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2．5.3　圓的綜合應用
一、 單項選擇題
1 已知直線l：ax＋by－r2＝0，圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)在圓內，則下列結論中正確的是(　　)
A. 直線l與圓C相交
B. 直線l與圓C相切
C. 直線l與圓C相離
D. 不確定
2 已知圓C1：x2＋y2－2x＋my＋1＝0(m∈R)關于直線x＋2y＋1＝0對稱，圓C2的標準方程是(x＋2)2＋(y－3)2＝16，則圓C1與圓C2的位置關系是(　　)
A. 外離 B. 外切
C. 相交 D. 內含
3 已知直線2x－my＋6＝0平分圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4的周長，則實數m的值為(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4 直線x＋y－2＝0截圓x2＋y2＝4得到的劣弧所對的圓心角的大小為(　　)
A. B.
C. D.
5 若過三點A(1，3)，B(5，3)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點，則MN等于(　　)
A. 2 B. 4
C. 2 D. 4
6 已知點A，B(2，0)，點P滿足BP＝2AP，記點P的軌跡為曲線C，則下列結論中正確的是(　　)
A. 曲線C是半徑為的圓
B. 曲線C與圓x2＋y2－2x－3＝0有一個交點
C. 曲線C與直線x＋y－＝0有兩個交點
D. 曲線C與圓x2＋y2＝3圍成圖形的面積為π
7 已知圓C：x2＋y2－4x－6y＋4＝0關于直線l：ax＋by－1＝0(ab>0)對稱，則＋的最小值是(　　)
A. 2 B. 3 C. 6 D. 4
8 已知A，B是圓x2＋y2＝4上的兩個動點，點P(1，1)，且PA⊥PB，則AB的最大值為(　　)
A. B. ＋
C. 2 D. 4＋
二、 多項選擇題
9 若一個以點(2，－4)為圓心，4為半徑的圓，則下列結論中正確的是(　　)
A. 直線x＝0與圓相切
B. 圓關于直線y＝－2x對稱
C. a∈R，直線ax－y－2a－1＝0與圓都相交
D. 若P(x，y)為圓上任意一點，則的最大值為9
10 已知M(x，y)為圓C：(x＋1)2＋y2＝4上的動點，O(0，0)，A(3，0)，則下列說法中正確的是(　　)
A. △OAM面積的最大值為3
B. 直線y＝k(x－1)，k∈R與圓C相交或相切
C. ＝
D. 當∠MAO最大時，MA＝2
三、填空題
11 設O為坐標原點，點C為圓(x－2)2＋y2＝3的圓心，且圓上有一點M(x，y)滿足·＝0，則＝________.
12 已知點A(4，0)，B(2，2)，若直線l過O(0，0)且平分△OAB的面積，則l被△OAB外接圓截得的弦長為________.
13 平面幾何中有一個著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個頂點到其垂心(三角形三條高的交點)的距離等于外心(外接圓圓心)到該頂點對邊距離的2倍．若點A，B，C都在圓E上，直線BC的方程為x＋y－2＝0，且BC＝2，△ABC的垂心G(2，2)在△ABC內，點E在線段AG上，則圓E的標準方程為________.
四、解答題
14 已知圓O：x2＋y2＝4.
(1) 過圓外一點Q(2，1)引圓的切線，求切線方程；
(2) 設P是直線l1：x－y＋4＝0上的一點，過點P作圓的切線，切點是M，求△OPM面積的最小值以及此時點P的坐標．
15 已知圓C的圓心在x軸上，經過點(1，)和(2，2).
(1) 求圓C的方程；
(2) 已知過點P(3，1)的直線l與圓C交于A，B兩點．
①若AB＝2，求直線l的方程；
②當弦AB最短時，求直線l的方程．
16 為了保證海上平臺的生產安全，海事部門在某平臺O的正東方向設立了觀測站A，在平臺O的正北方向設立了觀測站B，它們到平臺O的距離分別為12 n mile和m(m>0)n mile，記海平面上到觀測站A和平臺O的距離之比為2的點P的軌跡為曲線C，規定曲線C及其內部區域為安全預警區.
