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2．5.2　圓與圓的位置關(guān)系
一、 單項選擇題
1 若圓x2－2ax＋y2＝0與圓x2＋y2－4x－2y－4＝0只有一個交點，則實數(shù)a的值可以是(　　)
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
2 若過點P(2，2)向圓C：x2＋y2＝1作兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為(　　)
A. x＋y＝ B. x＋y＝
C. x＋y＝ D. x＋y＝
3 已知圓C1：x2＋y2－2x－2y＋2－a＝0及圓C2：x2＋y2－6x－6y＋8a＝0，若存在點P，使得圓C1，C2關(guān)于點P對稱，則圓C1，C2的位置關(guān)系是(　　)
A. 相離 B. 相交
C. 外切 D. 內(nèi)切
4 圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有(　　)
A. 1條 B. 2條
C. 3條 D. 4條
5 已知圓O：x2＋y2＝4與圓C：x2＋y2－4x＋3＝0相交于A，B兩點，則△OAB的面積為(　　)
A. B.
C. D.
6 已知圓M：(x－)2＋(y－)2＝9，點A(－2，0)，B(2，0)，若在圓M上存在點P，使得∠APB＝，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A. [1，25] B. [1，5]
C. D.
7 已知O為坐標原點，A(1，0)，B(0，7).若動點P滿足PA＝PO，PB＝a，則正數(shù)a的最大值為(　　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
8 在平面直角坐標系xOy中，滿足不等式組的點(x，y)表示的區(qū)域面積為(　　)
A. －1 B. π
C. π－1 D. π－2
二、 多項選擇題
9 已知圓C1：(x－3)2＋y2＝1，圓C2：x2＋(y－a)2＝16，則下列說法中正確的是(　　)
A. 若圓C1和圓C2外離，則a>4
B. 若圓C1和圓C2外切，則a＝±4
C. 當a＝0時，圓C1和圓C2有且僅有一條公切線
D. 當a＝－2時，圓C1和圓C2相交
10 已知點P在圓C1：x2＋y2＝1上，點Q在圓C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. PQ的最小值為2
B. PQ的最大值為7
C. 兩個圓心所在直線的斜率為－
D. 兩個圓相交弦所在直線的方程為6x－8y－25＝0
三、填空題
11 已知圓C1：(x－a)2＋y2＝36與圓C2：x2＋(y－b)2＝4只有一條公切線，則a2＋b2＝________.
12已知圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0外切，則此時直線l：x＋y＋1＝0被圓C2所截的弦長為________.
13 已知圓C：x2＋(y－2)2＝1和圓D：x2＋y2－6x－10y＋30＝0，M，N分別是圓C，D上的動點，P為x軸上的動點，則PM＋PN的最小值是________.
四、解答題
14 已知圓C的圓心在直線x＋3y－2＝0上，且經(jīng)過點E(4，2)和F(2，0).
(1) 求圓C的標準方程；
(2) 過點A(1，1)作圓C的兩條切線，切點分別為P，Q，求PQ的長．
15 已知關(guān)于x，y的方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1) 若該方程表示圓C，求m的取值范圍；
(2) 若圓C與圓x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求實數(shù)m的值；
(3) 若(2)中的圓C與經(jīng)過點P的直線l相交于M，N兩點，且MN＝，求直線l的方程．
16 滴水湖又名蘆潮湖，呈圓形，是上海浦東新區(qū)南匯新城的中心湖泊，半徑約為 km. 一“直角型”公路A－B－C(即AB⊥BC)關(guān)于OB對稱且與滴水湖圓O相切，建立如圖所示的平面直角坐標系．
(1) 求直線BC的方程；
(2) 現(xiàn)欲在湖邊和“直角型”公路A－B－C圍成的封閉區(qū)域內(nèi)修建圓形旅游集散中心，如何設(shè)計才能使得旅游集散中心的面積最大？求出此時圓心O1到湖中心O的距離．
2．5.2　圓與圓的位置關(guān)系
1. D　易知圓x2－2ax＋y2＝0的圓心為(a，0)，半徑r1＝|a|，圓x2＋y2－4x－2y－4＝0的圓心為(2，1)，半徑r2＝3.因為圓x2－2ax＋y2＝0與圓x2＋y2－4x－2y－4＝0只有一個交點，所以兩圓內(nèi)切或外切，易得圓心距d＝，半徑差與和分別為||a|－3|或|a|＋3，當兩圓內(nèi)切時，＝||a|－3|，解得a＝2或a＝－；當兩圓外切時，＝|a|＋3，無解，結(jié)合選項可知D正確．
2. A　過點P(2，2)向圓C：x2＋y2＝1作兩條切線，切點分別為A，B，則CA⊥PA，CB⊥PB，所以點A，B在以PC為直徑的圓上．又C(0，0)，則PC的中點為Q(1，1)，CQ＝，故以PC為直徑的圓Q的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，圓Q的方程與圓C的方程相減，得公共弦AB所在直線的方程為2x＋2y－1＝0，所以直線AB的方程為x＋y＝.
