一個根x的大致范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查一元二次方程根與二次函數(shù)關系．根據(jù)題意可知函數(shù)值正負之間即為一個根的范圍．
【詳解】解：∵，，
∴一元二次方程的一個根x的大致范圍是：，
故選：C．
【變式2-2】如表是某同學求代數(shù)式（為常數(shù)）的值的情況．根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知關于的方程的實數(shù)根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本題考查了方程的解，將關于的方程化為，由表格可知，當或時，，由此可得關于的方程的實數(shù)根，掌握方程的解的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：關于的方程可化為，
由表格可知，當或時，，
∴關于的方程的實數(shù)根是，，
故選：．
【變式2-3】如果是方程的一個根，根據(jù)下面表格中的取值，可以判斷 ．
1.2 1.3 1.4 1.5
0.36 0.75
【答案】 1.3 1.4
【分析】觀察表格可知，隨的值逐漸增大，的值在之間由負到正，故可判斷時，對應的的值在之間．
【詳解】解：根據(jù)表格可知，時，對應的的值在之間，
即：．
故答案為：1.3，1.4．
【點睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計算方程兩邊結(jié)果，當兩邊結(jié)果愈接近時，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．
【變式2-4】小貝在做“一塊矩形鐵片，面積為，長比寬多，求鐵片的長”時是這樣做的：設鐵片的長為，列出的方程為，整理，得小貝列出方程后，想知道鐵片的長到底是多少下面是它的探索過程：
第一步：


所以
第二步：


所以 ．
(1)請你幫小貝填完空格，完成她未完成的部分．
(2)通過以上探索，可以估計出矩形鐵片的長的整數(shù)部分為多少十分位為多少
【答案】(1)見解析
(2)矩形鐵片的長的整數(shù)部分為3，十分位為3
【分析】本題考查了求一元二次方程的近似解，解題的關鍵是掌握求一元二次方程近似解的方法和步驟．
（1）分別計算當、、、時代數(shù)式的值，即可補充表格；
（2）根據(jù)（1）中得出的x的取值范圍，即可解答．
【詳解】（1）解：當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
∴補充表格如下：
第一步：

3
所以
第二步：


所以 ．
（2）解：由（1）可得：，
∴矩形鐵片的長的整數(shù)部分為3，十分位為3．
考點三：一元二次方程的解法
例3．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是熟記常見的解法，直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法及正確掌握一元二次方程的解法．
（）利用直接開平方法求解即可；
（）利用因式分解法求解即可．
【詳解】（1）解：
，
，
∴，；
（2）解：，
，
或，
∴，．
【變式3-1】解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．
（1）先移項，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）先移項，然后利用因式分解法解方程即可．
【詳解】（1）解：，即，
∴，則或，
∴，；
（2）解：，即，
∴，即，
則或，
∴，．
【變式3-2】解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)，
(3)，．
【分析】此題考查了解一元二次方程-配方法，公式法，以及因式分解法．
（1）利用完全平方公式得，再直接開方，解一元一次方程即可；
（2）找出a，b及c的值，計算出根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（3）方程右邊利用平方差公式因式分解后，移項，再提取公因式進得因式分解，得到兩個一元一次方程，解之即可．
【詳解】（1）解：∵，
配方得，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
【變式3-3】解方程：
(1)；
(2)下面是小蔣同學解一元二次方程的過程，請仔細閱讀并完成相應的任務．
解方程：，
解：方程兩邊同除以，得第一步
移項，合并同類項，得第二步
系數(shù)化為，得第三步
任務：
小蔣的解法從第_____步開始出現(xiàn)錯誤；
請寫出此題的正確解題過程．
【答案】(1)，
(2)一 ，
【分析】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解答本題的關鍵．
（1）運用因式分解法求解即可；
（2）在第一步中，方程兩邊同除以，需要，故第一步開始出現(xiàn)錯誤；
運用因式分解法求解即可．
【詳解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：在第一步中，方程兩邊同除以，需要，故小蔣的解法從第一步開始出現(xiàn)錯誤，
故答案為：一；
，
移項，得，
因式分解，得，
或，
，．
【變式3-4】解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本題考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，是解題的關鍵．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）把原方程變形后利用配方法解方程即可．
【詳解】（1）解：
，，，
，
∴，
∴，
（2）解：
整理得：
配方得：
則
∴，
考點四：配方法的應用
例4．在實數(shù)范圍內(nèi)，代數(shù)式的值不可能為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查配方的應用，熟練掌握配方法是解題的關鍵．利用配方法得，逐個判斷選項即可．
【詳解】解：∵，
∴選項D不可能，
故選：D．
【變式4-1】已知三角形的三條邊為，，，且滿足，則這個三角形的最大邊的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的知識點是配方法、平方的非負性及三角形的三邊關系，解題關鍵是熟練掌握配方法在三角形的三邊關系中的應用．
先利用配方法對含的式子和含有的式子配方，再根據(jù)偶次方的非負性可得出和的值，然后根據(jù)三角形的三邊關系可得答案．
【詳解】解：，
，
，
，，
，，
，，
三角形的三條邊為，，，
，
，
又這個三角形的最大邊為，
．
故選：．
【變式4-2】我們已經(jīng)學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其它重要應用．
例如：求代數(shù)式的最小值？解答過程如下：
解：．
，
當時，的值最小，最小值是0，
，
當時，的值最小，最小值是1，
的最小值為1．
根據(jù)上述方法，可求代數(shù)式當 時有最 （填“大”或“小”）值，為 ．
【答案】 3 小 3
【分析】利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負性解答即可．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∴當時，代數(shù)式的最小值是3．
故答案為：3，小，3．
【變式4-3】我們知道：對于任何實數(shù)，
①，；②，．
請模仿上述方法解答：
(1)求證：對于任何實數(shù)，都有；
(2)不論為何實數(shù)，請通過運算，比較多項式與的值的大小．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了配方法的應用，以及非負數(shù)的性質(zhì)：偶次冪，靈活應用完全平方公式是解本題的關系．
（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)解答；
（2）利用作差法比較大小即可．
【詳解】（1）證明：，
；
（2）解：，
，
，．
．
【變式4-4】閱讀材料，回答下列問題：
利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式最小值、最大值問題．
【初步思考】觀察下列式子：
（1）；
，
，
代數(shù)式的最小值為；
【嘗試應用】閱讀上述材料并完成下列問題：
（1）求的最小值；
【拓展提高】（2）求的最大值．
【答案】（1）3；（2）5
【分析】本題考查了完全平方公式的應用，根據(jù)二次項與一次項的特點湊成完全平方式，利用平方數(shù)的非負性是解題的關鍵；
（1）根據(jù)，湊成完全平方式，得到，利用平方數(shù)的非負即可求得最小值；
（2）根據(jù)，湊成完全平方式，得到，利用平方數(shù)的非負即可求得最大值．
【詳解】解：（1）
；
∵，
∴，
∴的最小值為3；
（2）
；
∵，
∴，
∴的最大值為5．
考點五：換元法解一元二次方程
例5．若關于的一元二次方程有一個根為2020，則方程必有根為（ ）
A．2020 B．2021 C．2019 D．2022
【答案】B
【分析】本題考查一元二次方程的解．掌握換元法解題是解答本題的關鍵．設，即可改寫為，由題意關于x的一元二次方程有一根為，即有一個根為，所以，即可求出結(jié)論．
【詳解】解：由得到，
設，
所以，
而關于x的一元二次方程有一根為，
所以有一個根為，
則，
解得，
所以一元二次方程有一根為．
故選：B．
【變式5-1】已知關于x的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），那么方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．無法求解
【答案】B
【分析】本題主要考查了方程的解，整體思想的運用，已知方程的解，對比所求方程，兩者在結(jié)構上是一致的，因此只需要把看作一個整體對應已知方程的解，即可求解．
【詳解】解： ，，是方程的解，
令，，滿足方程，即．
，，
方程的解是：，．
故選：B．
