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上海四校2024-2025學(xué)年高二下5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2025.05
（金山中學(xué)、閔行中學(xué)、嘉定一中、崇明中學(xué)）
一. 填空題
1．若復(fù)數(shù)（）的實(shí)部與虛部之和為0，則的值為
2．函數(shù)的定義域為
3．已知，且
4．已知等差數(shù)列滿足，，則
5．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為
6．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為
7．已知，則
8．已知，．直線與曲線相切，則的最小值是
9．從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到橢圓上的點(diǎn)，反射后光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn) ，事實(shí)上，點(diǎn)處的切線垂直于的角平分線，已知橢圓 的兩個焦點(diǎn)是、，點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，的角平分線PT交橢圓的長軸于點(diǎn)，則的取值范圍是
10．若定義在上的函數(shù)同時滿足：① 為奇函數(shù)；② ；
③ 對任意的、，且，都有. 則不等式的解集為
11．正方體棱長為4，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，，
則的最小值為
12．定義平面直角坐標(biāo)系中的笛卡兒卵形線為滿足方程：，
則下列結(jié)論正確的是
① 該曲線關(guān)于x、y軸對稱； ② 曲線與軸交點(diǎn)為和；
③ 若點(diǎn)在曲線上，則；④ 存在直線與該曲線恰有1個交點(diǎn).
二．選擇題
13．已知、，則是的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件
14．如圖所示，表示水平放置的的直觀圖，
則的面積是（ ）A. B．2 C． D．4
15．DeepSeek系統(tǒng)的登錄密碼由6個字符組成，其中前4位是大寫字母D、E、E、P的某種排列，后2位是不相同的數(shù)字，則可能的密碼總數(shù)是（ ） A．360 B．540 C．1080 D．2160
16．已知圓錐曲線的對稱中心為原點(diǎn)．若對于上的任意一點(diǎn)，均存在上的點(diǎn)（、不重合），
使得：（1）直線OP與OQ的斜率乘積為定值；（2）線段PQ的中點(diǎn)在一條固定直線上，則稱為“雙對稱曲線”. 現(xiàn)有如下命題：① 任意橢圓都是雙對稱曲線；② 存在雙曲線是雙對稱曲線. 下列判斷正確的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
三. 解答題
17．如圖，在四棱錐中，平面，，
且 ，，是AD的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ADE；（2）求直線CM與平面DEN所成角的正弦值．
18. 我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中給出了由三角形的三邊a、b、c計算三角形面積的公式，這就是“三斜求積”公式．若的內(nèi)角A、B、C的對應(yīng)邊分別為a、b、c．
（1）若，，，求面積；（2）若，且，
求面積的最大值．
19．某校高一年級開設(shè)有羽毛球訓(xùn)練課，期末對學(xué)生進(jìn)行羽毛球五項指標(biāo)（正手發(fā)高遠(yuǎn)球、定點(diǎn)高遠(yuǎn)球、吊球、
殺球以及半場計時往返跑）考核，滿分100分．參加考核的學(xué)生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）由頻率分布直方圖，求出圖中的值，并估計考核得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）：
（2）為了提升同學(xué)們的羽毛球技能，校方準(zhǔn)備招聘高水平的教練．現(xiàn)采用分層抽樣的方法（樣本量按比例分配），
從得分在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從中挑出兩人進(jìn)行試課，求兩人得分分別來自和的概率；
（3）現(xiàn)已知直方圖中考核得分在內(nèi)的平均數(shù)為75，方差為6.25，在內(nèi)的平均數(shù)為85，方差為0.5，求得分在內(nèi)的平均數(shù)和方差.
20． 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)是第一象限內(nèi)上的一點(diǎn)，、的延長線分別交于點(diǎn)、．（1）求的周長；（2）求面積的取值范圍；
（3）設(shè)、分別為、的內(nèi)切圓半徑，求的最大值．
21．設(shè)函數(shù)().（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）設(shè)為的一個極值點(diǎn)，證明；（3）設(shè)在內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列、、、、，
證明：（、2、）.
上海四校高二下5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷參考答案2025.05
（金山中學(xué)、閔行中學(xué)、嘉定一中、崇明中學(xué)）
一. 填空題1. 2. 3. 0 4. 8 5. 6. 3 7.
8. 9 9. 10. 11. 12. ②
8．已知，．直線與曲線相切，則的最小值是
8．【分析】根據(jù)題意設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得
，再根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，因為，直線的斜率為，
所以，，，所以，因為
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以的最小值是.故答案為：.
