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3．1.2　橢圓的簡單幾何性質
一、 單項選擇題
1已知橢圓方程為＋＝1，則橢圓的短軸長為(　　)
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
2 已知橢圓C：＋＝1(m>0)的離心率為，則實數m的值為(　　)
A. 3 B. C. 2 D.
3 已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率為，則橢圓C的方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
4已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓C上，若PF1＋PF2＝4，橢圓C的離心率為，則橢圓C的焦距為(　　)
A. 1 B. 2 C. D. 2
5 已知焦點在x軸上的橢圓＋＝1(a>0)，則它的離心率的取值范圍是(　　)
A. B. (0，]
C. D. [，1)
6 設橢圓＋＝1(a>)的右焦點為F，右頂點為A.已知＋＝，其中O為坐標原點，e為該橢圓的離心率，則該橢圓的標準方程為(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋y2＝1
7如圖，這是一塊宋代橢圓形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，該橢圓形玉璧長10.2 cm，寬7.1 cm，玉璧中心的橢圓形孔長1.6 cm，寬1.0 cm.設該玉璧的外輪廓為橢圓M，玉璧中心的橢圓形孔對應的曲線為橢圓N，則下列結論中正確的是(　　)
A. 橢圓M的離心率等于橢圓N的離心率
B. 橢圓M的離心率小于橢圓N的離心率
C. 橢圓M的離心率大于橢圓N的離心率
D. 橢圓M與橢圓N的離心率無法比較大小
8 如圖，某顆人工智能衛星的運行軌道近似可看作以地心F1為一個焦點且離心率為的橢圓，地球可看作半徑為R的球體，近地點離地面的距離為r，則遠地點離地面的距離l為(　　)
A. 3r＋2R
B. 5r＋2R
C.
D.
二、 多項選擇題
9 已知橢圓C：＋＝1，則下列說法中正確的是(　　)
A. (2，0)是橢圓C的一個頂點
B. (0，1)是橢圓C的一個焦點
C. 橢圓C的離心率為e＝
D. 橢圓C的短軸長為2
10 某顆人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓，如圖，已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面m km，遠地點B(離地面最遠的點)距地面n km，并且F，A，B三點在同一直線上，地球半徑約為R km，設該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a，2b，2c，則下列結論中正確的是(　　)
A. a－c＝m＋R
B. a＋c＝n＋R
C. 2a＝m＋n
D. 2b＝2
三、填空題
11焦點在y軸上，短軸長為8，離心率為的橢圓的標準方程是________．
12 已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上的點，若∠F1PF2＝60°，PF1＝2PF2，則橢圓的離心率為________．
13若橢圓C：＋＝1(m>9)比橢圓D：＋＝1更扁，則橢圓C的長軸長的取值范圍是________.
四、解答題
14 分別求出滿足下列條件的橢圓的標準方程：
(1) 焦點在y軸上，短軸長為12，離心率為；
(2) 離心率為，且經過點(2，0).
15 已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點，AF2＋BF2＝2.
(1) 若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；
(2) 若點M到直線l的距離不小于，求橢圓離心率的取值范圍．
16 已知橢圓中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，直線y＝x與橢圓在第一象限交于點M，且點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F2，另一個焦點是F1.
(1) 求橢圓的離心率；
(2) 若1·2＝2，求橢圓的方程．
3．1.2　橢圓的簡單幾何性質
1. B
2. C　由題意，得a＝，c＝1，則離心率e＝＝，解得m＝2.
3. D　由題意易知，橢圓的焦點在x軸上，且c＝1，a＝2，則b＝，所以橢圓C的方程為＋＝1.
4. B　由題意，得解得a＝2，c＝1，所以焦距為2c＝2.
5. B　因為方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，所以4a>a2＋1，解得2－6. C　由＋＝，得＋＝，化簡，得a2＝4c2.又b2＝3，所以a2－c2＝3c2＝3，則c＝1，a＝2，所以該橢圓的標準方程為＋＝1.
7. B　由題意可得橢圓M的長軸長為10.2 cm，短軸長為7.1cm，橢圓N的長軸長為1.6cm，短軸長為1.0cm.因為≈0.696，＝0.625，所以>.又e＝，所以越大，離心率越小，所以橢圓M的離心率小于橢圓N的離心率．
8. D　不妨以橢圓中心為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，則e＝，且r＝a－c－R，解得a＝，c＝，故該衛星遠地點離地面的距離為a＋c－R＝＋－R＝r＋R.又e＝，所以r＋R＝r＋R＝r＋R＝.
9. BCD　由橢圓C：＋＝1可知，橢圓的焦點在y軸上，且a＝2，b＝，c＝＝1，橢圓有四個頂點，分別為(0，2)，(0，－2)，(，0)，(－，0)，焦點有兩個，分別為(0，1)，(0，－1)，橢圓的短軸長為2b＝2，離心率為e＝＝，故A錯誤，B，C，D正確．故選BCD.
10. ABD　由題意，得m＝a－c－R，n＝a＋c－R，所以a－c＝m＋R，a＋c＝n＋R，m＋n＝2a－2R，故A，B正確，C錯誤；又2b＝2＝2，故D正確．故選ABD.
11. ＋＝1　由題意，得解得又橢圓的焦點在y軸上，故橢圓的標準方程是＋＝1.
12. 　由橢圓定義，得PF1＋PF2＝2a.又PF1＝2PF2，故PF1＝，PF2＝.在△PF1F2中，由余弦定理可得 cos ∠F1PF2＝＝＝＝，故－8c2＝，解得＝，故離心率為.
13. (6，＋∞)　因為橢圓D：＋＝1的離心率e2＝＝，橢圓C比橢圓D更扁，所以橢圓C的離心率e1>e2，即>，解得m>18，故橢圓C的長軸長2>2＝6.
14. (1) 設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0).
由題意，得2b＝12，＝，得b＝6.
又a2＝b2＋c2＝36＋c2，解得a＝10，c＝8，
故橢圓的標準方程為＋＝1.
(2) 由題意可得e＝＝.
設a＝2k，c＝k，k>0，則b＝k.
又橢圓經過的點(2，0)為其頂點，
故若點(2，0)為長軸頂點，則a＝2，b＝1，橢圓的標準方程為＋y2＝1；
若點(2，0)為短軸頂點，則b＝2，a＝4，橢圓的標準方程為＋＝1.
15. (1) 由題意及橢圓的定義，得2a＝AF2＋AF1＝AF2＋BF2＝2，所以a＝.
又e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以c＝1，b＝1，
故橢圓的方程為＋y2＝1.
(2) 設點M的坐標為(0，b)，則點M到直線l的距離為.
由題意，得≥，故b≥1，則a2－c2≥1.
因為a＝，所以0所以0<≤，
即橢圓離心率的取值范圍是.
16. (1) 設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0).
由題意，得xM＝c，yM＝，
代入直線方程，得c＝＝，
化簡，得e2＋e－1＝0，解得e＝(負值舍去)，
故橢圓的離心率為.
(2) 由(1)，得M，F1(－c，0)，F2(c，0)，
所以＝，＝.
因為·＝2，
所以＝2，解得c＝2.
因為e＝＝，所以a＝2，
所以b2＝a2－c2＝4，
所以橢圓的方程為＋＝1.

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