【變式5-2】已知方程的解是，，則方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】首先由方程可得，設，可得，再根據(jù)方程的解是，，可得，，據(jù)此即可解答．
【詳解】解：由方程可得，
設，可得，
方程的解是，，
方程的解是，，
，，
解得，，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了利用換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法是解題關鍵．
【變式5-3】若關于x的方程的解是，，則關于y的方程的解是 ．
【答案】，
【分析】本題考查了一元二次方程的解，由關于x的一元二次方程的解是，，可得出關于的方程的解為或，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵關于x的方程的解是，，
∴關于的方程的解為或，
解得：或，
∴關于y的方程的解為，．
故答案為：，．
【變式5-4】閱讀下列材料：
為解方程，可將方程變形為，然后設，則，原方程化為①，解①得，．當時，無意義，舍去；當時，，解得，原方程的解為，．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題．
利用以上學習到的方法解方程：．
【答案】，，，
【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法解一元二次方程是解題的關鍵：1、換元法：把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化；2、換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．
利用換元法解一元二次方程即可．
【詳解】解：將原方程變形為，
設，則，原方程化為，
解得：，，
當時，，解得：；
當時，，解得：或；
原方程的解為，，，．
考點六：根的判別式
例6．關于的一元二次方程的根的情況，有以下四種表述，其中表述正確的是（ ）
A．當，，時，方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；
B．當，，時，方程一定沒有實數(shù)根；
C．當，時，方程一定沒有實數(shù)根；
D．當，，時，方程一定有實數(shù)根．
【答案】D
【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵；因此此題可根據(jù)“若方程，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當時，方程無實數(shù)根”進行排除選項即可．
【詳解】解：A、由，可得：，，所以，則方程有兩個相等的實數(shù)根，故不符合題意；
B、當時，滿足，，，此時，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，故該選項錯誤，不符合題意；
C、當時，滿足，，此時，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，故該選項錯誤，不符合題意；
D、∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即方程一定有實數(shù)根；故該選項正確，符合題意；
故選D．
【變式6-1】已知一元二次方程和．在探究兩個方程的根的情況時，甲同學認為：若， 則兩個方程都有兩個不相等的實數(shù)根；乙同學認為：若m是其中一個方程的根， 則是另一個方程的根；以下對兩位同學的看法判斷正確的是（ ）
A．甲乙都正確 B．甲乙都錯誤
C．甲正確，乙錯誤 D．甲錯誤，乙正確
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，公共根，方程根的定義即使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．根據(jù)根的判別式，根的定義，計算判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴兩個方程都有兩個不相等的實數(shù)根，故甲同學的看法正確；
若是方程 的一個根，
∴，
∴，
∴是方程的一個根；
若是方程 的一個根，
∴，
∴，
∴是方程的一個根；
故乙同學的看法正確，
故選：A．
【變式6-2】關于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情況是（）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根 D．無法確定
【答案】A
【分析】本題以考查一元二次方程根的判別式知識點，解題的關鍵是通過計算判別式的值來判斷根的情況．
根據(jù)一元二次方程根的判別式公式，確定方程中a，b，的值，代入公式計算，再根據(jù)與0的大小關系判斷根的情況．
【詳解】對于一元二次方程，其根的判別式，
在方程中，，
將a，b，的值代入判別式中，可得：
因為任何數(shù)的平方都大于等于0，即，所以，也就是．
當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故答案選：A．
【變式6-3】已知一次函數(shù)的圖像不過第三象限，則方程的根的個數(shù)為 ．
【答案】1或2
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像，一元二次方程根的情況，熟練掌握知識點是解決本題的關鍵．
由一次函數(shù)的圖像不過第三象限，得，分類討論，當時，方程為一元一次方程，有1個根；當時，方程為一元二次方程，根據(jù)判斷即可．
【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像不過第三象限，
∴，
當時，，方程為一元一次方程，所以方程根的個數(shù)為1個；
當時，，由于，
∴，
∴方程有2個不相等的實數(shù)根，
綜上，方程根的個數(shù)為1或2．
故答案為：1或2．
【變式6-4】已知方程，
(1)求證：對任意實數(shù)m，方程總有兩個實數(shù)根；
(2)任給一個m值，使得方程有兩個不同的正實數(shù)根，并求出方程的兩根．
【答案】(1)證明見解析
(2)當時，（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了根的判別式和解一元二次方程，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關鍵．
（1）先根據(jù)根的判別式求出，再由判別式證明即可；
（2）把代入方程，求出方程的解即可．
【詳解】（1）已知方程，
其中，
，
對任意實數(shù)m，方程總有兩個實數(shù)根．
（2）當時，
原式變?yōu)椋?br/>整理得，
則或，
解得．
考點七：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)
例7．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程根的情況，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．
根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可得，求出，然后由得到，進而求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，得，
解得，
∵，
∴，
∴m的值可以是0．
故選：A．
【變式7-1】若關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．根據(jù)一元二次方程有兩個實數(shù)根據(jù)得到，然后這個不等式即可求解．
【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，
，
解得，
故選：B．
【變式7-2】若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則 ．
【答案】1
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
∴，
故答案為： 1．
【變式7-3】定義新運算：，例如：．若方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．也考查了實數(shù)運算和理解能力．利用新運算的運算法則得到，再根據(jù)判別式的意義得到，然后解關于的方程即可．
【詳解】解：根據(jù)運算法則，由得：，
，
∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
解得：，
故答案為： ．
【變式7-5】關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若為正整數(shù)，求此方程的根．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）一元二次方程有兩個實數(shù)根，則二次項系數(shù)不為，且；
（2）由（1）可得的取值，解方程即可．
【詳解】（1）解：關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，
，
解得：且．
（2）解：為正整數(shù)，且，
．
原方程為，
解得，．
當為正整數(shù)時，該方程的根為或．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的個數(shù)與系數(shù)的關系，解一元二次方程，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
考點八：一元二次方程根與系數(shù)的關系
例8．關于的一元二次方程的兩個根是，，則的值為（ ）
A．8 B． C． D．2
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關系定理，熟練掌握定理是解題的關鍵．根據(jù)根與系數(shù)關系定理，得，則，解答即可．
【詳解】解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系定理，得，
則．
故選：A．
【變式8-1】已知，是方程的兩根，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系式．
