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2．5.1　直線與圓的位置關系
一、 單項選擇題
1 若過點P(2，1)作圓C：x2＋y2－2y－3＝0的切線，則切線方程為(　　)
A. x－y－1＝0 B. x－2y＝0
C. x＋2y－4＝0 D. x－2＝0
2 若P(1，2)為圓O：x2＋y2＝9的弦AB的中點，則直線AB的方程是(　　)
A. x－2y＋5＝0 B. 2x－y＋4＝0
C. x＋2y－5＝0 D. 2x＋y－4＝0
3若直線y＝x＋b與曲線x＝恰有1個公共點，則實數b的取值范圍是(　　)
A. (－1，1] B. [－，1]
C. (－，－1] D. (－1，1]∪{－}
4若長度為2的線段AB的兩個端點分別在x軸及y軸上運動，則線段AB的中點到直線3x＋4y＋10＝0的距離的最小值為(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 3
5 已知圓(x－1)2＋(y－1)2＝9上的點P到直線3x－4y＋7＝0的距離為1，則滿足條件的點P的個數為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 已知圓C：x2＋y2＋2x－1＝0，直線mx＋n(y－1)＝0與圓C交于A，B兩點．若△ABC為直角三角形，則下列結論中正確的是(　　)
A. mn＝0 B. m－n＝0
C. m＋n＝0 D. m2－3n2＝0
7 已知點A(－1，0)，B(0，3)，P是圓(x－3)2＋y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最小值為(　　)
A. 6 B.
C. D. 6－
8 若過點M(0，－4)作圓C：x2＋y2＋2x－6y＋6＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為(　　)
A. 2x－y＋3＝0 B. x－7y＋18＝0
C. 2x－5y＋5＝0 D. x＋5y＋5＝0
二、 多項選擇題
9 已知圓C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，直線l：ax－2y－2a＋3＝0(其中a為參數)，則下列結論中正確的是(　　)
A. 圓C的半徑r＝4
B. 直線l與圓C相交
C. 直線l不可能將圓C的周長平分
D. 直線l被圓C截得的最短弦長為
10 已知直線l：kx－y＋(1－k)＝0，圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1，則下列結論中正確的是(　　)
A. 直線l與圓C不一定存在公共點
B. 圓心C到直線l的最大距離為
C. 當直線l與圓C相交時，－D. 當k＝－1時，圓C上有三個點到直線l的距離為
三、填空題
11 已知集合A＝{(x，y)|x－y＝1}，B＝{(x，y)|(x－2)2＋(y＋3)2＝9}，則A∩B的子集個數為________.
12 若動直線l1：mx－y－m＋3＝0，圓C：(x－2)2＋(y－4)2＝3，則直線l1與圓C相交的最短弦長為________.
13 已知圓C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0恒過定點A，B，則直線AB的方程為________．
四、解答題
14 已知P(x，y)是圓(x＋2)2＋y2＝1上任意一點．
(1) 求點P到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值；
(2) 求x－2y的最大值和最小值；
(3) 求的最大值和最小值．
15 已知圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0.
(1) 過點P(3，5)作圓C的切線l，求直線l的方程；
(2) 若直線AB的方程為3x＋y－8＝0，且與圓C相交于A，B兩點，求AB的長；
(3) 在(2)的前提下，若Q是圓(x＋4)2＋(y－3)2＝10上的點，求△QAB面積的最大值．
16 已知半徑為4的圓C與直線l1：3x－4y＋8＝0相切，圓心C在y軸的負半軸上．
(1) 求圓C的方程；
(2) 已知直線l2：kx－y＋3＝0與圓C相交于A，B兩點，且△ABC的面積為8，求直線l2的方程．
2．5.1　直線與圓的位置關系
1. D　由題意，得圓C的標準方程為x2＋(y－1)2＝4，圓心為C(0，1).因為22＋(1－1)2＝4，所以點P在圓C上，則kPC＝＝0，所以所求切線與x軸垂直，故所求切線的方程為x＝2.
2. C　由題意，得直線AB的斜率存在，且OP⊥AB，所以kAB·kOP＝－1.因為kOP＝＝2，所以kAB＝－，所以直線AB的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
3. D　曲線x＝，整理，得x2＋y2＝1，x≥0，畫出直線y＝x＋b與曲線x＝的圖象，當直線y＝x＋b與曲線x＝相切時，圓心(0，0)到直線y＝x＋b的距離為＝1，可得b＝－(正根舍去)；當直線y＝x＋b過點(1，0)，(0，－1)時，b＝－1，如圖，若直線與曲線恰有1個公共點，則－14. A　設A(x，0)，B(0，y)，由題意，得x2＋y2＝4.設AB的中點坐標為(m，n)，則所以m2＋n2＝1，即線段AB的中點的軌跡是以(0，0)為圓心，1為半徑的圓．又圓心(0，0)到3x＋4y＋10＝0的距離為＝2，所以線段AB的中點到直線3x＋4y＋10＝0的距離的最小值為2－1＝1.
