資源簡介

3．2.1　雙曲線及其標準方程
一、 單項選擇題
1 已知雙曲線E：－＝1，設M是雙曲線E上的一點，F1，F2分別是雙曲線E的左、右焦點，若MF1＝3，則MF2的長為(　　)
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
2 若橢圓＋＝1(a>0)與雙曲線－y2＝1的焦點相同，則實數a的值為(　　)
A. 25 B. 16
C. 5 D. 4
3 已知點A(3，2)，B(－3，－2)，若動點M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為，則動點M的軌跡方程為(　　)
A. y2－＝1(x≠±3)
B. －y2＝1(x≠±3)
C. y2－＝1
D. －y2＝1
4 已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則實數n的取值范圍是(　　)
A. (－1，3)
B. (1，3)
C. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
D. (－∞，1)∪(3，＋∞)
5 已知F是雙曲線－＝1的左焦點，點A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點，則PF＋PA的最小值為(　　)
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
6 已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，在左支上過點F1的弦AB的長為5，若2a＝8，則△ABF2的周長是(　　)
A. 16 B. 18
C. 21 D. 26
7 《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長分別稱為“勾”“股”“弦”. 如圖，Rt△ABC的“勾”“股”分別為6，8，以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，則以A，B為焦點，且過點C的雙曲線的方程為(　　)
A. x2－＝1
B. －y2＝1
C. －＝1
D. －＝1
8 已知有相同焦點F1，F2的橢圓＋y2＝1(m>1)和雙曲線－y2＝1(n>0)，P是它們的一個交點，則△F1PF2的形狀是(　　)
A. 銳角三角形
B. 直角三角形
C. 鈍角三角形
D. 以上均有可能
二、多項選擇題
9 已知曲線C：mx2＋ny2＝1，則下列結論中正確的是(　　)
A. 若m>n>0，則曲線C是圓
B. 若m＝n>0，則曲線C是橢圓
C. 若mn<0，則曲線C是雙曲線
D. 若m＝0，n>0，則曲線C是兩條直線
10 已知雙曲線C：－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線C上. 若△PF1F2是直角三角形，則△PF1F2的面積為(　　)
A. B. C. 4 D. 2
三、填空題
11 已知雙曲線C：x2＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，并且經過點M(－2，)，則MF1－MF2＝________．
12 設F1，F2分別是雙曲線－＝1(a>0)的左、右焦點，點P在雙曲線上，且·＝0，||·||＝2，則a＝________．
13 已知M為圓O：x2＋y2＝1上的動點，點F1(－2，0)，F2(2，0)，延長F1M至點N，使得MN＝F1M，線段F1N的垂直平分線交直線F2N于點P，記點P的軌跡為Γ，則Γ的方程為________.
四、解答題
14 已知圓C1：(x＋2)2＋y2＝，圓C2：(x－2)2＋y2＝，動圓C與圓C1，C2都外切，求圓心C的軌跡方程．
15 四個森林防火觀察站A，B，C，D的坐標依次為(5，0)，(－5，0)，(0，5)，(0，－5)，他們都發現某一地區有火訊. 若A，B觀察到的距離相差為6，且離A近，C，D觀察到的距離相差也為6，且離C近. 試求火訊點的坐標．
16 已知F1，F2是雙曲線－＝1的兩個焦點．
(1) 若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；
(2) 如圖，若P是雙曲線左支上的一點，且PF1·PF2＝32，試求△F1PF2的面積．
3．2.1　雙曲線及其標準方程
1. B　因為a2＝4，所以a＝2.因為M是雙曲線E上的一點，所以|MF1－MF2|＝4，即|3－MF2|＝4，解得MF2＝－1(舍去)或MF2＝7.
2. C　由題意可知，雙曲線的兩個焦點分別為F1(－4，0)，F2(4，0)，則a2＝42＋9＝25，所以a＝5(負值舍去).
3. A　設點M的坐標為(x，y).由題意，得·＝，整理可得y2－＝1，且x≠±3，即動點M的軌跡方程為y2－＝1(x≠±3).
