資源簡介

云南省煤炭一中、臨滄地區中學
2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試卷
注意事項:
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知在等差數列中，，則( )
A. B. C. D.
2.已知正項等比數列的前項和為，若，則的最小值為( )
A. B. C. D.
3.若函數在上的平均變化率與它在處的瞬時變化率相等，則( )
A. B. C. D.
4.下列圖象中，有一個是函數，且的導函數的圖象，則( )
A. B. C. D. 或
5.函數的單調遞減區間是( )
A. 和 B. 和
C. D.
6.用半徑為的圓形鐵皮剪出一個圓心角為的扇形，制成一個圓錐形容器，當該圓錐形容器的容積最大時，扇形的圓心角是( )
A. B. C. D.
7.某公司生產某種產品的年固定成本為萬元，每生產一臺需增加投入萬元，若年銷售收入單位：萬元關于年產量單位：臺滿足函數：則當該公司所獲年利潤最大時，年產量為( )
A. B. C. D.
8.已知數列滿足，且，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是( )
A. 在區間上，函數是增函數 B. 在區間上，函數是減函數
C. 為函數的極小值點 D. 為函數的極大值點
10.已知數列滿足，，則( )
A. 存在等差數列滿足上述遞推公式 B. 存在等比數列滿足上述遞推公式
C. 存在周期數列滿足上述遞推公式 D. 存在擺動數列滿足上述遞推公式
11.已知函數，下列命題正確的是( )
A. 若是函數的極值點，則
B. 若在上單調遞增，則
C. 若，則恒成立
D. 若在上恒成立，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.等差數列，的前項和分別為與，且，則 ．
13.已知函數，若是的極小值點，則的取值范圍是 ．
14.已知函數，若函數與的圖象有且僅有三個交點，則實數的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數．
求；
求曲線在點處的切線方程；
若直線與曲線相切于點，求的值．
16.本小題分
已知函數．
當時，求函數的極值；
討論的單調性；
若函數在上的最小值是，求的值．
17.本小題分
已知等差數列為遞增數列，且，都在的圖象上．
求數列的通項公式和前項和
設，求數列的前項和，且，求取值范圍．
18.本小題分
已知函數，．
當時，求函數的最小值；
若，求；
證明：．
19.本小題分
已知數列的前項和為，對于任意滿足，且，數列滿足，，其前項和為．
求數列、的通項公式；
令，數列的前項和為，求證：對于任意正整數，都有；
將數列、的項按照“當為奇數時，放在前面”，“當為偶數時，放在前面”的要求進行“交叉排列”得到一個新的數列：、、、、、、、、求這個新數列的前項和．
答案
1.【答案】
【詳解】設等差數列的公差為，由，得，
．
故選：．
2.【答案】
解：由正項等比數列可知，，成等比數列，
則，又，所以，
所以，當且僅當，即時取等號，
故的最小值為．
故選：．
3.【答案】
解：在上的平均變化率為，
令，則，
故選：．
4.【答案】
解：，開口向上，排除，
又因為導函數的對稱軸為，排除，
所以導函數圖象為，
因為由圖可知，
又因為由圖可知導函數的對稱軸為，
所以．
故選B．
5.【答案】
【解析】解：由題設且，
若，則，在上單調遞減，
若，則，在上單調遞增，
所以單調遞減區間是．
故選：．
6.【答案】
【解析】解：設圓錐底面半徑為，高為，已知母線，則，，
圓錐容積，
令，為簡化計算，設，
求導得，令，即，解得，，
當時，，函數在上單調遞增，
當時，，函數在上單調遞減，
所以當時，該圓錐形容器的容積最大，
此時，扇形弧長等于圓錐底面周長，即，代入，
得：．
故選：．
7.【答案】
解：由題意，設該公司所獲年利潤為單位：萬元，
當時，，
所以當時，取到最大值；
當時，，
單調遞減，所以．
綜上所述，當時，該公司所獲年利潤最大．
故選：．
8.【答案】
【詳解】因為，則，
，
，，，
將這個式子相加，可得，
化簡得，又，
，則．
故選：．
9.【答案】
解：對選項A，，，為減函數，故A錯誤；
對選項B，，，是減函數，故B正確；
對選項C，，，是增函數，
，，是減函數，所以為函數的極大值點，