5. D　由題意，得(x－1)2＋(y－1)2＝9的圓心為(1，1)，半徑r＝3.因為圓心(1，1)到直線的距離為＝<，所以到直線3x－4y＋7＝0的距離為1的點P共有4個．
6. A　由題意，得圓心為C(－1，0)，半徑為r＝，則CA＝CB＝.因為△ABC為直角三角形，所以AB＝＝2.設圓心C(－1，0)到直線mx＋n(y－1)＝0的距離為d，則d＝＝.由弦長公式AB＝2，得d＝1，所以＝1，化簡，得mn＝0.
7. D　由題意，得AB＝＝，直線AB的方程為y＝3x＋3，圓(x－3)2＋y2＝1的圓心C(3，0)，半徑r＝1.因為點C到直線AB的距離d＝＝，所以點P到直線AB的距離的最小值為d－r＝－1，所以△PAB面積的最小值是××＝6－.
8. B　由題意可知圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0的圓心為C(－1，3)，半徑r＝2，過點M(0，－4)作圓的兩條切線MA，MB，又MC＝＝5，則MA＝＝，則以點M為圓心，MA為半徑的圓為x2＋(y＋4)2＝46，即圓x2＋y2＋8y－30＝0，所以AB為兩圓的公共弦所在的直線，則有作差變形可得x－7y＋18＝0，所以直線AB的方程為x－7y＋18＝0.
9. BD　對于A，由x2＋y2－2x－4y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝4，所以圓C的圓心為C(1，2)，半徑r＝2，故A錯誤；對于B，由ax－2y－2a＋3＝0，得a(x－2)－2y＋3＝0.由得x＝2，y＝，所以直線l過點H.又HC＝＝<2，所以點H(2，)在圓內，所以直線l與圓C相交，故B正確；對于C，當直線l：ax－2y－2a＋3＝0過點C(1，2)，即a＝－1時，直線l平分圓C的周長，故C錯誤；對于D，當CH⊥l時，圓心到直線l的距離最大，直線l被圓C截得的弦長最短，此時弦長為2×＝，故D正確．故選BD.
10. ABD　由題意，得圓心C(－1，2)，半徑r＝1.對于A，圓心C到直線l的距離為d＝＝，當d>r＝1，即>1時，解得k>0或k<－，此時直線l與圓C相離，沒有公共點，故A正確；對于B，因為直線l：kx－y＋(1－k)＝0，即k(x－1)＝y－1，所以直線l過定點P(1，1)，當時CP⊥l，圓心C到直線l的距離最大，最大值為CP＝＝，故B正確；對于C，當直線l與圓C相交時，<1，解得－11. 4　由題意可知集合A表示直線x－y＝1上點的集合，集合B表示圓(x－2)2＋(y＋3)2＝9上點的集合．圓(x－2)2＋(y＋3)2＝9的圓心坐標為(2，－3)，半徑為3.因為點(2，－3)到直線x－y＝1的距離為＝2<3，所以直線x－y＝1與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交，所以A∩B共有2個元素，所以A∩B的子集個數為22＝4.
12. 2　由題意，得直線l1：mx－y－m＋3＝0，即(x－1)m＋(3－y)＝0，所以動直線l1恒過點A(1，3).又圓C：(x－2)2＋(y－4)2＝3的圓心為C(2，4)，半徑r＝，所以AC＝＝13. x－2y＝0　方程x2＋y2＋ax－2ay－5＝0可化為a(x－2y)＋x2＋y2－5＝0，令解得或所以直線AB的斜率為＝，所以直線AB的方程為y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
14. (1) 由題意，得圓心C(－2，0)到直線3x＋4y＋12＝0的距離為d＝＝，
所以點P到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值為d＋r＝＋1＝，最小值為d－r＝－1＝.
(2) 設t＝x－2y，則直線x－2y－t＝0與圓(x＋2)2＋y2＝1有公共點，
所以≤1，解得－－2≤t≤－2，
則tmax＝－2，tmin＝－2－，
所以x－2y的最大值為－2，最小值為－2－.
(3) 易知表示圓上的點P(x，y)與點A(1，2)連線的斜率．
設＝k，即kx－y－k＋2＝0，
又直線kx－y－k＋2＝0與圓(x＋2)2＋y2＝1有交點，
則≤1，
解得≤k≤，
則kmax＝，kmin＝，
所以的最大值為，最小值為.
15. (1) 圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－3)2＝1，
則圓心C(2，3)，半徑為1.
由(3－2)2＋(5－3)2>1，得點P在圓C外，
當過點P的直線斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－3)＋5，
即kx－y＋5－3k＝0，
則圓心C到直線l的距離為＝1，
解得k＝，
此時直線l的方程為x－y＋＝0，即3x－4y＋11＝0；
當過點P的直線斜率不存在時，直線l的方程為x＝3，此時直線l與圓C相切．
綜上，直線l的方程為3x－4y＋11＝0或x＝3.
(2) 由題意，得圓心C到直線AB的距離為d＝＝<1，
所以直線AB與圓C相交，
所以AB＝2＝.
(3) 易得圓(x＋4)2＋(y－3)2＝10的圓心為(－4，3)，半徑為，
點(－4，3)到直線AB：3x＋y－8＝0的距離為＝，
所以點Q到直線AB的距離的最大值為＋＝，
所以△QAB面積的最大值為××＝.
16. (1) 由題意可設圓心C(0，b)(b<0)，
則＝4，
解得b＝－3或b＝7(舍去)，
所以圓C的方程為x2＋(y＋3)2＝16.
(2) 設圓心C到直線l2的距離為d，則AB＝2，
所以S△ABC＝AB·d＝d＝8，即d4－16d2＋64＝0，
解得d＝2.
又d＝＝2，解得k＝±，
所以直線l2的方程為x－2y＋6＝0或x＋2y－6＝0.

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