從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到橢圓上的點(diǎn)，反射后光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn) ，事實(shí)上，點(diǎn)處的切線垂直于的角平分線，已知橢圓 的兩個焦點(diǎn)是、，點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，的角平分線PT交橢圓的長軸于點(diǎn)，則的取值范圍是
9．【解析】利用切線方程和角的平分線垂直，結(jié)合斜率之積為，即可求解.【詳解】由題意，橢圓C在點(diǎn)處的切線，且，所以切線的斜率為，而角的角平分線的斜率為，
又由切線垂直角的角平分線，所以，即.故答案為：.
10．若定義在上的函數(shù)同時滿足：① 為奇函數(shù)；② ；
③ 對任意的、，且，都有. 則不等式的解集為
10．
【分析】由題意可得，判斷的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而判斷的單調(diào)性，注意到
，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】因?qū)θ我獾模遥加校瑒t在上單調(diào)遞減，
又為奇函數(shù)及，所以，則為偶函數(shù)，且，
故在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又，則，當(dāng)時，，
得，解得或，故；當(dāng)時，，即，
得或，解得或，綜上，不等式的解集為
.故答案為：【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)
構(gòu)造函數(shù)，且判斷其單調(diào)性和奇偶性，再結(jié)合單調(diào)性與奇偶性解不等式即可.
11．正方體棱長為4，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，，
則的最小值為
11．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)題目條件得出點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)三點(diǎn)共線，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)；再借助二次函數(shù)得出當(dāng)時，的最小值為；最后再根據(jù)點(diǎn)的軌跡和的幾何意義即可求解.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系：
則由題意可得，,，.
因為點(diǎn)滿足，，所以點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)三點(diǎn)共線.
設(shè)，，則，，
所以，則，
令，則該函數(shù)可以看做是關(guān)于t的二次函數(shù)，
則當(dāng)時，函數(shù)有最小值，為，所以要使最小，
可先取，此時，其幾何意義是點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)
到點(diǎn)的距離，又因為，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為球心，為半徑的球面，
則射影點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部，所以
，又因為，所以.故答案為：.
12．定義平面直角坐標(biāo)系中的笛卡爾卵形線為滿足方程：，
則下列結(jié)論正確的是
① 該曲線關(guān)于x、y軸對稱； ② 曲線與軸交點(diǎn)為和；
③ 若點(diǎn)在曲線上，則；④ 存在直線與該曲線恰有1個交點(diǎn).
12. ②【詳解】笛卡爾卵形線方程為： ，選項①：若點(diǎn)(x，y)在曲線上，
則(x，-y)也滿足方程，則曲線方程滿足關(guān)于x軸對稱，因方程中y均為平方項，故成立；若點(diǎn)(x，y)在曲線上，
(-x，y)也滿足方程，則曲線方程關(guān)于x軸對稱，代入后，原方程變?yōu)?br/>與原始表達(dá)式不同 (系數(shù)3和2不相等)，故不成立；結(jié)論：①錯誤；選項②：求曲線與x軸交點(diǎn)，
，分區(qū)間討論：； 時，
，與范圍不符，無解；結(jié)論：交點(diǎn)為和(2，0)，
②正確；選項③：求y的最大值，當(dāng)時，方程化簡為：
但是由圖可知不成立，③錯誤；選項④：用描點(diǎn)法畫出
方程的草圖，考慮幾何
對稱性，由圖可知，不存在直線與該笛卡爾卵曲線恰有1個交點(diǎn)，
結(jié)論：④錯誤；故答案為：.
二. 選擇題 13. B 14. D 15. C 16. C
15．DeepSeek系統(tǒng)的登錄密碼由6個字符組成，其中前4位是大寫字母
D、E、E、P的某種排列，后2位是不相同的數(shù)字，則可能的密碼總數(shù)是（ ）
A．360 B．540 C．1080 D．2160
15．C【分析】利用倍縮法可得出前個位置的排法種數(shù)，利用排列計數(shù)原理可得出后兩位的排法種數(shù)，
再利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，前個位置中有兩個位置安排字母，有種，
然后從中選擇兩個不同的數(shù)字排最后兩個位置，有種，由分步乘法計數(shù)原理可知，
可能的密碼種數(shù)為.故選：C.
