資源簡介

2.5.1　直線與圓的位置關系
一、 單項選擇題
1 已知圓C：(x－2)2＋y2＝16，直線l：mx＋y－3m－1＝0，則下列結論中正確的是(　　)
A. 直線l恒過定點(2，1)
B. 直線l與圓C相切
C. 直線l與圓C相交
D. 直線l與圓C相離
2 已知圓C：(x－1)2＋y2＝1和直線l：y＝kx－，則“k>”是“直線l與圓C有公共點”的(　　)
A. 充要條件
B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件
D. 既不充分也不必要條件
3 以點C(－1，－5)為圓心，并與x軸相切的圓的方程是(　　)
A. (x＋1)2＋(y＋5)2＝9
B. (x＋1)2＋(y＋5)2＝16
C. (x－1)2＋(y－5)2＝9
D. (x＋1)2＋(y＋5)2＝25
4 已知直線x－2y＋1＝0與圓(x－2)2＋(y＋1)2＝a2相切，則正實數(shù)a的值為(　　)
A. B. C. D.
5 已知圓C：x2＋y2＝1，直線l：y＝kx＋2，當k變化時，若過直線l上任意一點總能作圓C的切線，則實數(shù)k的最大值為(　　)
A. 0 B. C. 1 D.
6 若圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)上恰有2個點到直線l：4x－3y－10＝0的距離為1，則實數(shù)r的取值范圍為(　　)
A. (3，＋∞) B. (5，＋∞)
C. (3，5) D. [3，5]
7 已知圓C：(x＋1)2＋y2＝2，點P在直線l：x－y－3＝0上運動，直線PA，PB與圓C相切，切點為A，B，則下列說法中正確的是(　　)
A. PA的最小值為2
B. 當PA最小時，弦AB所在直線的斜率為－1
C. 當PA最小時，弦AB的長為
D. 四邊形PACB面積的最小值為
8 若直線x－y＋m＝0(m>0)與圓O：x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則當△AOB的面積最大時，m的值為(　　)
A. B. 2 C. 4 D.
二、 多項選擇題
9 已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，則下列說法中正確的有(　　)
A. 直線l恒過定點(3，0)
B. y軸被圓C截得的弦長為4
C. 直線l與圓C恒相交
D. 當直線l被圓C截得的弦長最長時，直線l的方程為x＋2y－5＝0
10 已知圓C：x2＋y2－6x－4y＋5＝0上一點P(x，y)，則下列說法中正確的是(　　)
A. y－x的最大值為3
B. x＋y的最大值為7
C. 的最大值為6＋2
D. x2＋y2的最大值為21＋4
三、填空題
11 過點A(－1，)與圓O：x2＋y2＝4相切的直線方程為________.
12 已知a，b，c為銳角三角形的三條邊，則直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1的位置關系是________.
13 若直線l：kx－y＋2k＝0與曲線C：＝y(tǒng)－1有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是________．
四、解答題
14 已知圓C：x2＋(y－2)2＝4，直線l：x＋y－1＝0.
(1) 求過圓心且與直線l垂直的直線的一般式方程；
(2) 若直線l與圓C交于A，B兩點，求△ABC的面積．
15 已知直線l：3x－4y＋5＝0與圓C：x2＋y2－6x－2y＋a＋5＝0有且只有一個公共點．
(1) 求實數(shù)a的值以及圓C的標準方程；
(2) 已知圓C上恰有兩個點到直線m：kx－y＋2＝0的距離為1，求實數(shù)k的取值范圍．
16 已知圓C：x2＋y2＝4，直線l過點A(－2，1).
(1) 當直線l與圓C相切時，求直線l的方程；
(2) 設線段AB的端點B在圓C上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程．
2．5.1　直線與圓的位置關系
1. C　由題意，得圓C：(x－2)2＋y2＝16的圓心C(2，0)，半徑r＝4，直線l：m(x－3)＋y－1＝0恒過定點(3，1), 顯然＝<4＝r，則點(3，1)在圓C內，所以直線l與圓C相交．
2. B　由題意，得圓C：(x－1)2＋y2＝1的圓心坐標為(1，0)，半徑r＝1，當圓心到直線l的距離d＝≤r＝1時，直線l與圓C有公共點，解得k≥，所以“k>”是“直線l與圓C有公共點”的充分不必要條件．
3. D　由題意，得所求圓的半徑為5，則圓的方程為(x＋1)2＋(y＋5)2＝25.
4. A　因為a>0，所以圓(x－2)2＋(y＋1)2＝a2的圓心為(2，－1)，半徑為a.由題意，得a＝＝.
5. D　由圓C：x2＋y2＝1可知圓心C(0，0)，半徑r＝1.若過直線l上任意一點總能作圓C的切線，則直線和圓相離或相切，所以圓心到直線的距離d＝≥r＝1，解得－≤k≤，故實數(shù)k的最大值為.
