資源簡介

臨滄地區(qū)中學2025屆高三適應性月考卷（二）數學
注意事項:
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列關于復數為虛數單位的說法錯誤的是( )
A. 的共軛復數為 B.
C. 的虛部為 D.
2.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
3.已知，記為等比數列的前項和設命題；命題，則命題是命題的( )
A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
4.已知，，且向量在向量上的投影的數量為，則( )
A. B. C. D.
5.幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形是“最美三角形”，即頂角為的等腰三角形例如中國國旗上的五角星就是由五個“最美三角形”與一個正五邊形組成的如圖，將五角星的五個頂點相連，記正五邊形的邊長為，正五邊形邊長為，則的值是( )
A. B. C. D.
6.設函數滿足：，都有，且記，則數列的前項和為( )
A. B. C. D.
7.已知函數圖象與軸至少有一個公共點，則實數的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
8.在棱長為的正方體中，、為線段上的兩個三等分點，動點在內，且，則點的軌跡長度為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法正確的是( )
A. 數據，，，，，，，，，的第百分位數為
B. 數據組成一個樣本，其回歸直線方程為，其中，去除一個異常點后，得到新的回歸直線必過點
C. 若隨機變量，則函數為偶函數
D. 在列聯(lián)表中，若每一個數據均變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t變?yōu)樵瓉淼谋叮渲?br/>10.對于函數，下列說法中正確的是( )
A. 函數的最小正周期為
B. 函數在上單調遞減
C. 函數圖象的一條對稱軸是直線
D. 函數在上有個零點
11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交的右支于，兩點，則下列命題錯誤的是( )
A. 在直線上取不同于的點，若，則的面積為
B. 若直線的斜率存在，則斜率范圍為
C. 當直線的斜率為時，的面積為
D. 為雙曲線右支上任意一點，過作的兩條切線，，切點分別為，，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知單調遞減的等比數列滿足，且是，的等差中項，則數列的通項公式 ．
13.在中，，，是所在平面內一點，且，若存在點，使，則的最大值為
14.九章算術是我國古代的數學名著，書中描述了一種五面體芻甍，其底面為矩形，頂棱和底面矩形的一組對邊平行．現有如圖所示一芻甍，，側面和為等邊三角形，且與底面所成角相等，則該幾何體中異面直線共有 對；若，到底面的距離為，則該芻甍的體積為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知的內角，，的對邊為，，，且．
求
若的面積為
為的中點，求底邊上中線長的最小值
求內角的角平分線長的最大值．
16.本小題分
如圖，三棱柱中，平面平面，，．
證明：；
若，，直線與平面所成的角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．
17.本小題分
某商場推出了購物抽獎活動，活動規(guī)則如下：如圖，在點處各安裝了一盞燈，每次只有一處的燈亮起初始狀態(tài)是點處的燈亮起，程序運行次數的上限為，然后按下開始按扭，程序開始運行，第次是與相鄰點處的其中一盞燈隨機亮起，第次是與第次燈亮處相鄰點的其中一盞燈隨機亮起若在運行過程中，點處的燈再次亮起，則游戲結束，否則運行次后游戲自動結束在程序運行過程中，若點處的燈再次亮起，則顧客獲獎已知顧客小明參與了該購物抽獎活動．
求程序運行次小明獲獎的概率：
若，求小明獲獎的概率；
若，記游戲結束時程序運行的次數為，求的分布列與期望．
18.本小題分
已知動圓經過定點，且與直線相切，設動圓圓心的軌跡為曲線已知點與點關于軸對稱，過點作斜率為的直線交于點，點與點關于軸對稱，過點作斜率為的直線交于點，按照上述方法構造點．
求曲線的方程；
證明為等差數列，并求出的通項公式；
記，求數列的前項和．
19.本小題分
若函數與在區(qū)間上滿足：存在實數，使得對任意，都有則稱為和在上的同步斜率．已知，，．
驗證是否為和在上的同步斜率；
若是和在區(qū)間上的同步斜率，求實數的取值范圍；
證明：當且時，．
答案
1.【答案】
解：，故 A錯；
，故 B正確；
的虛部為，故 C正確；
，故 D正確．
故選：．
2.【答案】
解：由題意知，
，
所以，
故選：．
3.【答案】
設的公比為，則，
若，則必有，
當時，當時，，故；
當時，，
若，則，故，
若，則，故，
若，，故，
綜上，充分性成立，
若，當時，，故，
當時，，
由于或或時，的正負性相同，故，
所以，則，
綜上，必要性成立，
所以命題是命題的充要條件．
故選：．
4.【答案】
由題意得，得，
所以．
故選：
5.【答案】
因為，
，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故選：．
6.【答案】
由題意，函數滿足，
則，
所以，
令，得，
又，，
所以，
令，，得，
又，所以，
又，
則數列是首項為，公比為的等比數列，
故，
因此，
則數列的前項為．
故選：．
7.【答案】
當時，若，顯然，否則若，就有，矛盾，
所以，，而函數，的值域為，
所以若方程，有解，則的范圍為；
當時，若，則，，
設，，則，
當時，，當時，，
所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，
當趨于時，趨于，當趨于時，趨于，而，
從而的值域為，
綜上所述，要函數的圖象與軸至少有一個公共點，
則實數的取值范圍為．
故選C．
8.【答案】
如圖，在棱長為的正方體中，，
因為、為線段上的兩個三等分點，
所以，
易知，、平面，
所以平面，
又因為平面，則，
同理可證，
因為，，，、平面 ，
則平面，
設點到平面的距離為，則三棱錐的體積，
則，
所以在平面內，
則，
所以，
所以平面內點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
如圖，在正三角形中，為中心，圓的半徑為，即，
，
所以在直角三角形中，
則，
所以三個虛線弧圓心角弧度數為，
則三個實線弧圓心角弧度數為，
所以點的軌跡長度為．
故選：．
9.【答案】
【解析】解：對于，數據按照從小到大的順序排列為，
因為，所以數據第百分位數是從小到大的第個數，故A錯誤；
對于，數據組成一個樣本，其回歸直線方程為，其中，則去除一個異常點后，其中，則，得到新的回歸直線必過點，故B正確；
對于，因為隨機變量，所以對稱軸為，
則函數為偶函數，故C正確；
對于，在列聯(lián)表中，，
若每一個數據均變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t，則變?yōu)樵瓉淼谋叮蔇正確．
故選：．
10.【答案】
【解析】解：對于選項，易知函數的定義域為，
因為
，作出函數的圖象如下圖所示：
所以，函數的最小正周期為，故A錯誤；
對于選項，當時，，則，
此時，，
因為函數在上單調遞增，故函數在上單調遞減，故B正確；
對于選項，因為
，
所以，函數的一條對稱軸為直線，故C正確；
對于選項，由，解得，
當時，，可得，
解得，所以，函數在上有個零點，故D正確；
故選：．
11.【答案】
【解析】解：對于，因為，所以，

