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2．4.2　圓的一般方程
一、 單項選擇題
1 若方程x2＋y2＋4mx－2y＋4m2－m＝0表示一個圓，則實數m的取值范圍是(　　)
A. (－∞，－1) B. (－∞，1)
C. (－1，＋∞) D. [－1，＋∞)
2 圓x2＋y2－2x＋6y＝0的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為(　　)
A. B. 2 C. 3 D. 3
3 “m≥0”是“圓C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0不經過第三象限”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
4 已知點P(0，－1)關于直線x－y＋1＝0對稱的點Q在圓C：x2＋y2＋mx＋4＝0上，則m的值為(　　)
A. 4 B.
C. －4 D. －
5已知過A(－1，0)，B(0，3)，C(9，0)三點的圓與y軸交于M，N兩點，則MN等于(　　)
A. 3 B. 4 C. 8 D. 6
6 在平面內，若兩定點A，B之間的距離為4，動點M滿足MA＝3MB，則點M的軌跡長度為(　　)
A. 3π B. 6π C. 9π D. 12π
7 設P，Q分別是直線l：4x－3y－11＝0和圓C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0上的動點，則PQ的最小值是(　　)
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
8 已知圓C1：(x－3)2＋(y－2)2＝1，圓C2：(x－6)2＋(y－5)2＝4，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為y軸上的動點，則PM＋PN的最小值為(　　)
A. 3 B. 1
C. 3－3 D. 5
二、 多項選擇題
9 已知圓C：x2＋y2＋4y－5＝0的圓心C到直線x＋2y＋m＝0的距離為2，則實數m的值為(　　)
A. －6 B. －2 C. 14 D. 2
10 已知圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，點Q(－2，3)，則下列說法中正確的是(　　)
A. 圓心C的坐標為(2，7)
B. 若點P(m，m＋1)在圓C上，則直線PQ的斜率為
C. 點Q在圓C外
D. 若M是圓C上任一點，則MQ的取值范圍為[2，6]
三、填空題
11 已知圓C與圓D：x2＋y2－4x－2y＋3＝0關于x軸對稱，則圓C的方程為________.
12 已知直線l1：x＋ty－5＝0，直線l2：tx－y－3t＋2＝0，l1與l2相交于點A，則點A的軌跡方程為________.
13 已知實數x，y滿足關系：x2＋y2－6x＋4y－20＝0，則的最小值為________.
四、解答題
14 已知直線l：kx－y－1－2k＝0(k∈R)過定點P.
(1) 求過點P且在兩坐標軸上截距相等的直線方程；
(2) 設Q為圓C：x2＋y2－2y－3＝0上的一個動點，求PQ的中點M的軌跡方程．
15 已知直線l：ax－y＋3＋a＝0(a∈R)，圓C：x2＋y2－2x－2y－7＝0.
(1) 若直線l不經過第三象限，求a的取值范圍；
(2) 當圓心C到直線l的距離最大時，求此時直線l的方程．
16 已知△ABC的三個頂點分別是A(4，0)，B(0，2)，C(3，1).
(1) 求△ABC的外接圓G(G為圓心)的標準方程；
(2) 若點P的坐標是(6，0)，Q是圓G上的一個動點，點M滿足＝，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．
2．4.2　圓的一般方程
1. C　由D2＋E2－4F>0，得(4m)2＋(－2)2－4(4m2－m)>0，即4m＋4>0，解得m>－1.
2. D　由題意，得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，則其圓心坐標為(1，－3)，則圓心到直線x－y＋2＝0的距離為＝3.
3. B　因為圓C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0可整理為圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝13－m，所以圓心為C(2，3)，半徑r＝，且m<13.若圓C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0不經過第三象限，等價于原點O(0，0)不在圓C內，則m≥0，可得0≤m<13.又{m|0≤m<13}是{m|m≥0}的真子集，所以“m≥0”是“圓C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0不經過第三象限”的必要不充分條件．
4. B　設Q(a，b)，則解得a＝－2，b＝1.因為點Q在圓C上，所以4＋1－2m＋4＝0，解得m＝，經檢驗，符合題意．
5. D　設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，代入點A(－1，0)，B(0，3)，C(9，0)，得解得D＝－8，E＝0，F＝－9，則圓的方程為x2＋y2－8x－9＝0，令x＝0，可得y2－9＝0，解得y＝±3，所以MN＝6.
6. A　以線段AB的中點O為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則點A(－2，0)，B(2，0).設點M(x，y)，由MA＝3MB，得＝3，整理，得x2＋y2－5x＋4＝0，化為標準方程，得＋y2＝，所以點M的軌跡是以C為圓心，為半徑的圓，所以點M的軌跡長度為2π×＝3π.