利用一元二次方程根與系數(shù)的關系式得，，就可以算出結(jié)果．
【詳解】解：∵，是方程的兩個根，
∴，，
∴．
故選：C．
【變式8-2】已知關于的一元二次方程．若方程的兩個實數(shù)根為，，且，則實數(shù)的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練運用根與系數(shù)的關系將已知條件轉(zhuǎn)化為關于a的方程。
由一元二次方程根與系數(shù)的關系可知，再整體代入中，求出a的值．
【詳解】解：∵是的兩個實數(shù)根，
，
，
，
解得：，
故答案為：．
【變式8-3】若一元二次方程的兩根為m，n，則 ．
【答案】
【分析】本題考查一元二次方程的解、一元二次方程根與系數(shù)關系、代數(shù)式求值，先將一元二次方程的解代入方程中得，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系得到，，然后變形所求代數(shù)式，進而代值求解即可．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為m，n，
∴，，，即，
∴
，
故答案為：．
【變式8-4】法國數(shù)學家韋達在研究一元二次方程時發(fā)現(xiàn)：如果關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為、；那么兩個根的關系為：，．習慣上把這個結(jié)論稱作“韋達定理”．
定義：倍根方程：如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根（都不為0），且其中一個根等于另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程的兩個根是和，則方程就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(2)若是“倍根方程”，求m與n的關系；
(3)若關于x的一元二次方程是“倍根方程”，請說明，
【答案】(1)
(2)或
(3)見解析
【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，一元二次方程的一般形式，新定義“倍根方程”的意義，理解“倍根方程”的意義和掌握根與系數(shù)的關系是解決問題的關鍵．
（1）設方程的兩個根為，，由倍根方程的定義可知，利用根與系數(shù)的關系即可求得的值；
（2）根據(jù)倍根方程的定義即可找出，之間的關系；
（3）設與是方程的解，根據(jù)根與系數(shù)之間的關系消去即可得出答案．
【詳解】（1）解：設方程的兩個根為，，
∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵方程的一個根為2，
則另一個根為1或4，
當另一個根為1時，則，
∴，即：，
當另一個根為4時，則，
∴，即：；
（3）解：設與是方程的解，
，，
消去得：．
考點九：一元二次方程的應用1
例9．實踐活動：某中學“田園夢工廠”社團準備圍建一個長方形菜園（如圖）．
素材1：要圍建的菜園邊上有一堵墻，長為，菜園的一邊靠墻，另外三邊用總長為的鋁合金材料圍建．
素材2：與墻平行的一邊上要預留寬的入口．
任務1：當長方形菜園的長為多少米時，菜園的面積為？
任務2：能否圍成的長方形菜園？若能，求出的長；若不能，請說明理由．
【答案】任務1：；任務2：不能，見解析．
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系求解，注意圍墻最長可利用，舍掉不符合題意的數(shù)據(jù)．
任務1：根據(jù)可以砌長的墻的材料，即總長度是，，則，再根據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可；
任務2：利用根的判別式進行判斷即可．
【詳解】任務1：解：設的長為米，
由題意，得，
解得，（舍去），
所以，
任務2：解：由題意得，
方程無解，
不能圍成的長方形菜園．
【變式9-1】如圖，在中，，，，點從點出發(fā)以每秒的速度向運動，同時點從點出發(fā)以每秒的速度也向運動，一個點到達點則另一個點也停止運動，設運動時間為秒．
(1)用含的式子表示、的長，并指出的取值范圍；
(2)連接，為何值時，的面積為．
【答案】(1)，，
(2)1
【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，一元二次方程的應用，根據(jù)題意正確列出代數(shù)式和一元二次方程是解題的關鍵．
（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關系用含的代數(shù)式表示出各線段的長度；
（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
，
（秒）,
；
（2）解：
解得，（舍）
∴當為1秒時，的面積為．
【變式9-2】2024年7月，受臺風影響，我市某地遭受特大暴雨，受災嚴重．我市迅速啟動救援，擬建一批臨時安置房．如圖所示，現(xiàn)有一面長為米的墻，欲利用該墻搭建一間矩形臨時安置房．已知目前有可搭建總長為米圍墻的建筑材料（損耗忽略不計）．設邊長為x米．
(1)用含x的代數(shù)式表示的長；
(2)矩形安置房總占地面積可能為平方米嗎？請說明理由．
【答案】(1)米
(2)矩形安置房總占地面積能為288平方米此時，的長為米．
【分析】本題考查了一元二次方程的實際應用，熟練運用矩形的面積公式建立方程是解題的關鍵．
（1）利用BC邊長可建圍墻的總長邊長，可用含的代數(shù)式表示的長；
（2）根據(jù)矩形安置房總占地面積能為288平方米，可列出關于的一元二次方程，解之可得出的值，結(jié)合墻長為米，即可確定結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵可建圍墻的總長為米，且邊長為米，
∴邊長為：米；
（2）根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，
當時，，符合題意．
答：矩形安置房總占地面積能為288平方米此時，的長為米．
【變式9-3】如圖，學校在教學樓后面搭建了兩個簡易的矩形自行車車棚，一邊利用教學樓的后墻（可利用墻長為），其他的邊用總長的不銹鋼柵欄圍成，左右兩側(cè)各開一個1m的出口后，不銹鋼柵欄狀如“山”字形．（備注信息：距院墻7米處，規(guī)劃有機動車停車位）
(1)若設車棚寬度為，則車棚長度為______m；
(2)若車棚面積為，試求出自行車車棚的長和寬；
(3)若學校擬利用現(xiàn)有柵欄對車棚進行擴建，請問能圍成面積為的自行車車棚嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．
【答案】(1)
(2)自行車車棚的寬為，自行車車棚的長為
(3)不能，理由見解析
【分析】本題考查用代數(shù)式表示式，一元二次方程的應用，根的判別式，正確理解題意找到等量關系列出方程是解題關鍵．
（1）根據(jù)題干條件可得自行車車棚由三條寬和一條長構成，且左右兩條寬邊需要開出一個的出口，然后根據(jù)自行車車棚不銹鋼柵欄總長減去三條寬邊長即可得出長邊的長；
（2）根據(jù)（1）結(jié)果即可列出關于自行車車棚面積的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行車車棚的長和寬，需注意的是一元二次方程的解需滿足自行車車棚的長不超過，寬不超過7米；
（3）根據(jù)（2）中方法列出關于自行車車棚面積的一元二次方程，再利用根的判別式判斷，即可解題．
【詳解】（1）解：搭建自行車車棚為矩形，車棚寬度為，左右兩側(cè)各開一個的出口，
不銹鋼柵欄總長，不銹鋼柵欄狀如“山”字形，
（），
故答案為：；
（2）解：由（1）可得，車棚面積為：
解得：或，
又距院墻7米處，規(guī)劃有機動車停車位，
，將代入得：，滿足題干條件，
自行車車棚的寬為：，
自行車車棚的長為：；
（3）解：不能，理由如下：
要圍成面積為的自行車車棚，則由（1）可得：
，
整理得：，
，
故此方程沒有實數(shù)根，
不能圍成面積為的自行車車棚．
【變式9-4】如圖，某農(nóng)場有兩堵互相垂直的墻，長度分別為米和米，該農(nóng)場打算借這兩堵墻建一個長方形飼養(yǎng)場，其中和兩邊借助墻體且不超出墻體，其余部分用總長米的木欄圍成，中間預留1米寬的通道，在和邊上各留1米寬的門，設長米．
(1)求的長度（用含的代數(shù)式表示，并求出的取值范圍）．
(2)若飼養(yǎng)場的面積為平方米，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題主要考查一元二次方程的應用、一元一次不等組的求解，根據(jù)實際情境確定變量的取值范圍，對方程解合理取舍是解題的關鍵．
（1）由得，即可得出答案；
（2）根據(jù)矩形的面積等于長寬建立方程，求解并檢驗即可．
【詳解】（1）解：由圖可知，,
長米，
米，
，
，且，
．
（2）解：飼養(yǎng)場的面積為平方米，
則，
即，
解得，
，
舍去，
．
考點十：一元二次方程的應用2
例10．2024年4月25日，搭載神舟十八號載人飛船的長征二號F遙十八運載火箭發(fā)射成功．某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國空間站”模型．已知該模型平均每天可售出20個，每個盈利40元．為了擴大銷售，該網(wǎng)店準備適當降價，經(jīng)過一段時間測算，每個模型每降低1元，平均每天可以多售出2個．
(1)若每個模型降價5元，平均每天可以售出多少個模型？此時每天獲利多少元？
(2)在每個模型盈利不超過25元的前提下，要使“中國空間站”模型每天獲利1200元，每個模型應降價多少元？
【答案】(1)30個，1050元
(2)20元
【分析】本題考查了一元二次方程的應用——盈利問題，根據(jù)銷售問題列出方程并正確求解是解題的關鍵．
（1）根據(jù)降價，求出降價后得每件利潤和每天得銷量，即可求出利潤；
（2）設每個模型降價元，則每件利潤元，平均每天可以售出個模型，根據(jù)利潤可列方程，解方程，再進行取舍即可．
【詳解】（1）解：（個）；
（元）．
答：平均每天可以售出30個模型，此時每天獲利1050元；
（2）設每個模型應降價元，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，，
又每個模型盈利不超過25元，
．
答：每個模型應降價20元．