3. C　由題意，得圓C1的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝a，圓心C1(1，1)，圓C2的標準方程為(x－3)2＋(y－3)2＝18－8a，圓心C2(3，3)，要存在點P，使得圓C1，C2關(guān)于點P對稱，則圓C1，C2的半徑相等，所以a＝18－8a，解得a＝2，此時圓C1，C2的半徑都是.又C1C2＝＝2，所以圓C1，C2外切．
4. B　由題意，得圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，則圓心C1(－1，－1)，半徑r1＝2，圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，則圓心C2(2，1)，半徑r2＝2，所以兩圓的圓心距為C1C2＝＝.又r1－r25. A　聯(lián)立兩式相減可得直線AB：4x－7＝0，則點O(0，0)到直線4x－7＝0的距離為d＝，所以AB＝2＝2×＝，所以S△OAB＝AB·d＝××＝.
6. C　如圖，構(gòu)造圓O：x2＋y2＝4，當圓O與圓M有公共點P時，∠APB＝，即圓O與圓M相切或相交，所以解得≤a≤.
7. D　設(shè)P(x，y)，則PA＝，PO＝.因為PA＝PO，所以(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)，化簡，得(x＋1)2＋y2＝2，故點P在以點(－1，0)為圓心，為半徑的圓上．又因為PB＝a，所以點P在以點(0，7)為圓心，a為半徑的圓上．結(jié)合題意可知兩圓相交或外切或內(nèi)切，所以|a－|≤≤a＋，解得4≤a≤6，故正數(shù)a的最大值為6.
8. D　由題意，得即所以不等式組表示的區(qū)域是圓C1：(x－1)2＋y2＝2與圓C2：(x＋1)2＋y2＝2公共的內(nèi)部區(qū)域，畫出圖象如下圖所示，C1(1，0)，C2(－1，0)，兩圓的半徑都是，設(shè)兩個圓相交于A，B兩點，則A(0，1)，B(0，－1).因為AC＋AC＝C1C，所以AC2⊥AC1，所以AC2是圓C1的切線，AC1是圓C2的切線，同理可得BC2是圓C1的切線，BC1是圓C2的切線．又BC2⊥BC1，AC1＝AC2＝BC1＝BC2＝，所以四邊形AC1BC2是正方形，所以區(qū)域面積為[×π×()2－××]×2＝π－2.
9. BCD　由題意，得C1(3，0)，C2(0，a)，r1＝1，r2＝4，則C1C2＝.若圓C1和圓C2外離，則C1C2＝>r1＋r2＝5，解得a>4或a<－4，故A錯誤；若圓C1和圓C2外切，C1C2＝＝5，解得a＝±4，故B正確；當a＝0時，C1C2＝3＝r2－r1，則圓C1和圓C2內(nèi)切，故C正確；當a＝－2時，310. BC　對于A，B，由題意，得C1(0，0)，半徑為1，圓C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝1，C2(3，－4)，半徑為1，圓心距為C1C2＝＝5.因為C1C2>2，所以圓C1和圓C2外離．又點P在圓C1上，點Q在圓C2上，所以PQmin＝C1C2－2＝3，PQmax＝C1C2＋2＝7，故A錯誤，B正確；對于C，兩個圓心所在直線的斜率為kC1C2＝＝－，故C正確；對于D，易得圓C1和圓C2外離，所以兩圓無公共弦，故D錯誤．故選BC.
