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3.1.1　橢圓及其標準方程
一、 單項選擇題
1 橢圓＋＝1的焦點坐標為(　　)
A. (－2，0)和(2，0)
B. (0，－2)和(0，2)
C. (－，0)和(，0)
D. (0，－)和(0，)
2若橢圓＋y2＝1上一點P到橢圓一個焦點的距離為3，則點P到另一個焦點的距離為(　　)
A. 5 B. 2 C. 7 D. 6
3 若方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數a的取值范圍是(　　)
A. (3，＋∞)
B. (－∞，－2)
C. (－∞，－2)∪(3，＋∞)
D. (－2，0)∪(0，3)
4橢圓的兩個焦點坐標是(－4，0)和(4，0)，橢圓上的點M到兩個焦點的距離之和等于10，則橢圓的標準方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
5 若直線l：2x＋by＋3＝0過橢圓C：10x2＋y2＝10的一個焦點，則實數b的值為(　　)
A. －1 B.
C. －1或1 D. －或
6“方程＋＝1表示橢圓”是“－3A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
7已知橢圓E：＋＝1，其左、右焦點分別為F1，F2.P是橢圓E上任意一點，則△PF1F2的周長為(　　)
A. 2 B. 4
C. 6 D. 以上答案均不正確
8 與橢圓＋＝1有相同的焦點，且經過點(5，3)的橢圓的標準方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
二、 多項選擇題
9若橢圓＋＝1的焦距為2，則實數t的值為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
10 若方程＋＝1所表示的曲線為C，則下列結論中正確的是(　　)
A. 曲線C可能為圓
B. 若曲線C為橢圓，且焦點在x軸上，則1C. 若1D. 當m＝2時，曲線C為焦點在x軸上的橢圓，且焦距為
三、 填空題
11 橢圓C：＋＝1的焦距為________.
12 橢圓＋＝1上的一點到兩個焦點的距離之和為________．
13 若P為橢圓C：＋＝1上的一點，F1，F2為橢圓C的兩個焦點，且PF－PF＝16，則PF1＝________.
四、 解答題
14求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1) 焦點的坐標分別是(－4，0)，(4，0)，且經過點(，－)；
(2) 經過兩點(2，－)，(－1，).
15 如圖，橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2的直線交橢圓于P，Q兩點，且PQ⊥PF1.若PF1＝2＋，PF2＝2－，求橢圓的標準方程．
16 已知方程＋＝1.
(1) 若上述方程表示焦點在x軸上的橢圓，求實數m的取值范圍；
(2) 若上述方程表示焦點在y軸上的橢圓，求實數m的取值范圍；
(3) 若上述方程表示焦點在坐標軸上的橢圓，求實數m的取值范圍．
3．1.1　橢圓及其標準方程
1. B　在橢圓＋＝1中，a＝3，b＝，則c＝＝2，且橢圓的焦點在y軸上，所以焦點坐標為(0，－2)和(0，2).
2. C　在橢圓＋y2＝1中，a＝5，由橢圓的定義知點P到另一個焦點的距離為2a－3＝7.
3. D　因為＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，所以解得－24. C　由橢圓的定義，得2a＝10，則a＝5.因為橢圓的兩個焦點坐標是(－4，0)和(4，0)，所以橢圓的焦點在x軸上，且c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故橢圓的標準方程是＋＝1.
5. C　橢圓C的方程可化為x2＋＝1，其焦點為F1(0，－3)，F2(0，3)，代入直線l：2x＋by＋3＝0中，解得b＝1或b＝－1.
6. A　若方程＋＝1表示橢圓，則解得－37. C　在橢圓＋＝1中，a＝2，b＝，則c＝＝1，所以△PF1F2的周長為PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝4＋2＝6.
8. B　橢圓＋＝1的焦點坐標是(±4，0).又點(5，3)在橢圓上，所以由橢圓的定義，得2a＝＋＝4，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝40－16＝24，故所求橢圓的標準方程為＋＝1.
9. CD　由題意，得c＝1.若焦點在x軸上，則4－t＝1，解得t＝3；若焦點在y軸上，則t－4＝1，解得t＝5.綜上，t＝3或t＝5.故選CD.
10. AB　對于A，當5－m＝m－1，即m＝3時，曲線C：x2＋y2＝2為圓，故A正確；對于B，若曲線C為橢圓，且焦點在x軸上，則解得111. 4　在橢圓＋＝1中，a2＝16，b2＝4，則c＝＝2，故焦距為2c＝4.
12. 6　在橢圓＋＝1中，a＝3，則橢圓上的一點到兩個焦點的距離之和為2a＝6.
13. 5　在橢圓C：＋＝1中，a2＝16，所以a＝4，所以PF1＋PF2＝2a＝8①.又PF－PF＝16，即(PF1＋PF2)(PF1－PF2)＝16，所以PF1－PF2＝2②，由①②，解得PF1＝5.
14. (1) 設橢圓的焦距為2c，長軸長為2a，短軸長為2b.
由題意，得c＝4，且焦點在x軸上，
則2a＝＋＝10，
所以a＝5，b2＝a2－c2＝9，
故所求橢圓的標準方程為＋＝1.
(2) 設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
則解得
故所求橢圓的標準方程為＋＝1.
15. 由橢圓的定義，得2a＝PF1＋PF2＝(2＋)＋(2－)＝4，即a＝2.
設橢圓的焦距為2c.
因為PF1⊥PF2，所以2c＝F1F2＝＝＝2，即c＝，
所以b＝＝1，
故所求橢圓的標準方程為＋y2＝1.
16. (1) 由題意，得
解得8故實數m的取值范圍為(8，25).
(2) 由題意，得
解得－9故實數m的取值范圍為(－9，8).
(3) 由題意，得
解得－9故實數m的取值范圍是(－9，8)∪(8，25).

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