(1) 如圖，以O為坐標原點，，為x軸，y軸的正方向，建立平面直角坐標系，求曲線C的方程；
(2) 若海平面上有漁船從A出發，沿AB方向直線行駛，為使漁船不進入預警區，求實數m的取值范圍．
2．5.3　圓的綜合應用
1. C　由題意知，點A(a，b)在圓C：x2＋y2＝r2內，則a2＋b2＝r，故直線l與圓C相離．
2. B　因為圓C1：x2＋y2－2x＋my＋1＝0，所以圓C1：(x－1)2＋＝，則圓C1的圓心為，半徑r1＝，且m≠0.易知圓C2：(x＋2)2＋(y－3)2＝16的圓心為(－2，3)，半徑r2＝4.因為圓C1關于直線x＋2y＋1＝0對稱，所以直線x＋2y＋1＝0經過圓心C1，則1＋2×＋1＝0，解得m＝2.又C1C2＝＝5，r1＋r2＝1＋4＝5，所以C1C2＝r1＋r2，所以圓C1與圓C2外切．
3. B　由(x－1)2＋(y－2)2＝4，可得圓心為(1，2).因為直線2x－my＋6＝0平分圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4的周長，所以直線經過圓C的圓心，則2－2m＋6＝0，解得m＝4.
4. D　由圓的方程x2＋y2＝4，得圓心O的坐標為(0，0)，半徑r＝2.過點O作OC⊥AB，垂足為C.因為圓心到直線x＋y－2＝0的距離＝，所以直線被圓截得的弦AB＝2×＝2，所以AB＝OA＝OB＝2，所以∠AOB＝.
5. D　由A(1，3)，B(5，3)，C(1，－7)可知，直線AB與x軸平行，直線AC與y軸平行，所以AB⊥AC，所以圓為直角三角形ABC的外接圓，所以圓心為BC的中點(3，－2)，所以半徑r＝＝.由圓中弦長，弦心距，半徑的關系，得MN＝2＝4.
6. B　對于A，設P(x，y)，由BP＝2AP，得＝2，整理，得x2＋y2＝1，所以曲線C的方程為x2＋y2＝1，圓心為(0，0)，半徑為1，故A錯誤；對于B，圓x2＋y2－2x－3＝0可化為(x－1)2＋y2＝4，圓心為(1，0)，半徑為2.因為兩圓的圓心距等于半徑之差的絕對值，所以圓C與圓x2＋y2－2x－3＝0內切，故B正確；對于C，易得圓C的圓心到直線x＋y－＝0的距離為d＝＝1，所以圓C與直線x＋y－＝0相切，故C錯誤；對于D，易知圓C與圓x2＋y2＝3圍成的圖形為同心圓圍成的圓環，所以面積為π×()2－π×12＝2π，故D錯誤．
7. D　由題意，得圓C：x2＋y2－4x－6y＋4＝0可化為(x－2)2＋(y－3)2＝9.因為圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝9關于直線l：ax＋by－1＝0(ab>0)對稱，所以直線l過圓心(2，3)，即2a＋3b＝1，則＋＝(2a＋3b)＝2＋＋.因為ab>0，且2a＋3b＝1，所以a>0，b>0，所以＋＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當＝，即a＝，b＝時，等號成立，所以＋的最小值是4.
8. B　設AB的中點為C，則AB＝2BC.因為OC2＋BC2＝OB2＝4，所以要使AB最大，只需OC最小．由PA⊥PB，得PC＝BC，所以OC2＋PC2＝4.設C(x，y)，則x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，整理，得＋＝，所以點C的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓．又＋<，所以點O在此圓內，故OCmin＝－＝，所以BCmax＝＝，故ABmax＝＋.
9. BCD　由題意，得圓C：(x－2)2＋(y＋4)2＝16.對于A，因為圓心C(2，－4)到直線x＝0的距離為2，小于半徑4，所以直線x＝0與圓相交，故A錯誤；對于B，因為圓心(2，－4)在直線y＝－2x上，所以圓關于直線y＝－2x對稱，故B正確；對于C，易得直線ax－y－2a－1＝0，即a(x－2)－y－1＝0，則直線經過定點(2，－1).又該點在圓(x－2)2＋(y＋4)2＝16內，所以 a∈R，直線ax－y－2a－1＝0與圓都相交，故C正確；對于D，由題意，得可表示為圓上的點P(x，y)與點A(－1，0)的距離d，易知dmax＝CA＋r＝＋4＝9，故D正確．故選BCD.
