資源簡(jiǎn)介

3．1.2　橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
一、 單項(xiàng)選擇題
1 直線＋＝1與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系為(　　)
A. 相離 B. 相切
C. 相交 D. 無(wú)法確定
2 若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率是，則的最小值為(　　)
A. B. 1
C. D. 2
3 德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)天體運(yùn)行軌道是橢圓，已知地球運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，太陽(yáng)在它的一個(gè)焦點(diǎn)上，軌道近日點(diǎn)到太陽(yáng)中心的距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)中心的距離之比為29∶30，則地球運(yùn)行軌道所在橢圓的離心率是(　　)
A. B. C. D.
4 過(guò)點(diǎn)P(1，0)作傾斜角為45°的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點(diǎn)，則PA·PB的值為(　　)
A. B. C. D.
5若直線l：y＝x＋m與橢圓C：＋＝1沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　)
A. (－2，2)
B. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
C. (－，)
D. (－∞，－)∪(，＋∞)
6 已知橢圓＋y2＝1，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x－y＋＝0的距離的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
7 在橢圓＋＝1中，以M為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為(　　)
A. － B. －4
C. － D. －2
8 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)滿足方程10＝|3x＋4y＋2|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　)
A. 橢圓 B. 雙曲線
C. 拋物線 D. 無(wú)法確定
二、 多項(xiàng)選擇題
9 直線y＝kx＋2(k∈R)和橢圓＋＝1的交點(diǎn)情況有可能為(　　)
A. 沒(méi)有公共點(diǎn)
B. 一個(gè)公共點(diǎn)
C. 兩個(gè)公共點(diǎn)
D. 無(wú)法確定
10 橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. 橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3
B. 橢圓C的離心率為
C. PF1的最大值為5
D. 存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2
三、填空題
11 已知直線l：y＝x－3與橢圓C：＋＝1相交，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是________.
12 已知P為橢圓＋＝1上一動(dòng)點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B，則PA＋PB的最小值為_(kāi)_______．
13 過(guò)橢圓M：＋＝1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x＋y－＝0交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且直線OP的斜率為，則橢圓M的方程為_(kāi)_______．
四、 解答題
14已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2＝4，且過(guò)點(diǎn)(0，2).
(1) 求橢圓C的方程；
(2) 若點(diǎn)P在橢圓C上，∠F1PF2＝90°，求△OPF2的面積．
15 已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，).
(1) 求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 若直線l1與橢圓M相切，且直線l1與直線l：x－y－3＝0平行，求直線l1的斜截式方程．
16已知橢圓＋＝1(a>b>0)的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，焦距為2.
(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1，且斜率為1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．
3．1.2　橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
1. C　因?yàn)橹本€＋＝1過(guò)點(diǎn)(a，0)，(0，b)，且(a，0)，(0，b)為橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，故直線＋＝1與橢圓＋＝1(a>b>0)相交．
2. A　由題意，得＝，即c＝a，所以b2＝a2－c2＝，則＝＝＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.
3. A　設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，半焦距為c.由題意，得＝，整理，得a＝59c，即＝，所以地球運(yùn)行軌道所在橢圓的離心率是.
4. A　由題意，得直線l的方程為y＝x－1，與橢圓C：＋＝1聯(lián)立，消去x并整理，得5y2＋4y－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y1·y2＝－，故PA·PB＝|y1|·|y2|＝2×＝.
5. D　聯(lián)立消去y并整理，得14x2＋18mx＋9m2－45＝0，則Δ＝324m2－56(9m2－45)<0，解得m<－或m>.
6. A　聯(lián)立消去y并整理，得5x2＋8x＋16＝0，則Δ＝(8)2－4×5×16＝0，所以直線x－y＋＝0與橢圓＋y2＝1相切，且在橢圓上方．設(shè)直線方程為x－y＋m＝0，聯(lián)立消去y并整理，得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，故Δ＝0，即64m2－4×5(4m2－4)＝0，解得m＝(舍去)或m＝－，則x－y－＝0，故點(diǎn)P到直線x－y＋＝0的距離的最大值為d＝＝.
7. C　設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以上兩式兩邊分別作差，得＋(y－y)＝0，整理，得·＝－.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×＝1，所以·＝kAB×＝－，即kAB＝－.
8. A　由10＝|3x＋4y＋2|，得＝×，其幾何意義為點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)(1，2)的距離等于到定直線3x＋4y＋2＝0的距離的，根據(jù)橢圓的第二定義，可得點(diǎn)P的軌跡是以(1，2)為焦點(diǎn)，直線3x＋4y＋2＝0為準(zhǔn)線的橢圓．
9. BC　因?yàn)橹本€y＝kx＋2(k∈R)過(guò)定點(diǎn)(0，2)，且橢圓＋＝1的上頂點(diǎn)也為(0，2)，所以當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線與橢圓相切，僅有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，此時(shí)直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．故選BC.
10. BC　橢圓C：＋＝1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a＝3，短半軸長(zhǎng)b＝，半焦距c＝＝2.對(duì)于A，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，橢圓C的離心率為＝，故B正確；對(duì)于C，(PF1)max＝a＋c＝5，故C正確；對(duì)于D，c11. 　將y＝x－3代入＋＝1，得5x2－6x＋9－4m＝0，則Δ＝36－20(9－4m)>0，解得m>.因?yàn)闄E圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2＝4>，所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是.
12. 　易知A為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)F(－1，0)為橢圓的左焦點(diǎn)，則PA＝4－PF，所以PA＋PB＝4－PF＋PB≥4－BF，當(dāng)P，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．又BF＝，則4－BF＝，故PA＋PB的最小值為.
13. ＋＝1　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則＋＝1，＋＝1，＝－1，由此可得＝－＝1.因?yàn)閤2＋x1＝2x0，y2＋y1＝2y0，＝，所以a2＝2b2.又由題意可知，橢圓M 的右焦點(diǎn)為(，0)，所以a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3，所以橢圓M的方程為＋＝1.
14. (1) 由題意，得b＝2.
又F1F2＝4，則c＝2.
由a2＝b2＋c2＝12，得a＝2，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2) 如圖，由橢圓的定義及∠F1PF2＝90°可得PF1＋PF2＝4，PF＋PF＝F1F＝32，
所以PF1·PF2＝8，
則△PF1F2的面積為PF1·PF2＝4.
因?yàn)椤鱋PF2的面積是△PF1F2面積的，
所以△OPF2的面積為2.
15. (1) 由題意可得解得
所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2) 設(shè)直線l1的斜截式方程為y＝x＋n.
聯(lián)立消去y并整理，得4x2＋2nx＋n2－6＝0，
由Δ＝4n2－4×4(n2－6)＝0，得n＝±2，
則直線l1的斜截式方程為y＝x＋2或y＝x－2.
16. (1) 由題意，得焦距2c＝2，離心率e＝＝，則c＝1，a＝.
又由b2＝a2－c2，得b2＝4，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2) 由(1)可知左焦點(diǎn)為F1(－1，0)，
則直線l的方程為y＝x＋1.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立消去y并整理，得9x2＋10x－15＝0，
則Δ＝102－4×9×(－15)>0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由弦長(zhǎng)公式，得AB＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝.
又點(diǎn)O到直線AB的距離d＝＝，
故S△OAB＝AB·d＝××＝.

展開(kāi)更多......

收起↑