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3．1.2　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
一、 單項選擇題
1 橢圓x2＋＝1的短軸長為(　　)
A. 1 B. 2 C. D. 4
2 橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則實數(shù)m的值為(　　)
A. B. C. 2 D. 4
3 已知直線l：x＋y－1＝0經(jīng)過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點和上頂點，則橢圓的離心率為(　　)
A. B. －1
C. D.
4 若橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸長等于焦距，則橢圓的離心率為(　　)
A. B.
C. D.
5 設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為B.若BF2＝F1F2＝4，則該橢圓的方程為(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
6 橢圓E1：＋＝1與橢圓E2：＋＝1(0A. 長軸長相等 B. 短軸長相等
C. 離心率相等 D. 焦距相等
7 如圖，橢圓＋y2＝1(a>1)與x軸，y軸的正半軸分別交于點A，B，P是過左焦點F1且垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點，O為坐標(biāo)原點，若AB∥OP，則橢圓的焦距為(　　)
A.
B. 2
C. 1
D. 2
8設(shè)P(a，b)為橢圓＋＝1上一點，過點P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別為M，N，則矩形PMON面積的最大值為(　　)
A. 9 B. C. 9 D. 18
二、 多項選擇題
9已知橢圓M：＋＝1，橢圓N：＋y2＝1，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. 橢圓M與橢圓N的離心率相等
B. 橢圓M與橢圓N的焦距相等
C. 橢圓M與橢圓N的長軸長相等
D. 橢圓M的短軸長是橢圓N的短軸長的兩倍
10 中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(2，0)的橢圓的方程是(　　)
A. ＋y2＝1 B. x2＋＝1
C. x2＋4y2＝1 D. 4x2＋y2＝16
三、 填空題
11若點P在橢圓C：＋＝1上，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．
12已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，B為短軸的一個端點，則△BF1F2的周長為________.
13 若橢圓E：＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為P，則∠F1PF2＝________．
四、 解答題
14 求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1) 短軸的一個端點到一個焦點的距離為5，焦點到橢圓中心的距離為3；
(2) 橢圓的離心率為e＝，短軸長為8.
15 設(shè)m為實數(shù)，已知方程＋＝1表示橢圓．
(1) 求實數(shù)m的取值范圍；
(2) 若m＝1，過橢圓的焦點作長軸的垂線，交橢圓于A，B兩點，求AB的長．
16已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個焦點為(，0)，四個頂點構(gòu)成的四邊形面積等于12.設(shè)圓(x－1)2＋y2＝25的圓心為M，P為此圓上一點．
(1) 求橢圓C的離心率；
(2) 記線段MP與橢圓C的交點為Q，求PQ的取值范圍．
3．1.2　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
1. B
2. A　橢圓x2＋my2＝1，即x2＋＝1.因為橢圓的焦點在y軸上，所以>1.又長軸長是短軸長的兩倍，所以2＝2×2，解得m＝.
3. D　由橢圓C：＋＝1(a>b>0)，知右焦點(c，0)和上頂點(0，b).因為直線l：x＋y－1＝0經(jīng)過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點和上頂點，所以c＝1，b＝1，所以 e＝＝＝.
4. C　由題意，得b＝c，即b2＝a2－c2＝c2，所以a＝c，所以橢圓的離心率為e＝＝.
5. A　由BF2＝F1F2＝4，得a＝2c＝4，所以a＝4，c＝2，則b2＝a2－c2＝12，所以橢圓的方程為＋＝1.
6. D　對于橢圓E1，它的長、短半軸長及半焦距分別為a1＝3，b1＝2，c1＝，對于橢圓E2，它的長、短半軸長及半焦距分別為a2＝，b2＝，c2＝，所以它們的長軸長不相等，短軸長不相等，離心率不相等，焦距相等．
7. D　由題意，得F1(－c，0)，A(a，0)，B(0，1)，則點P，所以直線AB的斜率kAB＝－，直線OP的斜率kOP＝＝－.由AB∥OP，得kAB＝kOP，所以－＝－，解得c＝1，所以橢圓的焦距為2c＝2.
8. B　由題意，得＋＝1，矩形PMON的面積S＝|ab|，則＋＝1≥2＝2·，所以S≤，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2＝9時取等號，所以矩形PMON面積的最大值為.
9. BD　橢圓M：＋＝1的長半軸長a＝，短半軸長b＝2，半焦距c＝3；橢圓N：＋y2＝1的長半軸長a′＝，短半軸長b′＝1，半焦距c′＝3.對于A，橢圓M的離心率e＝，橢圓N的離心率e′＝，故A錯誤；對于B，橢圓M與N的焦距都為6，故B正確；對于C，橢圓M與N的長軸長不相等，故C錯誤；對于D，橢圓M的短軸長是橢圓N的短軸長的兩倍，故D正確．故選BD.
10. AD　橢圓＋y2＝1過點(2，0)，且a＝2，b＝1，c＝，離心率為，故A正確；橢圓x2＋＝1不過點(2，0)，故B錯誤；橢圓x2＋4y2＝1不過點(2，0)，故C錯誤；橢圓4x2＋y2＝16過點(2，0)，且a＝4，b＝2，c＝2，離心率為，故D正確．故選AD.
11. [－，]　因為橢圓C：＋＝1，所以橢圓上的點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[－，].
12. 18　橢圓＋＝1的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3，則半焦距c＝＝4，所以BF1＋BF2＝2a＝10，F(xiàn)1F2＝2c＝8，所以△BF1F2的周長為2a＋2c＝18.
13. 　在橢圓E：＋y2＝1中，a＝2，b＝1，在Rt△OPF2中，cos ∠OPF2＝＝＝.又∠OPF2∈，則∠OPF2＝，故∠F1PF2＝2∠OPF2＝.
14. (1) 由題意，得a＝5，c＝3，
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
又焦點可能在x軸上，也可能在y軸上，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.
(2) 由題意，得解得
又焦點可能在x軸上，也可能在y軸上，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.
15. (1) 因為＋＝1表示橢圓，
所以解得－1即實數(shù)m的取值范圍為(－1，2)∪(2，5).
(2) 當(dāng)m＝1時，橢圓方程為＋＝1，
所以焦點坐標(biāo)為(±，0).
將x＝±代入橢圓方程可得y2＝1，即y＝±1，
所以AB＝|1－(－1)|＝2.
16. (1) 由題意，得c＝，a2＝b2＋c2，
且×2a×2b＝2ab＝12，即ab＝6，
解得a＝3，b＝2，
所以橢圓C的離心率e＝＝.
(2) 由題意，得PQ＝MP－MQ＝5－MQ.
設(shè)Q(x1，y1)，則＋＝1，
所以MQ＝＝＝.
因為x1∈[－3，3]，
所以當(dāng)x1＝時，(MQ)min＝；
當(dāng)x1＝－3時，(MQ)max＝4，
所以PQ的取值范圍為.

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