10. ACD　如圖，對于A，因為△MAO的底OA為定值，所以當點M到OA(即x軸)的距離最大時，三角形的面積最大．又點M到x軸的最大距離為半徑2，所以△OAM面積的最大值是×3×2＝3，故A正確；對于B，因為直線y＝k(x－1)，k∈R恒過定點(1，0)，而點(1，0)在圓C：(x＋1)2＋y2＝4上，且直線不垂直于x軸，所以直線與圓相交，故B錯誤；對于C，＝＝＝＝，故C正確；對于D，當∠MAO最大時，直線AM與圓(x＋1)2＋y2＝4相切，則CM⊥AM.因為CM＝2，AC＝4，所以由勾股定理可得AM＝＝＝2，故D正確．故選ACD.
11. ±　由題意，得點C(2，0)，圓的半徑r＝.因為·＝0，所以OM⊥CM，所以OM是圓的切線，設直線OM的方程為y＝kx，則＝，解得k＝±，所以＝±.
12. 　分別取OA，AB的中點N(2，0)，M(3，1)，則ON＝NA＝NB＝2，可知△OAB的外接圓圓心為N(2，0)，半徑r＝2，由題意可知直線l過點O(0，0)，M(3，1)，則直線l：y＝x，即x－3y＝0，則圓心N(2，0)到直線l的距離d＝＝，所以所求弦長為2＝2×＝.
13. (x－3)2＋(y－3)2＝18　由題意，得△ABC的垂心G(2，2)到直線BC的距離d＝，設圓E的半徑為r，由塞爾瓦定理，得r＋EG＝2(EG＋)，由圓的幾何性質，得(EG＋)2＋()2＝r2，聯立解得EG＝，r＝3.因為直線BC的方程為x＋y－2＝0，EG⊥BC，且G(2，2)，所以直線EG的方程為y＝x，設E(a，a)，則點E到直線BC的距離d′＝＝2，解得a＝－1(舍去)或a＝3，所以圓E的標準方程為(x－3)2＋(y－3)2＝18.
14. (1) 當切線斜率存在時，設切線的方程為y－1＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋1＝0.
因為圓心(0，0)到切線的距離是2，
所以＝2，解得k＝－，
所以切線方程為－x－y＋＋1＝0，
即3x＋4y－10＝0；
當切線斜率不存在時，易知x＝2與圓也相切．
綜上，所求切線方程為3x＋4y－10＝0或x＝2.
(2) 由圓的幾何性質可知，當OP⊥l1時，△OPM的面積取最小值．
因為直線l1：x－y＋4＝0，
所以直線OP的方程為y＝－x.
聯立解得
所以點P的坐標為(－2，2).
此時△OPM的面積最小，最小值為×2×2＝2.
15. (1) 設圓心為C(a，0)，
由題意，得＝，
解得a＝2，
所以圓C的半徑為r＝＝2，
所以圓C的標準方程為(x－2)2＋y2＝4.
(2) ①當AB＝2時，圓心C到直線l的距離為d＝＝＝1，
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝3，
此時圓心C到直線l的距離為1，符合題意；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
則d＝＝＝1，解得k＝0，
此時直線l的方程為y＝1.
綜上，直線l的方程為x＝3或y＝1.
②當PC⊥AB時，圓心C到直線l的距離最大，此時AB最短．
因為kPC＝＝1，則kAB＝－＝－1，
所以直線l的方程為y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.
16. (1) 由題意可設P(x，y)且A(12，0)，O(0，0).
由＝2，得＝2，
即(x－12)2＋y2＝4(x2＋y2)，整理，得(x＋4)2＋y2＝64，
所以曲線C的方程為(x＋4)2＋y2＝64.
(2) 易得A(12，0)，B(0，m)，則過AB的直線不過坐標原點且不與坐標軸垂直，
所以直線AB的截距式方程為＋＝1(m>0)，
化為一般式方程為mx＋12y－12m＝0(m>0).
由題意，得>8且m>0，
解得m>4.
綜上，m的取值范圍為(4，＋∞).

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