4. A　由該雙曲線兩焦點間的距離為4，得c＝2.當雙曲線的焦點在x軸上時，c2＝4m2＝4，m2＝1，則方程－＝1表示焦點在x軸上的雙曲線，則－15. C　F是雙曲線的左焦點，則F(－4，0)，右焦點為H(4，0).由雙曲線的定義可得PF＋PA＝2a＋PH＋PA≥2a＋AH＝9.
6. D　如圖，由雙曲線的定義知，AF2－AF1＝8①，BF2－BF1＝8②.又AF1＋BF1＝AB＝5③，由①②③，得AF2＋BF2＝21，故△ABF2的周長為AF2＋BF2＋AB＝26.
7. A　由題意知，雙曲線的焦點在x軸上，焦距2c＝AB＝10，即c＝5，且2a＝|AC－BC|＝BC－AC＝8－6＝2，即a＝1，則b2＝c2－a2＝25－1＝24，故過點C的雙曲線的方程為x2－＝1.
8. B　由題意，得橢圓與雙曲線的焦點都在x軸上，不妨設點P在第一象限，F1是左焦點，F2是右焦點，則由橢圓與雙曲線的定義，得所以PF1＝＋，PF2＝－，則PF＋PF＝2(m＋n).因為兩者有公共焦點，設半焦距為c，則m－1＝c2，n＋1＝c2，所以m＋n＝2c2，所以F1F＝4c2＝2(m＋n)，所以F1F＝PF＋PF，可得∠F1PF2＝90°，所以△F1PF2是直角三角形．
9. CD　因為曲線C：mx2＋ny2＝1，當m＝n>0時，表示圓；當m>0，n>0且m≠n時，表示橢圓；當nm<0時，表示雙曲線；當或時，表示兩條直線．故選CD.
10. AC　由雙曲線C：－＝1可得c＝＝＝4.根據雙曲線的對稱性可知，只需考慮PF1⊥F1F2或PF1⊥PF2即可．當PF1⊥F1F2時，將x＝－4代入－＝1可得y＝±，所以△PF1F2的面積為F1F2·PF1＝；當PF1⊥PF2時，由雙曲線的定義可知|PF1－PF2|＝2a＝4，由勾股定理可得PF＋PF＝F1F＝(2c)2＝64.因為PF＋PF＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝64，所以PF1·PF2＝8，此時△PF1F2的面積為PF1·PF2＝4.綜上，△PF1F2的面積為4或.故選AC.
11. －2　由點M(－2，)在雙曲線C：x2＋＝1上，得4＋＝1，解得m＝－2，即雙曲線的方程為x2－＝1.顯然點M在雙曲線的左支上，所以MF1－MF2＝－2a＝－2.
12. 1　由題意，得△PF1F2是直角三角形，且PF＋PF＝F1F＝4c2＝20a，所以(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝20a，即(2)2＋4＝20a，解得a＝1.
13. x2－＝1　如圖1，圖2，連接OM，PF2.因為O，M分別為F1F2，F1N的中點，所以F2N＝2OM＝2，由垂直平分線的性質可知F1P＝PN，則|PF1－PF2|＝F2N＝2<4＝F1F2，所以點P的軌跡是以F1，F2為焦點且實軸長為2的雙曲線，所以2a＝2，2c＝4，所以a2＝1，b2＝c2－a2＝3，所以軌跡方程為x2－＝1.
圖1 圖2
14. 設動圓C的半徑為r.
由題意可知，圓C1的圓心為C1(－2，0)，半徑為，圓C2的圓心為C2(2，0)，半徑為.
因為動圓C與圓C1，圓C2都外切，
所以CC1＝r＋，CC2＝r＋，
所以CC1－CC2＝2故點C的軌跡是以C1，C2為焦點的雙曲線的右支．
設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，則2a＝2，2c＝4，
可得a＝1，則c＝2，
所以b＝＝＝，
所以圓心C的軌跡方程為x2－＝1(x≥1).
15. 設火訊點P的坐標為(x，y).
因為觀察到的距離相差為6，且AB＝CD＝10>6，
所以點P在雙曲線上，且c＝5，2a＝6，即a＝3，
則b2＝c2－a2＝16.
因為離A近，所以點P在雙曲線－＝1(x≥3)上；
因為離C近，所以點P在雙曲線－＝1(y≥3)上．
聯立兩雙曲線的方程可得
故火訊點的坐標為P.
16. 由題意，得a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1) 由雙曲線的定義，得|MF1－MF2|＝2a＝6，
又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，
假設點M到另一個焦點的距離等于x，
則|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故點M到另一個焦點的距離為10或22.
(2) 由題意，得PF2－PF1＝6，
兩邊平方，得PF＋PF－2PF1·PF2＝ 36，
所以PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝＝0.
因為∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2＝90°，
故S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.

展開更多......

收起↑