即，所以是直角三角形，則，
又因為，所以，
解得的面積為，故A正確；
對于，因為，直線的斜率存在且不為，設的方程為：，
聯(lián)立方程得：，
因為直線交的右支于，兩點，故
解得：，
所以斜率的范圍為或，故B錯誤；
對于，因為直線的斜率為，故直線的方程為，
設，，
由可知，聯(lián)立方程得：，
故，，
，故C正確；
對于，設，，則，
因為
，
令，則，
設，則，
因為對稱軸為
故，則，
所以，故的最小值在時取得，最小值為，故D錯誤．

故選BD．
12.【答案】形式不唯一
設等比數列的公比為，依題意：有，
又，將代入得，
，
，解得或
又為遞減數列，
，，
．
故答案為．
13.【答案】
【解析】解：因為，，
所以由平面向量基本定理可知，，三點共線，
若存在點，使，
則表示到直線的距離，
以為坐標原點，所在直線為軸，建立坐標系，
則，，，
因為，
所以點的軌跡方程為，
則到直線的距離的最大值為，
即的最大值為．
故答案為：．
14.【答案】

【解析】解：由異面直線的判定定理易知：
與成異面直線，
與成異面直線，
與成異面直線，
與成異面直線，
成異面直線，成異面直線，
共對；
在芻甍中，過作底面的垂線，垂足為，
則，取的中點．
因為為等邊三角形，且，則，
，所以．
分別取，的中點，，
則芻甍被分為四棱錐和三棱柱．
又因為，
，
又因為
所以，
所以該芻甍的體積為．
故答案為：；．
15.【答案】解：由正弦定理，得，
即，
故，所以．
所以；
由知，
因為的面積為，所以，解得，
由于，
所以
，
當且僅當時，等號取得到，
所以，
所以長的最小值為．
因為為角的角平分線，所以 ，
由于，
所以，
所以．
又，所以，
由于，當且僅當時，等號取得到，
故，
故，
所以內角的角平分線長的最大值．
16.【答案】解：作于點，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因為平面，所以，．
連接，，取中點，
因為，
所以，，，平面，
所以平面，平面，所以．
又，，所以為的中點，所以平面為矩形，所以，
又，，平面．
所以平面，在平面內，所以．
由可得與平面所成的角為，
故，則，則．
以所在直線為軸．所在直線為軸，過作垂直于于點，亦得平面，則以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
，，，，，
，，，，
設平面的法向量為，
則
則，
設平面的法向量為，
則，則，
設平面與平面的夾角為，
則．
故平面與平面夾角的余弦值為．
17.【答案】解：程序運行次小明獲獎的情況有這兩種，
其概率 ；
當時，小明獲獎的情況如下：程序運行次，小明獲獎；程序運行次，小明獲獎，
程序運行次，小明獲獎的情況有這五種，
其概率，
故當時，小明獲獎的概率 ，
當時，的所有可能取值為 ，
由可知，由可知，
當時，包含，這四種情況，
其概率，
，
故的分布列為：
故．
18.【答案】解：因為動圓經過定點，且與直線相切，
即動圓圓心到點的距離與到直線的距離相等．
又點不在直線上，
由拋物線的定義可知動圓圓心是以為焦點，直線為準線的拋物線，
所以動圓圓心的軌跡為，
即的方程為．
由題可知，
可設直線的方程為．
將方程為與方程聯(lián)立得，
所以，
即，
所以是首項為，公差為的等差數列．
故．
由題可知，
故，
則．
當為偶數時，
令，
則
．
當為奇數時，
．
故．
19.【答案】解：是和在上的同步斜率，
證明如下：由題意知，只需證時，，
令，則，所以時，，在上單調遞增，
又因為，所以時，，即在上恒成立．
令，則恒成立，
所以在上單調遞減，
又因為，所以，即，所以時，，即是和在上的同步斜率；
解：由題意知恒成立，
令，則在區(qū)間上恒成立，
，
當即時，在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調遞增，，符合條件
當，即時，時，，在區(qū)間上單調遞減，
所以存在，使，不符合條件．
綜上，的取值范圍為；
證明：令，由知在區(qū)間上恒成立，
當且時，，令，得，
所以
．
即當且時，．

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