16．已知圓錐曲線的對稱中心為原點(diǎn)．若對于上的任意一點(diǎn)，均存在上的點(diǎn)（、不重合），
使得：（1）直線OP與OQ的斜率乘積為定值；（2）線段PQ的中點(diǎn)在一條固定直線上，則稱為“雙對稱曲線”. 現(xiàn)有如下命題：① 任意橢圓都是雙對稱曲線；② 存在雙曲線是雙對稱曲線. 下列判斷正確的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
16．C【分析】根據(jù)“雙對稱曲線”的定義判斷橢圓和雙曲線是否是“雙對稱曲線”.
【詳解】對橢圓：如圖：設(shè)橢圓（），作圓，
與圓：，取圓上點(diǎn)，向圓
作切線，，則,因為橢圓必在圓內(nèi)，
所以橢圓上不存在，使能成立，
所以橢圓不是“雙對稱曲線”，故①不成立；對雙曲線，
取雙曲線：，，如圖：過點(diǎn)作直線，
與雙曲線有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為：；
過作直線的垂線，其斜率為，
即雙曲線上存在，使能成立.
所以此時存在雙曲線是“雙對稱曲線”. 故②成立.故選：C.
三. 解答題
17.（1）略；（2）
【分析】（1）由已知線面關(guān)系，證明平面，有，又可證，可證得平面；
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正弦值.
【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，由，知，，
又，平面，所以平面，因為平面，所以，
因為，是的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面．
平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，， 故，，
，設(shè)平面的法向量，
則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，
則，即直線與平面所成角的正弦值．
18.（1）；（2）.【分析】（1）將所給邊長代入公式直接計算即可；（2）利用正弦定理邊化角整理可得，
根據(jù)兩邊和大于第三邊求出的范圍，然后根據(jù)面積公式和二次函數(shù)性質(zhì)可解.
【詳解】（1）因為，，，所以；
因為，所以，由正弦定理邊化角得，
所以，即，由解得，
所以，因為，
所以當(dāng)時，取得最大值.
（1），平均值79.5；（2）；（3）平均數(shù)81，方差26.8.
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和為1，可求出t的值，再利用百分位數(shù)的定義求解；
（2）利用古典概型的概率公式求解；（3）利用分層隨機(jī)抽樣的均值和方差公式求解．
【詳解】（1）由題意得：10×（0.01+0.015+0.020+t+0.025）＝1，解得t＝0.03，設(shè)第60百分位數(shù)為x，
則0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×（x﹣80）＝0.6，解得x＝85，即第60百分位數(shù)為85；
（2）由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在[70，80）的有人，設(shè)為A、B，
在[80.90）的有人，設(shè)為a、b、c，則樣本空間為Ω＝{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），
（B、a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，n（Ω）＝10，
設(shè)事件M＝“C兩人分別來自[70，80）和[80，90）”，
則M＝（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c）}，n（M）＝6，
因此，所以兩人得分分別來自[70，80）和[80，90）的概率為；
（3）考核得分在[70，80）內(nèi)的人數(shù)為0.02×10×40＝8人，在[80，90）內(nèi)的人數(shù)為0.03×10×40＝12人，
所以得分在[70，90）內(nèi)的平均數(shù)為7585＝81，
方差為[6.25+（75﹣81）2][0.5+（85﹣81）2]＝26.8．
【詳解】（1）∵為橢圓的兩焦點(diǎn)，且為橢圓上的點(diǎn)，
∴的周長為．由題意得，即的周長為．
（2）由題意可得直線的傾斜角不為，
所以設(shè)直線的方程為）．
聯(lián)立消去整理得則，
所以．令，
則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），
所以，故面積的取值范圍為．
（3）設(shè)，因為，
所以.
由題知直線的方程為，將其代入橢圓的方程可得，
整理可得，則，
得，故．
當(dāng)時，直線的方程為，將其代入橢圓方程并整理可得，
，同理可得；
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；當(dāng)時，軸，易知，
此時．綜上，的最大值為．
【詳解】（1）函數(shù)定義域為，對任意，有，
且恒成立，故函數(shù)為偶函數(shù)；
因為函數(shù)，所以，令，則，
對滿足方程的有，所以，由函數(shù)與函數(shù)的圖象可知此方程一定有解，
故的一個極值點(diǎn)滿足，
所以
（3）設(shè)是的任意正實(shí)根，則，則存在一個非負(fù)整數(shù)，使，
即為第二或第四象限角，因為，
所以在第二或第四象限變化時，變化如下，
（k為奇數(shù)） 0
（k為偶數(shù)） 0
所以滿足的正根都為函數(shù)的極值點(diǎn)，由題可知，
為方程的全部正實(shí)根且滿足
所以，
因為
則，由，可得，所以．

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