6. C　設與直線l平行且與直線l之間的距離為1的直線方程為4x－3y＋c＝0，則＝1，解得c＝－5或c＝－15.又圓心C1(－1，2)到直線4x－3y－5＝0的距離為d1＝＝3，圓心C1(－1，2)到直線4x－3y－15＝0的距離為d2＝＝5，由圖可知，圓C1與直線4x－3y－5＝0相交，與直線4x－3y－15＝0相離，所以d17. C　由題意，得圓心為C (－1，0)，半徑r＝.設點P(x，y)，則y＝x－3.易得PA＝，所以當PC最小時，PA最?。之擯C⊥l時，PC最小，此時PCmin＝＝2，所以 PAmin＝＝，故A錯誤；四邊形PACB面積的最小值為×PAmin×AC×2＝×＝2，故D錯誤；當PA最小時，S△PAC＝|PA|·r＝|PC|·|AB|，即××＝×2×AB，解得AB＝，故C正確；當PA最小時，PC⊥l，直線l：x－y－3＝0的斜率為1.因為此時PA＝PB，CA＝CB，所以AB⊥PC，所以弦AB所在直線的斜率為1，故B錯誤．
8. B　由題意，得圓心(0，0)到直線x－y＋m＝0(m>0)的距離為d＝，則弦長AB為2＝2，所以S△AOB＝·AB·d＝×2×＝≤＝2，當且僅當4－＝，即m＝2時，△AOB的面積取得最大值2.
9. CD　對于A，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，即m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由解得x＝3，y＝1，所以直線l恒過定點P(3，1)，故A錯誤；對于B, 圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，當x＝0時，y＝2±2，所以y軸被圓C截得的弦長為4，故B錯誤；對于C，由A可得直線l恒過定點P(3，1).因為(3－1)2＋(1－2)2<25，所以點P在圓C內，所以直線l與圓C恒相交，故C正確；對于D，當直線l被圓C截得的弦長最長時，直線l過圓心(1，2)，則(2m＋1)＋2(m＋1)－7m－4＝0，解得m＝－，所以直線l的方程為x＋y－＝0，即x＋2y－5＝0，故D正確．故選CD.
10. ACD　圓C：x2＋y2－6x－4y＋5＝0可變形為(x－3)2＋(y－2)2＝8，設x＝2cos θ＋3，y＝2sin θ＋2，θ∈[0，2π).對于A，y－x＝2sin θ－2cos θ－1＝4sin －1，所以當θ＝時，y－x的最大值為3，故A正確；對于B，x＋y＝2cos θ＋2sin θ＋5＝4sin ＋5，所以當θ＝時，x＋y的最大值為9，故B錯誤；對于C，設＝k，則y＝kx，圓心C(3，2)，半徑為2，則≤2，解得6－2≤k≤6＋2，所以的最大值為6＋2，故C正確；對于D，x2＋y2可以看作是圓上某點P到原點的距離的平方，所以OP2≤(OC＋r)2＝(＋2)2＝21＋4，故D正確．故選ACD.
11. x－y＋4＝0　易知點A在圓O上，故所求切線與直線OA垂直．又kOA＝－，所以所求切線的斜率k＝，所以所求切線的方程為y－＝(x＋1)，即x－y＋4＝0.
12. 相交　由題意可知a2＋b2－c2>0，則c<.因為圓x2＋y2＝1的圓心到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝<1，所以直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1相交．
13. 　直線l：kx－y＋2k＝0可化為y＝k(x＋2)，所以直線l過定點A(－2，0).曲線C：＝y(tǒng)－1可變形為x2＋(y－1)2＝1(y≥1)，B(－1，1).如圖，設直線l與曲線C相切時的斜率為k2，直線l過點B(－1，1)且與曲線C有兩個交點時的斜率為k1，當直線kx－y＋2k＝0與曲線C有兩個不同的交點時，斜率k滿足k1≤k14. (1) 由題意可知圓C：x2＋(y－2)2＝4的圓心為C(0，2)，半徑r＝2.
設與直線l垂直的直線的一般式方程為x－y＋c＝0，
代入點C(0，2)可得0－2＋c＝0，解得c＝2，
所以所求直線的方程為x－y＋2＝0.
(2) 由題意，得圓心C(0，2)到直線l的距離d＝＝，
所以AB＝2＝2×＝，
所以△ABC的面積S△ABC＝d·AB＝××＝.
15. (1) 將圓C：x2＋y2－6x－2y＋a＋5＝0化為標準方程，得(x－3)2＋(y－1)2＝5－a，
故圓心C(3，1)，半徑為.
易得直線l：3x－4y＋5＝0與圓C相切，
所以＝，
解得a＝1，
所以圓C的標準方程為(x－3)2＋(y－1)2＝4.
(2) 設圓心C到直線m的距離為d.
由(1)可知C(3，1)，圓C的半徑為2.
因為圓C上恰有兩個點到直線m：kx－y＋2＝0的距離為1，
所以1解得0所以實數(shù)k的取值范圍為∪.
16. (1) 由題意，得圓C的圓心是O(0，0)，半徑是2.
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－2，符合題意；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0，
則圓心O到直線l的距離為＝2，解得k＝，所以直線l的方程為3x－4y＋10＝0.
綜上，直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋10＝0.
(2) 設點M(x，y)，B(x0，y0)，
由M是線段AB的中點，得
所以①
因為點B在圓C上運動，
所以x＋y＝4，②
將①代入②，得(2x＋2)2＋(2y－1)2＝4，
所以點M的軌跡方程是(x＋1)2＋＝1.

展開更多......

收起↑