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3．1.1　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
一、 單項(xiàng)選擇題
1橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若PF1＝2，則PF2的長(zhǎng)為(　　)
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
2 若方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A. (5，7) B. (5，＋∞)
C. (7，＋∞) D. (5，7)∪(7，＋∞)
3已知經(jīng)過(guò)橢圓C：＋＝1的左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓C的右焦點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為(　　)
A. 24 B. 12
C. 36 D. 48
4 若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足方程＋＝6，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. －＝1
5 已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則PF1·PF2的最大值是(　　)
A. B. 9
C. 16 D. 25
6已知曲線C：x2＋y2＝16，從曲線C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′，垂足為P′(若點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)P′即為點(diǎn)P)，則線段PP′的中點(diǎn)M的軌跡方程為(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
7 已知橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上. 若PF1－PF2＝2，則△PF1F2的面積是(　　)
A. B. ＋1
C. D. ＋1
8 已知P為橢圓＋＝1上一點(diǎn)，M，N分別是圓(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則PM＋PN的取值范圍是(　　)
A. [7，13] B. [10，15]
C. [10，13] D. [7，15]
二、 多項(xiàng)選擇題
9 下列說(shuō)法中，正確的是(　　)
A. 已知點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1＋PF2＝4，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓
B. 已知點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1＋PF2＝2，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓
C. 已知點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1＋PF2＝1，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓
D. 已知點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1＋PF2＝3，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓
10 已知點(diǎn)A(－1，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足PA＋PB＝2，且動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可能是(　　)
A. (0，0) B. (1，0)
C. (0，1) D. (1，1)
三、填空題
11已知點(diǎn)F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，且PF1＋PF2＝6，則點(diǎn)P的軌跡是________．
12 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面積為9，則b＝________．
13 已知點(diǎn)F1(－2，0)，圓F2：(x－2)2＋y2＝36，M是圓F2上一動(dòng)點(diǎn)，線段MF1的垂直平分線交MF2于點(diǎn)N，則點(diǎn)N的軌跡方程為_(kāi)_______.
四、解答題
14 已知橢圓E：＋＝1的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓E上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在F2M的延長(zhǎng)線上，若MN＝MF1，求點(diǎn)N的軌跡方程．
15 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2＝2，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 若點(diǎn)P在第一象限，且△PF1F2的面積為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
16 已知橢圓＋＝1上一點(diǎn)M(x0，y0)，且x0<0，y0＝2.
(1) 求x0的值；
(2) 求過(guò)點(diǎn)M且與橢圓＋＝1共焦點(diǎn)的橢圓的方程．
3．1.1　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
1. B　由橢圓方程可得a＝3.由橢圓的定義，得PF2＝2a－PF1＝6－2＝4.
2. C　由題意，得a－5>2，解得a>7.
3. A　因?yàn)锳F1＋AF2＝2a＝12，BF1＋BF2＝2a＝12，所以△ABF2的周長(zhǎng)為24.
4. A　由動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足方程＋＝6及橢圓的定義，得點(diǎn)P的軌跡是以(0，2)，(0，－2)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2，則b2＝a2－c2＝14，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1.
5. D　由題意，得PF1＋PF2＝10.因?yàn)镻F1＋PF2≥2，所以10≥2，可得PF1·PF2≤25，當(dāng)且僅當(dāng)PF1＝PF2＝5時(shí)，等號(hào)成立，所以PF1·PF2的最大值是25.
6. A　設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，M(x，y)，則P′(x0，0).因?yàn)镸是線段PP′的中點(diǎn)，所以又點(diǎn)P(x0，y0)在曲線C：x2＋y2＝16上，則x＋y＝16，所以x2＋(2y)2＝16，即＋＝1，故線段PP′的中點(diǎn)M的軌跡方程為＋＝1.
7. C　由題意，得PF1＋PF2＝2a＝4.因?yàn)镻F1－PF2＝2，所以PF1 ＝3，PF2＝1.又F1F2＝2c＝2，則PF＋F1F＝PF，所以△PF1F2是以∠PF2F1為直角的直角三角形，所以S△PF1F2＝×2×1＝.
8. A　根據(jù)橢圓的定義，得PF1＋PF2＝2a＝10，所以7＝10－(1＋2)≤PM＋PN≤10＋(1＋2)＝13，即所求的取值范圍是[7，13].
9. AD　對(duì)于A，PF1＋PF2＝4>F1F2＝2，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓，故A正確；對(duì)于B，PF1＋PF2＝2＝F1F2，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，PF1＋PF2＝1F1F2＝2，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓，故D正確．故選AD.
10. AC　由題意可得PA＋PB＝2>AB，則點(diǎn)B在以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，且點(diǎn)A，B不重合，即點(diǎn)B在圓(x＋1)2＋y2＝4內(nèi)．由點(diǎn)(0，0)，(0，1)在圓內(nèi)，點(diǎn)(1，0)在圓上，點(diǎn)(1，1)在圓外，可知A，C正確，B，D錯(cuò)誤．故選AC.
11. 線段F1F2　因?yàn)镻F1＋PF2＝6＝F1F2，所以點(diǎn)P的軌跡為線段F1F2.
12. 3　設(shè)PF1＝r1，PF2＝r2.由橢圓的定義，得PF1＋PF2＝r1＋r2＝2a.又由PF1⊥PF2，得r＋r＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，即r1r2＝2b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝×2b2＝b2.又因?yàn)椤鱌F1F2的面積為9，所以b2＝9，解得b＝3(負(fù)值舍去).
13. ＋＝1 　圓F2：(x－2)2＋y2＝36的圓心坐標(biāo)為(2，0)，半徑為6.由垂直平分線的性質(zhì)，得NF1＝MN，則NF1＋NF2＝MN＋NF2＝MF2＝6.又F1F2＝4，所以點(diǎn)N的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5，所以點(diǎn)N的軌跡方程為＋＝1.
14. 如圖，由橢圓的定義可知MF1＋MF2＝2a＝2.
又MN＝MF1，
所以MF2＋MN＝MF2＋MF1＝2，
即NF2＝2，
所以點(diǎn)N的軌跡是以F2(0，－)為圓心，2為半徑的圓，
故點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋(y＋)2＝24.
15. (1) 由題意，得2c＝2，則c＝，
所以F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
所以MF1＝＝＝，同理MF2＝，
所以2a＝MF1＋MF2＝4，即a＝2，
所以b＝＝1，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2) 設(shè)點(diǎn)P(x，y)(x>0，y>0).
由S△PF1F2＝F1F2·y，得×2×y＝，
解得y＝.
又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以＋＝1，
解得x＝1(負(fù)值舍去)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
16. (1) 由題意，得點(diǎn)M(x0，2)在橢圓＋＝1上，則＋＝1，即x＝9.
又x0<0，所以x0＝－3.
(2) 易知橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，且c2＝9－4＝5，
故可設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1(a2>5).
由(1) 知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－3，2)，
將其代入所設(shè)方程，得＋＝1(a2>5)，
解得a2＝15或a2＝3(舍去)，
故所求橢圓的方程為＋＝1.

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