【變式10-1】某水果經(jīng)銷商批發(fā)了一批水果，進貨單價為每箱元，若按每箱元出售，則每天可銷售箱．現(xiàn)準備提價銷售，經(jīng)市場調(diào)研后發(fā)現(xiàn)：每箱每提價元，每天的銷量就會減少箱．設該水果售價為每箱元．
(1)用含的代數(shù)式表示提價后平均每天的銷售量為______箱；（化為最簡形式）
(2)既要考慮經(jīng)銷商的利潤，保證經(jīng)銷商每天可獲得元利潤，又要讓利于消費者，則這批水果應按每箱多少元銷售？
【答案】(1)
(2)應按每箱元銷售
【分析】本題考查列代數(shù)式及一元二次方程的應用，找出等量關系列一元二次方程是解題的關鍵；
（1）利用平均每天的銷售量提高的價格，即可用含的代數(shù)式表示出提價后平均每天的銷售量；
（2）根據(jù)每天的銷售利潤每箱的銷售利潤銷售數(shù)量，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值，即可確定的值．
【詳解】（1）解：由題意得：（箱），
故答案為：；
（2）解：依題意得，，
解得，，
∵要讓利于消費者，
∴．
答：若超市銷售該水果每天想要獲得元的利潤，則應按每箱元銷售．
【變式10-2】商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．
(1)若某天該商品每件降價5元，當天可獲利多少元？
(2)在上述銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？
【答案】(1)1800元
(2)每件商品降價20元，商場日盈利可達2100元
【分析】（1）根據(jù)“盈利=單件利潤銷售數(shù)量”即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)“盈利=單件利潤銷售數(shù)量”即可列出關于 x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根據(jù)盡快減少庫存即可確定x的值．
本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)數(shù)量關系列出一元二次方程是解題的關鍵．
【詳解】（1）解： （元）
答：若某天該商品每件降價5元，當天可獲利1800元．
（2）由題意得：
化簡得：，即，
解得：
∵該商場為了盡快減少庫存，
∴降的越多，越吸引顧客，
∴，
答：每件商品降價20元，商場日盈利可達2100元．
【變式10-3】2023年亞運會在杭州順利召開，亞運會吉祥物蓮蓮爆紅．
(1)據(jù)統(tǒng)計某蓮蓮玩偶在某電商平臺6月份的銷售量是5萬件，8月份的銷售量是萬件，問月平均增長率是多少？
(2)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某實體店蓮蓮玩偶的進價為每件60元，若售價為每件100元，每天能銷售20件，售價每降價1元，每天可多售出2件，為了推廣宣傳，商家決定降價促銷，同時盡量減少庫存，若使銷售蓮蓮玩偶每天獲利1200元，則售價應降低多少元？
【答案】(1)
(2)20元
【分析】本題考查了一元二次方程的實際應用，根據(jù)等量關系，列出方程，是解題的關鍵．
（1）設月平均增長率為x，根據(jù)題意，得出6月份的銷售量8月份銷售量，列出方程求解即可；
（2）設售價降低y元，根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售量，列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：設月平均增長率為x，根據(jù)題意得：
，
解得：（舍去），
答：月平均增長率為．
（2）解：設售價降低y元，
，
解得：，
當時，，
當時，，
∵，
∴為了盡量減少庫存，售價應降低20元．
【變式10-4】為了促進銷售、擴大市場占有率，某品牌銷售部在某小區(qū)開展中央空調(diào)團購活動，請根據(jù)以下素材完成“問題解決”中的三個問題．
素材1 某款中央空調(diào)每臺進價為20000元．
素材2 團購方案：團購2臺時，則享受團購價30000元/臺，若團購數(shù)量每增加1臺，則每臺再降500元． 規(guī)定：一個團的團購數(shù)量不超過11臺．
問題解決 問題1：當團購3臺時，求出每臺空調(diào)的團購價． 問題2：設團購數(shù)量增加x臺，請用含x的代數(shù)式表示每臺空調(diào)的團購價． 問題3：當一個團的團購數(shù)量為多少臺時，銷售部的利潤為58500元．
【答案】問題1：29500元；問題2：元；問題3：當一個團的團購數(shù)量為9臺時，銷售部的利潤為58500元．
【分析】本題主要考查列代數(shù)式和一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，找到其中蘊含的相等關系．
問題1：根據(jù)題意原售價基礎上減去500元即可；
問題2：原售價減去每臺下降的部分即可得出答案；
問題3：根據(jù)總利潤每臺利潤銷售數(shù)量列方程求解即可．
【詳解】解：問題1：當團購3臺時，每臺空調(diào)的團購價為（元）；
問題2：設團購數(shù)量增加臺，表示每臺空調(diào)的團購價為（元）；
問題3：根據(jù)題意，得：，
整理，得：，
解得（舍去），，
答：當一個團的團購數(shù)量為9臺時，銷售部的利潤為58500元．
拓展訓練一：整體代入求一元二次方程的解
1．關于的方程的解是，，，均為常數(shù)，，則方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的解，利用換元法解方程是解題的關鍵．
設，則方程可化為，，是方程的解；方程可化為，得或，從而求出的值即可．
【詳解】解：設，則方程可化為，
∴，是方程的解，
則方程可化為，
∴或，即或，
∴或，即，．
故選：．
2．已知實數(shù)滿足，則的值為（ ）
A． B．4 C．或4 D．2
【答案】B
【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（直接開平方法、配方法、公式法、換元法、因式分解法等）是解題關鍵．設，則原方程可化為，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得．
【詳解】解：設，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
解得或，
∴當，即時，此時方程無解，
∴，
故選：B．
3．若關于x的一元二次方程的解是，，則的解是 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，方程關于x的一元二次方程可以看做是關于的一元二次方程，根據(jù)題意可得該方程的解滿足或，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的解是，，
∴關于x的一元二次方程，即的解滿足或，
∴或，
故答案為：或．
4．為了解方程，我們可以將看作一個整體，然后設，那么原方程可化為，解得，
當時，，∴，∴；
當時，，∴，∴；
故原方程的解為．
以上方法叫換元法，利用換元法可以達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照上述方法求出方程的解為 ．
【答案】，，．
【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程方程，熟練掌握換元法解一元二次方程是關鍵．
設，把方程轉(zhuǎn)為，求出，再代入，求出的值．
【詳解】解：，
，
設，原方程可化為：，
解得：，，
當時，，
，，
當時，，
，
原方程的解為：，，．
5．閱讀下列材料：
已知實數(shù)、滿足，試求的值．
解：設，則原方程可化為，即；
解得．
，
．
上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學學習中最常用的一種思想方法，在結(jié)構較復雜的數(shù)和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替(即換元)，則能使復雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料為內(nèi)容，解決下列問題：
(1)若四個連續(xù)正整數(shù)的積為，直接寫出這四個連續(xù)的正整數(shù)為 ．
(2)已知實數(shù)、滿足，求的值．
(3)解方程．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【分析】本題考查了解一元二次方程，多項式的乘法，平方差公式與求方程的解；
（1）根據(jù)題意設最小數(shù)為，列出關系式，進而利用換元法即可求解．
（2）設．由已知等式得出，結(jié)合可得答案；
（3）設，則，可得，求出的值，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)得出答案．
【詳解】（1）解：設最小數(shù)為，則，
即：，
設，則，
，，
為正整數(shù)，
，
，舍去，
這四個整數(shù)為，，，．
故答案為：，，，．
（2）設．
，
，
，
，
，
；
（3），
，
設，則，
，
或，
，，
或，
∴．
拓展訓練二：一元二次方程的特殊解法
1．我們已經(jīng)學習了一元二次方程的多種解法，其基本思路是將二次方程通過“降次”轉(zhuǎn)化為一次方程求解．按照同樣的思路，我們可以將更高次的方程“降次”，轉(zhuǎn)化為二次方程或一次方程進行求解．例如，
①換元法求解四次方程：
設，則原方程可變?yōu)椋獾茫?br/>當時，即，∴；
當時，即，∴；
∴原方程有四個根：，，，．
②因式分解法求解三次方程：
將其變形為；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三個根：，，
(1)仿照以上方法解方程：
①；
②；
(2)已知：，且，則的值為________．
【答案】(1)①，．②，，
(2)
【分析】本題考查了解高次方程化一元二次方程，換元法解一元二次方程，理解題意，正確進行計算是解此題的關鍵．
（1）①仿照題中所給方法，換元法求解四次方程即可．
②仿照題中所給方法，因式分解法求解三次方程即可．
（2）先公式法求解，根據(jù)題意對所給代數(shù)式進行“降次”，再將代入原式化簡，得，再代入即可求解．
【詳解】（1）解：①設，則原方程可變?yōu)椋?br/>解得，，