故C錯誤；
對選項D，，，是增函數，
，，是減函數，所以為函數的極大值點，故D正確．
故選：
10.【答案】
解：由，得或，
當時，因為，則為首項和公差都為的等差數列，則
當時，因為，則為，
對于、當時，存在等差數列滿足上述遞推公式，故A正確；
對于、不可能存在等比數列滿足上述遞推公式，故B錯誤；
對于、當時，存在周期為的數列滿足上述遞推公式，故C正確；
對于、當時，存在擺動數列滿足上述遞推公式，故D正確．
故選ACD．
11.【答案】
解：函數的定義域為，，
對于， 因為是函數的極值點，所以，解得，
此時，
顯然是在上的變號零點，因此， A正確；
對于，若在上單調遞增，
則，，
而函數在上單調遞增，
所以恒成立，因此， B錯誤；
對于，由，得，
，，
當時，， 單調遞減，
當時，，單調遞增，
因此，而， C錯誤；
對于，，，
令，求導得，
當且僅當取等號，
因此函數在上單調遞增，
，所以， D正確．
故選：．
12.【答案】
解：數列，均為等差數列，
．
，
，
根據等差數列前項和，可設，，
對于數列，當時，，
當時，，
顯然當時，也滿足，故，
同理可得，
故．
故答案為：．
13.【答案】
【解析】解：，定義域為，
又，
由題可知，，即，故，
故，
令，解得或，
當時，恒成立，
在定義域上單調遞減，無極值點，不滿足題意；
當時，當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
是的極大值點，不滿足題意，
當時， 時，，單調遞減，
時，，單調遞增，
是的極小值點，符合題意；
綜上所述，的取值范圍為．
故答案為：．
14.【答案】
解：令，畫出和的圖象如下：
當時，，，
令，解得，此時，
過的切線方程為，
故時，與只有一個交點，
由圖可知，當時，與有一個交點，
綜上，與有兩個交點，
由題可知函數與的圖象有且僅有三個交點，
令，
故與有且僅有一個交點，
與相切于點，
，
解得，此時，即，
又點在上，
，解得，
與相交于點，則點在的對稱軸的右側，
此時，即，解得．
綜上的取值范圍是．
故答案為．
15.【答案】解：，．
由可得，則切點坐標為，
又，
因此，曲線在點處的切線方程為，即．
直線過原點，則，
由點在曲線上，得，．
又，所以，
又，，整理得，
，，則．
16.【答案】解：當時，，
，令，則，
當時，，此時單調遞減，
當時，，此時單調遞增，
則的極小值為，無極大值；
，，
若，則在上恒成立，
所以在上單調遞增，
若，則令，解得，令，解得，
則其在上單調遞減，在上單調遞增，
綜上所述，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
，，
若，則在上恒成立，
所以在上單調遞增，
所以，不滿足題意；
若，令，解得，令，解得，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，解得，滿足題意；
若，則在上恒成立，
所以在上單調遞減，
所以，解得，不滿足題意，
綜上，．
17.【答案】解：由題意得
即是方程的兩個根，
即是方程的兩個根，
又數列為遞增數列，解得，
所以等差數列的公差，
所以，
所以，
；
解：由得
，
當為奇數時，
，
當為偶數時，
，
所以
由 ，即，
得，
令，
當為奇數時，，且，
當為偶數時，，且，
又，，所以，
故取值范圍為．
18.【答案】解：當時，，，，
，當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以．
若，則，所以，
設，，
所以，
令，因為在上單調遞減，
所以在上單調遞減，且，
所以當時，，即，當時，，即，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即，即，易知，
所以，
由知，當時，，即，所以．
證明：當時，由可得，成立；
當時，當時，，
由知，，則；
當時，，
由知，，即，所以，
則．
綜上所述，．
19.【答案】解：，且，數列是首項為，公差為的等差數列，
，解得，
，
又，
數列滿足，
，數列是等比數列，
，其前項和為．
，，
解得，
．
證明：由知，．
數列的前項和為．
，
，
化為：．
對于任意正整數，都有．
數列的前項和，數列的前項和．
當時，；
當時，．
特別地，當時，也符合上式；
當時，．

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