11. 16　由題意，得圓C1：(x－a)2＋y2＝36的圓心為C1(a，0)，半徑r1＝6，圓C2：x2＋(y－b)2＝4的圓心為(0，b)，半徑r2＝2.因為圓C1與圓C2只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，所以C1C2＝r1－r2，即＝4，所以a2＋b2＝16.
12. 2　由圓C1：x2＋y2＝4，得C1(0，0)，r1＝2，將圓C2：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0化為標準方程，得圓C2：(x－4)2＋(y＋3)2＝25－m(m<25)，C2(4，－3)，r2＝.因為兩圓外切，所以C1C2＝r1＋r2，即＝2＋，解得m＝16，則r2＝3.又C2(4，－3)到直線l：x＋y＋1＝0的距離d＝＝，所以直線l：x＋y＋1＝0被圓C2所截的弦長AB＝2＝2×＝2.
13. －3　由題意，得圓C：x2＋(y－2)2＝1的圓心為C(0，2)，半徑為1，圓D：x2＋y2－6x－10y＋30＝0，即(x－3)2＋(y－5)2＝4，圓心為D(3，5)，半徑為2，結(jié)合兩圓位置，得PM＋PN≥PC－CM＋PD－DN＝PC＋PD－3，當且僅當P，M，C三點共線，且P，N，D三點共線時，等號成立，設(shè)點C關(guān)于x軸的對稱點C′(0，－2)，連接C′D，與x軸交于點P，此點即為所求，此時C′D＝＝，故即為PC＋PD的最小值，所以PM＋PN的最小值為－3.
14. (1) 由題意，得EF的中點為D(3，1)，kEF＝＝1，
所以線段EF的垂直平分線的方程為y－1＝－1×(x－3)，即x＋y－4＝0.
聯(lián)立解得
所以圓心C(5，－1)，
所以圓的半徑為EC＝＝，
所以圓C的標準方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝10.
(2) 由題意可知，A，P，C，Q四點在以AC為直徑的圓上，
易得以AC為直徑的圓的圓心為M(3，0)，半徑為＝×＝，
所以以AC為直徑的圓的方程為(x－3)2＋y2＝5.
因為PQ是以AC為直徑的圓和圓C的公共弦，
兩圓方程相減，得(x－5)2＋(y＋1)2－(x－3)2－y2＝10－5，即2x－y－6＝0，
所以PQ所在直線的方程為2x－y－6＝0.
又點C(5，－1)到PQ所在直線的距離為＝，
所以PQ＝2×＝2.
15. (1) 將方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0變形，
得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m.
因為方程表示圓，所以5－m>0，解得m<5，
所以實數(shù)m的取值范圍為(－∞，5).
(2) 由圓x2＋y2－8x－12y＋36＝0，
得(x－4)2＋(y－6)2＝16，此圓圓心D(4，6)，半徑r1＝4.
又圓C的圓心C(1，2)，半徑r＝(m<5)，
由圓C與圓D相外切，得CD＝r1＋r，
即＝4＋，
解得m＝4.
(3) 由(2)知，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圓心C(1，2)，半徑r＝1.
由圓C的弦長MN＝，得圓心C(1，2)到直線l的距離d＝＝.
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝，此時圓心(1，2)到直線x＝的距離為1－＝，符合題意；
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－＝k，即kx－y－k＋＝0.
由＝，
解得k＝，所以直線l的方程為12x－16y＋15＝0.
綜上，直線l的方程為x＝或12x－16y＋15＝0.
16. (1) 由題意，得直線BC的傾斜角為135°，
設(shè)直線BC的方程y＝－x＋b，b>0，
又直線BC與圓O相切，則＝，解得b＝2，
所以直線BC的方程y＝－x＋2.
(2) 若要使旅游集散中心面積最大，則應(yīng)設(shè)計為圓O1與湖相切，且與直角公路相切，
設(shè)此時OO1＝a，由∠CBO＝45°，得a－＝(2－a)，解得a＝4－4，
此時圓心O1到湖中心O的距離為(4－4)km.

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