當時，即，
∴；
當時，即，
∴方程無解；
∴綜上可得原方程有兩個根：，．
②將變形為，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三個根：，，．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵
，
，
，
，
將代入上式可得，
故答案為：．
2．解方程．
【答案】，，，．
【分析】本題考查了解高次方程和一元二次方程，根據(jù)題意可知，則，轉(zhuǎn)化為，設，則，求出或，即或，然后轉(zhuǎn)化為一元二次方程或，最后求解檢驗即可，熟練掌握知識點的應用及換元思想是解題的關鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，
∴，
，
，
令，
∴，
整理得：，
解得：或，即或，
整理得：或，
解得：，，，，
經(jīng)檢驗：，，，是方程的解，
∴，，，．
3．解方程：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)，；
(3)，，，．
【分析】（1）移項后兩邊平方得出，求出，再方程兩邊平方得出，求出，再進行檢驗即可；
（2）觀察可得最簡公分母是，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；
（3）令，則，代入原方程，得，所以，，然后分兩種情況分別解方程即可．
【詳解】（1）
解：移項得，，
兩邊平方得，，
合并同類項得，，
∴，
兩邊平方得，，
整理得，，
∴，
解得：，，
經(jīng)檢驗，，不是原方程的解，
∴原方程的解為：．
（2）
解：方程兩邊同時乘以得，
整理得，，
解得，，
∴，，
經(jīng)檢驗，，時，，
∴原方程的根為：，．
（3）
解：
令，代入原方程得，，
∴，
解得：，，
當時，，即： ，
∴，解得：，，
當時，，即： ，
∴，解得：，，
經(jīng)檢驗都為原方程的解
∴原方程的解為：，，，．
【點睛】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關鍵；還考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要驗根．
4．閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題：
解方程：．
解：，
方程即為：，
設，原方程轉(zhuǎn)化為：
解得，，，
當時，即，，；
當時，即，不成立．
綜上所述，原方程的解是，．
以上解方程的過程中，將其中作為一個整體設成一個新未知數(shù)，從而將原方程化為關于的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數(shù)）．
(1)已知方程：，若設，則利用“換元法”可將原方程化為關于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式由，得，再變形原方程便可；
（2）設，則，得，再解一元二次方程，最后代入所設代數(shù)式解方程便可．
【詳解】（1）設，
則，
可化為：，
即，
故答案為：；
（2）設，則，
原方程可化為：，
整理得，
，
或，
或，
當時，，
解得，
當時，無解，
檢驗，當時，左邊右邊，
是原方程的解，
故原方程的解為：．
【點睛】本題主要考查了換元法，無理方程，關鍵掌握換元法的思想方法．
5．解方程：．
【答案】
【分析】移項得出＝1+，兩邊平方得出3x﹣5＝1+x+2+2，整理后得出2＝2x﹣8，再兩邊平方得出4（x+2）＝（2x﹣8）2，求出方程的解，再進行檢驗即可．
【詳解】解：，
∴＝1+，
兩邊平方得：3x﹣5＝1+x+2+2，
整理得：2＝2x﹣8，
兩邊平方，得4（x+2）＝（2x﹣8）2，
整理，得x2﹣9x+14＝0，
解得：x＝2或7，
經(jīng)檢驗x＝2不是原方程的解，x＝7是原方程的解，
所以原方程的解是x＝7．
【點睛】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關鍵．
拓展訓練三：一元二次方程根與系數(shù)的關系綜合
1．閱讀下列范例，按要求解答問題．
例：已知實數(shù)、、滿足，，求、、的值．
解法1：由已知得，①．②
將①代入②，整理得．③
由①、③可知，、是關于的方程④的兩個實數(shù)根．
，即．而，，，
將代入④，得．，即．，．
解法2：，、設，．①
，．②
將①代入②，得．
整理，得，即．，．
將、的值同時代入①，得，．，．
以上解法1是構造一元二次方程解決問題．若兩實數(shù)、滿足，，則、是關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，然后利用判別式求解．
以上解法2是采用均值換元解決問題。若實數(shù)、滿足，則可設，，一些問題根據(jù)條件，若合理運用這種換元技巧，則能使問題順利解決．
下面給出兩個問題，解答其中任意一題：
(1)用另一種方法解答范例中的問題．
(2)選用范例中的一種方法解答下列問題：
已知實數(shù)、、滿足，，求證：．
【答案】(1)，
(2)見解析
【分析】此題考查了利用換元法根據(jù)根與系數(shù)的關系構造一元二次方程，還涉及非負數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關鍵是掌握用換元法構造一元二次方程．
（1）此題可以利用方程組的知識建立起與之間的關系，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)解答；
（2）利用換元法構造一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關系解答．
【詳解】（1）解：由已知等式消去，得，
即，
，
故，，
于是由，得，
故，；
（2）證明：由已知得①
②
將①代入②得，
③
由①③可知，、是關于的方程④的兩個實數(shù)根．
，
化簡得，
而，
．
將代入④，
解得，
，
．
2．類比是探索發(fā)現(xiàn)的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．
學習再現(xiàn)：
設一元二次方程的兩個根分別為和，
那么，
比較系數(shù)得，．
類比推廣：
（）設的三個根分別為，，，求的值．
問題解決：
（）若的三個根分別為，，，則的值是______．
拓展提升：
（）已知實數(shù)滿足，且，求正數(shù)的最小值．
【答案】（）；（）；（）
【分析】（）根據(jù)學習材料得，據(jù)此即可求解；
（）結(jié)合（）的結(jié)果，再根據(jù)即可求解；
（）由題意可得，，進而得是方程的兩根，由和可得，即得，進而可得，據(jù)此即可求解；
本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關鍵，一元二次方程根的判別式，多項式的乘法運算，掌握一元二次方程中根與系數(shù)的關系以及多項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：（）根據(jù)學習材料提示得，
，
，
，
∴，，
∴的值為；
（）∵的三個根分別為，，，
又∵，，
∴，，
∴，
故答案為：；
（）∵，，
∴，，
∵是方程的兩根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴正數(shù)的最小值為．
3．已知關于x的一元二次方程有兩個正實數(shù)根，，且．
(1)求k關于n的表達式；
(2)若n為正整數(shù)，求k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)，且（n為正整數(shù)）
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，解一元二次方程：
（1）根據(jù)根與系數(shù)的關系得到 ，，再由得到，，則，據(jù)此可得答案；
（2）根據(jù)，結(jié)合n為正整數(shù)進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵關于x的一元二次方程有兩個正實數(shù)根，，
∴ ，，
∵，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵n為正整數(shù)，
∴，
∴，
∴，且（n為正整數(shù)）．
4．關于x的一元二次方程…①和…②．
(1)若，且方程①有兩實根，，方程②有兩實根，，求代數(shù)式的最小值；
(2)是否存在實數(shù)a，使得方程①和②恰有一個公共的實數(shù)根？若存在，請求出實數(shù)a的值；若不存在請說明理由．
【答案】(1)-3
(2)存在，值為或12
【分析】本題考查了根與系數(shù)的關系，根的判別式．
（1）根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，，，則，再根據(jù)兩個方程都有實根，得的取值范圍，即可求出最小值；
（2）設公共根為，代入原方程得到2個方程，將2個方程適當處理，再兩個方程左右相比，消去得方程，即，解得或2，再分情況討論，最后得到滿足條件的值為或12．
【詳解】（1）方程①有兩實根，，方程②有兩實根，，
，，，，
，
一元二次方程①和②都有兩個實根且，
，
解得，
當時，有最小值為，
代數(shù)式的最小值為．
（2）假設存在實數(shù)，使得方程①和②恰有一個公共的實數(shù)根，設公共解為，
則，，
∴由可得，
代入得，
整理得方程，
即，
解得或2，
當時，，
解得，
當時，，
解得，
滿足條件的值為或12．
5．定義：若關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，分別以，為橫坐標和縱坐標得到點，則稱點為該一元二次方程的衍生點．
(1)直接寫出方程的衍生點的坐標為______；
(2)已知關于的方程．
①求證：不論為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
②求該方程衍生點的坐標；
③已知不論為何值，關于的方程的 生點始終在直線上，求b，c的值．
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②；③
【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，解一元二次方程．
（1）解方程得到方程的解，根據(jù)衍生點的定義即可得到點M的坐標；
（2）①根據(jù)判別式即可判斷方程的根的情況；②解方程得到方程的解，根據(jù)衍生點的定義即可得到點M的坐標；③將變形，可得過定點，根據(jù)題意方程的兩個根為，根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求解．
【詳解】（1）解：
∴
∴該方程的衍生點M的坐標為
（2）①∵方程為，
∴ ，
∴不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
②
∴，
∴該方程的衍生點M的坐標為；
③解∶直線，過定點，
∴兩個根為，
∴，
∴．
拓展訓練四：一元二次方程的應用綜合
1．根據(jù)以下素材，探索完成任務
如何利用閑置紙板箱制作儲物盒
素材1 如圖1是小慧家的一個儲物位置，該儲物位置的底面尺寸如圖2所示
素材2 如圖3，4是利用閑置紙板箱拆解出①，②兩種寬均為（）（）的長方形紙板．
素材3 小慧分別將長方形紙板①和②以不同的方式制作儲物盒．
將紙板①裁去角上4個長寬之比為的小長方形，折成一個無蓋有把手的長方形儲物盒（如圖5）． 將紙板②裁出兩個正方形，再裁出陰影部分放在上面的位置，制作一個無蓋紙盒
目標1 （1）若按照長方形紙板①的制作方式制成的儲物盒恰好完全蓋住儲物區(qū)底面，則長方形紙板的寬為_________ （）
利用目標1計算所得的數(shù)據(jù)，進行進一步探究．
目標2 （2）按照長方形紙板①的制作方式，求當儲物盒的底面積是時儲物盒的體積為多少？
目標3 （3）按照長方形紙板②的制作方式制作儲物盒，則儲物盒的底面積為多少？
【答案】（1）40；（2）；（3）
【分析】本題考查一元二次方程的應用，正確進行計算是解題關鍵．
（1）由儲物位置的底面尺寸判斷即可；
（2）設裁去小長方形的寬為，長為，列方程求解，再計算體積即可；
（3）根據(jù)面積公式進行計算即可．
【詳解】解：（1）由題意儲物位置的底面尺寸如圖2可得；；
故答案為：40；
（2）設裁去小長方形的寬為，長為，
則，
解得：（舍去），；
則體積為；
（3）由題意可得陰影部分的長為，
儲物盒的底面長為，
則需要裁出的正方形為圖中③，④兩塊，
裁出的正方形的邊長為，
底面的寬為，
．
答：儲物盒的底面積為．
2．如圖，在四邊形中，，，，，，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿著折線先由A向D運動，再由D向C運動，點Q以每秒1個單位的速度由B向A運動，當其中一動點到達終點時，另一動點隨之停止運動，設運動時間為t秒．
(1)兩平行線與之間的距離是__________．
(2)當點P、Q與的某兩個頂點圍成一個平行四邊形時，求t的值．
(3)，以，為一組鄰邊構造平行四邊形，若的面積為，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】此題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．
（1）過點作于點，由勾股定理可得出答案；
（2）分兩種情況，由平行四邊形的性質(zhì)可得出答案；
（3）分兩種情況，列出的方程可得出答案．
【詳解】（1）過點作于點，
，，
，
，
，
故答案為：；
（2）在中，
，，
，
，
Ⅰ．當四邊形為平行四邊形時，，
，
，
Ⅱ．當四邊形為平行四邊形時，，
，
，
綜上所述當點、與 的某兩個頂點圍成一個平行四邊形時，或；
（3）Ⅰ．當在邊上時，邊上的高是，
，
解得， 舍去），
Ⅱ．當在邊上時，
，
解得．
綜上所述或時，平行四邊形的面積為．
3．在一元二次方程中，根的判別式通常用來判斷方程實數(shù)根的個數(shù)，在實際應用中，我們也可以用根的判別式來解決部分函數(shù)的最值問題，例如：已知函數(shù)，當取何值時，取最小值，最小值為多少？
解答：
．
，即，
因此的最小值為，
此時，解得，符合題意
當時，
(1)已知函數(shù)，的最大值為多少？
(2)已知函數(shù)，的最小值為多少？
(3)如圖，已知，，是線段上一點，，，，當為何值時，取最小值，最小值是多少？

【答案】(1)
(2)
(3)當時，取最小值，最小值是
【分析】（1）仿照題目所給的解題方法，將二次函數(shù)變換為一元二次方程，令求解即可；
（2）將變換為一元二次方程，令求解即可；
（3）設，則，勾股定理求得，再利用一元二次方程的計算求值即可．
【詳解】（1）解：∵，
即，
，
解得，
即的最大值是；
（2）解：∵，
，
即，
，
解得：，即的最小值是，
時，，
解得：（經(jīng)檢驗符合題意），
∴的最小值是；
（3）解：設，則，
，
，
∴，
設，即，
，
，
解得，
∴，
將代入方程得：，
解得（經(jīng)檢驗符合題意），
∴當時，取最小值，最小值是．
【點睛】本題考查了一元二次方程方程根的判別式、勾股定理，讀懂題意、利用求解是解題的關鍵．
4．如何利用閑置紙板箱制作儲物盒
如何利用閑置紙板箱制作儲物盒
素材 如圖，圖中是小琴家需要設置儲物盒的區(qū)域，該區(qū)域可以近似看成一個長方體，底面尺寸如圖所示．
素材 如圖是利用閑置紙板箱拆解出的①，②兩種均為長方形紙板．
長方形紙板① 長方形紙板②

小琴分別將長方形紙板①和②以不同的方式制作儲物盒．
長方形紙板①的制作方式 長方形紙板②制作方式
裁去角上個相同的小正方形，折成一個無蓋長方體儲物盒． 將紙片四個角裁去個相同的小長方形，折成一個有蓋的長方體儲物盒．
目標 熟悉材料 熟悉按照長方形紙板①的制作方式制成的儲物盒能夠無縫障的放入儲物區(qū)域，則長方形紙板寬為______．
目標 利用目標計算所得的數(shù)據(jù)，進行進一步探究．
初步應用 （1）按照長方形紙板①的制作方式，為了更方便地放入或取出儲物盒，盒子四周需要留出一定的空間，當儲物盒的底面積是，求儲物盒的容積．
儲物收納 （2）按照長方形紙板②的制作方式制作儲物盒，若和兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為．如圖，是家里一個玩具機械狗的實物圖和尺寸大小，請通過計算判斷玩具機械狗能否完全放入該儲物盒．
【答案】目標1：，目標2：（1）儲物盒的容積為立方厘米（2）玩具機械狗不能完全放入該儲物
【分析】（1）由制作過程知小正方形的邊長為，，再利用面積公式即可得出收納盒的高為，進而即可得出答案；
（2）由盒子的底面積為得出底面邊長，然后求出收納盒的高為，與玩具機械狗的高比較大小，進而即可得出答案．
【詳解】（1）解：儲物區(qū)域的長為，由于收納盒可以完全放入儲物區(qū)域，
則圖中的四角裁去小正方形的邊長為，
則收納盒的寬小正方形的邊長，
由圖知，設上下寬為，左右寬為，
兩個長方形之間的部分為，
，，
則，
所以收納盒的高為，體積為，
答：儲物盒的容積為立方厘米；

設盒子的另一底邊長為，
盒子的底面積為，
，
，
收納盒的高為，
此時，之間還有一段空隙，在此種情況下
，
玩具機械狗不能完全放入該儲物；
當，之間兩邊恰好重合且無重疊部分，收納盒的高為
玩具機械狗也不能完全放入該儲物；
綜上所述：玩具機械狗不能完全放入該儲物．
答：玩具機械狗不能完全放入該儲物．

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，合理將實際問題轉(zhuǎn)化成方程組是解決此題的關鍵．
5．如圖，在中，，點P從點A出發(fā)，以每秒的速度沿勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)以每秒的速度沿勻速運動，當有一點停止運動時，另一點也停止運動，設運動時間為t秒．
(1)當時，直接寫出P，Q兩點間的距離．
(2)是否存在t，使得的面積是面積的？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
(3)當為直角三角形時，求t的取值范圍．
【答案】(1)
(2)存在，或
(3)t的取值范圍為：或
【分析】（1）由勾股定理可求出答案；
（2）由題意知：，由三角形面積公式可得出方程，解方程求出t的值即可；
（3）分三種情況，①當時，②當，③當時，畫出圖形，列出方程或不等式求解即可．
【詳解】（1）由題意知：，
∵，
∴；
（2）存在，
當點Q在上，
由題意知：，
∴，
又，
∴，
解得：或，
∵時，Q點在上，經(jīng)驗證，不能滿足的面積是面積的，
當時，點Q在上，
，
解得（舍去），
綜上可得，或；
（3）解：①當時，
，
解得：；
②當，如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：；
③當時，如圖，
這種情況是不存在；
綜上，t的取值范圍為：或．
【點睛】本題考查三角形綜合題，考查了勾股定理三角形的面積，直角三角形的判定等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題．
拓展訓練五：一元二次方程的新定義問題
1．若定義：方程是方程的“倒方程”．則下列四個結(jié)論：
①如果是的倒方程的一個解，則．
②一元二次方程與它的倒方程有公共解．
③若一元二次方程無解，則它的倒方程也無解．
④若，則與它的倒方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
上述結(jié)論正確的有（ ）個
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程的解，以及根的判別式．根據(jù)倒方程的定義和一元二次方程根的定義對①進行判斷；一元二次方程與它的倒方程有公共解，可以判定②正確；利用倒方程的定義和根的判別式的意義對③④進行判斷．
【詳解】解：①的倒方程為，
把代入方程得，
解得，故①錯誤；
②一元二次方程的倒方程為，則聯(lián)立得：，
兩式相減得到，
則，
由于，那么，
解得：，故有公共解，故②正確；
③若一元二次方程無解，則，
而倒方程為，那么根的判別式也為，
故它的倒方程也無解，故③正確；
④當時，一元二次方程的根的判別式，
也為一元二次方程，此方程的根的判別式，
所以這兩個方程都有兩個不相等的實數(shù)根，所以④正確，符合題意；
故選：C．
2．對實數(shù)，，定義運算“”為：．已知關于的方程，若該方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值是 ：若該方程有兩個不等負根，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了新運算、一元二次方程根的判別式．解決本題的關鍵是根據(jù)新運算規(guī)定的運算規(guī)律把等式轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程，然后再利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求解．
【詳解】解：，
，
又，
，
即，
若該方程有兩個相等的實數(shù)根，則，
由得：，
由得：或，
；
若該方程有兩個不等負根，則，
解得：．
故答案為：，．
3．如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根是另一個根的n倍（n為正整數(shù)），則稱這樣的方程為“n倍根方程”．例如：方程的兩個根分別是2和4，則這個方程就是“二倍根方程”；方程的兩個根分別是1和3，則這個方程就是“三倍根方程”．
(1)根據(jù)上述定義，是“______倍根方程”；
(2)若關于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若關于x的方程是“n倍根方程”，請?zhí)骄縝與c之間的數(shù)量關系（用含n的代數(shù)式表示）；
(4)由（3）中發(fā)現(xiàn)的b、c之間的數(shù)量關系，不難得到的最小值是______．（參考公式：，x、y均為正數(shù)）
【答案】(1)四
(2)
(3)
(4)1
【分析】本題考查一元二次方程，根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確理解“n倍根方程”的定義．
（1）先解方程，再根據(jù)“n倍根方程”的定義即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)三倍根方程的定義以及根與系數(shù)的關系列方程組解答即可；
（3）設與是方程的解，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案；
（4）根據(jù)（3）中發(fā)現(xiàn)的b、c之間的數(shù)量關系，借助參考公式即可求出答案；
【詳解】（1）解：，
，
解得和，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”；
故答案為：四；
（2）解：由題意可設：與是方程的解，
∴，
解得：，
∴m的值為；
（3）解：∵關于x的方程是“n倍根方程”，
∴可設與是方程的解，
∴，
消去得：，
（4）解：由參考公式：（x、y均為正數(shù)）可得，
∴，
故答案為：1．
4．閱讀材料：
材料1：法國數(shù)學家弗朗索瓦·書達于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與系數(shù)的關系，提出一元二次方程（，）的兩根x1，x2有如下的關系（韋達定理）：，；
材料2：如果實數(shù)m、n滿足、，且，則可利用根的定義構造一元二次方程，然后將m、n看作是此方程的兩個不相等實數(shù)根去解決相關問題．
請根據(jù)上述材料解決下面問題：
(1)若實數(shù)a，b滿足：，則_______，_______；
(2)若是方程兩個不等實數(shù)根，且滿足，求k的值；
(3)已知實數(shù)m、n、t滿足：，，且，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本題考查根與系數(shù)的關系，熟練掌握根與系數(shù)的關系，是解題的關鍵：
（1）根據(jù)題意，得到實數(shù)a，b是方程的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關系進行求解即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系，得到，進而得到，代入，求出的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關系，進行求解即可；
（3）構造一元二次方程，得到是它的兩個實數(shù)根，得到，將進行配方，求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得a，b是方程的兩個根，
∴；
故答案為：；
（2）由題意，得：，，
∴，
∴，
當時，，解得：，
∴，
∴，
∴；
當時，，解得：，
∴，
∴，
∴；
綜上：或；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴是一元二次方程的兩個實數(shù)根，，
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．
5．定義：兩根都為整數(shù)的一元二次方程稱為“全整根方程，代數(shù)式的值為該“全整根方程”的“最值碼”，用表示，即，若另一關于的一元二次方程也為“全整根方程”，其“最值碼”記為，當滿足時，則稱一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侶方程”．
(1)“全整根方程”的“最值碼”是______．
(2)若（1）中的方程是關于的一元二次方程的“全整根伴侶方程”，求的值．
(3)若關于的一元二次方程是（均為正整數(shù)）的“全整根伴侶方程”，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】本題主要考查了新定義，解一元二次方程，正確理解全整根方程、全整根伴侶方程、最值碼的定義是解題的關鍵．
（1）根據(jù)“最值碼”定義求解即可．
（2）根據(jù)定義可得，進而可得，解方程即可得到答案．
（3）分別求出兩方程的最值碼，根據(jù)，即可得出的值．
【詳解】（1）解：在關于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程” 的“最值碼”是．
故答案為：．
（2）解：∵關于x的一元二次方程是關于的一元二次方程的“全整根伴侶方程”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：對于方程，，，，
，
，
，
．
對于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侶方程”，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
或．
、均為正整數(shù)，
不符合題意，
，
故的值為2．
1．若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，，則m的值為（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關系定理，完全平方公式，熟練掌握定理和靈活進行公式變形是解題的關鍵．
根據(jù)根與系數(shù)的關系得出，，再根據(jù)，代入求解即可求出答案．
【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∵，
∴，
解得：
故選：A．
2．某市積極響應國家的號召“房子是用來住的，不是用來炒的”，在宏觀調(diào)控下，商品房成交價由今年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，且今年房價每月的下降率保持一致，則每月的下降率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設每月的下降率為，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量關系是解題的關鍵．
【詳解】解：設每月的下降率為，
由題意得，，
解得，（不合題意，舍去），
∴每月的下降率為，
故選：．
3．已知關于的一元二次方程，設方程的兩個實數(shù)根分別為，（其中），若是關于的函數(shù)，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出兩根，進而用含的代數(shù)式表示出，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：是關于的一元二次方程，
，
由求根公式，得，
∴或，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
∴；
故選B．
4．已知方程的兩根分別為，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查根的定義及根與系數(shù)的關系由題意得，，將代數(shù)式變形后再代入求解即可．
【詳解】解：∵方程的兩根分別為、，
∴，，，
∴，
∴
．
故選：A．
5．關于的一元二次方程的兩實根，，且滿足，則的值為（ ）
A．1或5 B．1或 C． D．5
【答案】C
【分析】本題考查了根與系數(shù)的關系，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與系數(shù)的關系為：，．根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，，整理代入，可求得的值，再根據(jù)判別式得出即可求解．
【詳解】解：∵，是方程的兩實根，
∴，，
，
∴，解得：，
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴；
故選：C．
6．已知是關于的一元二次方程的一個根，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的定義，已知方程的一個根就將這個根代入方程求參數(shù)的值是解題關鍵．
根據(jù)題意將代入方程可得關于的方程，解方程即可求出的值．
【詳解】解：∵是關于x的一元二次方程的一個根，
∴
解得：．
故答案為：．
7．邊長為整數(shù)的直角三角形，若其兩直角邊長是方程的兩根，則該直角三角形的斜邊長為 ．
【答案】13或10
【分析】本題考查的是解一元二次方程，完全平方公式等知識點，掌握根的判別式是解題的關鍵．
根據(jù)直角三角形的直角邊是整數(shù)，得到方程的根是整數(shù)，因此根的判別式為平方數(shù)，然后對一元二次方程根的判別式進行討論求出值，可得到直角三角形斜邊的長．
【詳解】解：設直角三角形兩直角邊長為，則，
∵方程的根為整數(shù)，
∴為完全平方數(shù)，
設
整理得，
①當時，
∴
解得（舍去）；
②當時，
∴
解得，
∴直角三角形的斜邊長為；
②當時，
∴
解得，
∴直角三角形的斜邊長為；
綜上，該直角三角形的斜邊長為13或10.
故答案為：13或10.
8．一次數(shù)學探究活動中，老師給出了兩個二次多項式，（其中p，q，c均是不為零的常數(shù)）及這兩個代數(shù)式的一些信息，如下表所示：
二次多項式 對二次多項式進行因式分解 對二次多項式使用配方法
（說明：a，b，m，n，，均為常數(shù)）
有學生探究得到以下四個結(jié)論：①若，則；②若，則；③若有且只有一個x的值，使代數(shù)式的值為0，則；④若，則c的值不可能是．其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【答案】①④/④①
【分析】本題主要考查配方法的應用、根的判別式及二元一次方程組的解法，熟練掌握配方法的應用、根的判別式及二元一次方程組的解法是解題的關鍵；由題意易得，然后根據(jù)配方法的應用、根的判別式及二元一次方程組的解法可依次排除答案．
【詳解】解：∵，
，
，
，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故正確；
②∵，
∴，
解得：，
∴；故錯誤；
③由題意可知：當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
∴，
∴，
∴；故錯誤；
④當，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，所以c的值不可能是，說法正確；
綜上所述：正確的結(jié)論有①④；
故答案為①④．
9．若，是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為 ．
【答案】4051
【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．
將代入原方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關系即可解決問題．
【詳解】解：∵α，β是方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∴，
則
，
故答案為：4051．
10．已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，設此方程的一個實數(shù)根為b，令，則y的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解，熟知對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根是解題的關鍵．先根據(jù)一元二次方程根的判別式得到，再根據(jù)一元二次方程解的定義求出，進而推出，由此求解即可．
【詳解】解：關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，
，
此方程的一個實數(shù)根為b，
，
，
，
，
，即
，
故答案為：
11．解一元二次方程時，兩位同學的解法如下：
甲同學： 或 ∴或 乙同學： ，， ∵ ∴此方程無實數(shù)根
(1)你認為他們的解決是否正確？直接寫出判斷結(jié)果．
甲同學的解法______，乙同學的解法______．（填“正確”或者“不正確”）
(2)請選擇合適的方法解一元二次方程．
【答案】(1)不正確；不正確
(2)
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
（1）甲同學解題過程中，方程右邊的結(jié)果不為0，因此并不能得到或；乙同學解題過程中，，而不是；
（2）先把原方程化為一般式，再利用十字相乘法把方程左邊分解因式，進而解方程即可．
【詳解】（1）解：甲、乙兩個同學的解法都不正確，理由如下：
甲同學的解題過程中，方程左邊分解因式正確，但是方程右邊的結(jié)果不為0，因此并不能得到或；
乙同學的解題過程中，而不是；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
12．“當你背單詞的時候，阿拉斯加的鱘魚正躍出水面；當你算數(shù)學的時候，南太平洋的海鷗掠過海岸；當你晚自習的時候，地球的極圈正五彩斑斕．但少年，夢要你親自實現(xiàn)，那些你覺得看不到的人，和遇不到的風景，都終將在生命里出現(xiàn)……”這是某直播平臺推銷某本書時的臺詞，所推銷書的成本為每套20元，當售價為每套40元時，每天可銷售100套．為了吸引更多的顧客，平臺采取降價措施，據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價每降1元，則每天多銷售10套．設每套輔導書的售價為x元，每天的銷售量為y套．
(1)求y與x之間的函數(shù)關系式；
(2)不忘公益初心，熱心教育事業(yè)，公司決定從每天利潤中捐出200元幫助云南貧困山區(qū)的學生，為了保證捐款后每天利潤達到1800元，且要最大限度讓利消費者，求此時每套書的售價為多少元？
【答案】(1)
(2)此時每套輔導書的售價為30元
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應用，一元二次方程的實際應用．
（1）根據(jù)題意列出y關于x的一次函數(shù)即可．
（2）根據(jù)總利潤為列出關于x的一元二次方程，求解即可得出答案．
【詳解】（1）解：由題意可得：，
與之間的函數(shù)關系式為：；
（2）由題意可得：
整理得：，
解得：，，
要最大限度讓利消費者，
，
答：此時每套輔導書的售價為30元．
13．定義：如果關于的一元二次方程（，，均為常數(shù)，）有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．
(1)下列方程中，屬于“鄰根方程”的是________（填序號）；
①；②；③
(2)若是“鄰根方程”，求的值；
(3)若一元二次方程（，均為常數(shù)）為“鄰根方程”，請寫出，滿足的數(shù)量關系，并說明理由．
【答案】(1)③
(2)或
(3)，見解析
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，根與系數(shù)的關系，理解題意“鄰根方程”的定義是解題關鍵．
（1）分別求得①②③中方程的兩個根，再根據(jù)“鄰根方程”的定義判斷即可；
（2）先求出方程的兩個根，再根據(jù)“鄰根方程”的定義列出關于的一元一次方程，求解即可；
（3）設方程的兩個根、，根據(jù)“鄰根方程”的定義得，利用根與系數(shù)的關系即可得到，的數(shù)量關系．
【詳解】（1）解：①解方程得：，，
，
方程不是“鄰根方程”；
②解方程得：，
，
方程不是“鄰根方程”；
③解方程得：，，
，
方程是“鄰根方程”．
故答案為：③．
（2）解：解方程得：，，
該方程是“鄰根方程”，
或，
解得：或．
（3）解：設的兩個根為，，
由韋達定理得，．
∵為“鄰根方程”，
∴，可得，
即，
代入得．
14．我們把形如（m，n不為零），且兩個解分別為，的方程稱為“十字分式方程”．例如為十字分式方程，可化為，
，；再如為十字分式方程，可化為，．應用上面的結(jié)論解答下列問題：
(1)若為十字分式方程，則__________，_____．
(2)若十字分式方程的兩個解分別為，，求的值．
(3)若關于的十字分式方程的兩個解分別為，（，），求的值．
【答案】(1)1；3
(2)
(3)2025
【分析】本題主要考查了解分式方程、分式方程的定義、分式方程的解．
（1）依據(jù)題意，由，進而可以判斷得解；
（2）依據(jù)題意，由十字分式方程的兩個解分別為，，從而，，再將分式變形為，代入計算可以得解；
（3）由，變形得，再根據(jù)十字分式方程的定義得，，則，，進而計算可以得解．
【詳解】（1）解：由題意，∵，
∴，，
故答案為：1；3；
（2）解：∵十字分式方程的兩個解分別為，，
∴，，
又∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
又∵關于x的十字分式方程的兩個解分別為為，（，），
∴，，
∴，，
∴
．
15．關于的一元二次方程有實數(shù)根．
(1)求的取值范圍．
(2)如果是符合條件的最大整數(shù)，且關于的一元二次方程與方程有一個相同的根，求此時的值．
(3)若方程的兩個實數(shù)根為，滿足，求此時的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關系、一元二次方程的解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）根據(jù)，解不等式即可得出答案；
（2）求出的值為6，解方程求出，代入方程求出的值即可；
（3）由一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，，再結(jié)合求出的值，即可得出答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，
解得；
（2）解：∵是符合條件的最大整數(shù)，
∴的值為6，
∴方程變形為，
解得，
∵一元二次方程與方程有一個相同的根，
∴當時，，
解得：，
∵，
∴；
當時，，
解得：，
∴的值為．
（3）解：∵，是方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．

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