7. B　圓C的方程可化為(x＋2)2＋(y－2)2＝4，易知圓心C(－2，2)，半徑r＝2，所以圓心C到直線l：4x－3y－11＝0的距離d＝＝5，所以PQ的最小值為d－r＝3.
8. C　由題意，得圓C1的圓心C1(3，2)，半徑r1＝1，圓C2的圓心C2(6，5)，半徑r2＝2，作圓C1關于y軸對稱的圓C0：(x＋3)2＋(y－2)2＝1，其圓心C0(－3，2)，則PM＋PN≥PC1－1＋PC2－2＝PC0＋PC2－3≥C0C2－3＝3－3，當且僅當P是線段C0C2與y軸的交點時，取等號，所以PM＋PN的最小值為3－3.
9. AC　因為圓C的方程為x2＋y2＋4y－5＝0，所以圓心C為(0，－2).又因為點C到直線x＋2y＋m＝0的距離為＝2，所以|m－4|＝10，解得m＝－6或m＝14.故選AC.
10. ACD　將圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0化為標準方程為(x－2)2＋(y－7)2＝8，則點C(2，7)，r＝2.對于A，圓心C的坐標為(2，7)，故A正確；對于B，若點P(m，m＋1)在圓C上，則有(m－2)2＋(m＋1－7)2＝8，化簡，得m2－8m＋16＝0，解得m＝4，則P(4，5)，所以直線PQ的斜率為＝，故B錯誤；對于C，因為(－2－2)2＋(3－7)2>8，所以點Q在圓C外，故C正確；對于D，因為CQ＝＝4， r＝2，所以4－2≤MQ≤4＋2，即2≤MQ≤6，故D正確．故選ACD.
11. (x－2)2＋(y＋1)2＝2　圓D：x2＋y2－4x－2y＋3＝0化成標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝2，則圓心D(2，1)，半徑r＝.因為圓C與圓D關于x軸對稱，即圓心D(2，1)與圓心C關于x軸對稱，兩圓半徑相等，則圓心C(2，－1)，半徑r＝，所以圓C的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝2.
12. (x－4)2＋(y－1)2＝2　由題意，得直線l1：x＋ty－5＝0恒過點C(5，0)，直線l2：t(x－3)－y＋2＝0恒過點B(3，2).因為1·t＋t·(－1)＝0，所以l1⊥l2.設A(x，y)，所以·＝0.又＝(5－x，－y)，＝(3－x，2－y)，則(5－x)(3－x)－y(2－y)＝0，化簡，得(x－4)2＋(y－1)2＝2.
13. －　把圓的方程化為標準方程，得(x－3)2＋(y＋2)2＝33，則圓心A的坐標為(3，－2)，圓的半徑r＝，設圓上一點的坐標為(x，y)，則為圓上的點(x，y)到原點的距離．又圓心A到原點的距離為＝，所以圓上的點(x，y)到原點的距離的最小值為－.
14. (1) 由題意，得直線l：kx－y－1－2k＝0(k∈R)恒過定點P(2，－1).
若截距為0，即直線經過原點，設直線方程為y＝mx，
則－1＝2m，解得m＝－，此時直線的方程為x＋2y＝0；
若截距不為0，不妨設直線方程為＋＝1(a≠0)，代入點P(2，－1)，
得a＝1，此時直線方程為x＋y－1＝0.
故過點P且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為x＋2y＝0或x＋y－1＝0.
(2) 設M(x，y)，Q(a，b)，則
得
所以Q(2x－2，2y＋1).
又點Q在圓C上，
所以(2x－2)2＋(2y＋1)2－2(2y＋1)－3＝0，
整理，得x2－2x＋y2＝0.
故點M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
15. (1) 由題意，得直線l：ax－y＋3＋a＝0可化為y＝ax＋3＋a.
因為直線l不經過第三象限，所以
解得－3≤a≤0，
所以a的取值范圍是[－3，0].
(2) 易得圓C：x2＋y2－2x－2y－7＝0的圓心C(1，1)，
直線l：a(x＋1)－(y－3)＝0恒過定點A(－1，3).
當且僅當AC⊥l時，點C到直線l的距離最大，
此時直線AC的斜率kAC＝＝－1，
則直線l的斜率a＝1，
所以直線l的方程為x－y＋4＝0.
16. (1) 設圓G的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0).
因為A，B，C三點都在圓G上，
所以
解得D＝0，E＝6，F＝－16，
所以所求圓G的方程為x2＋y2＋6y－16＝0，
即x2＋(y＋3)2＝25.
(2) 設M(x，y)，Q(x0，y0).
因為點P的坐標是(6，0)，且＝，
所以(x－6，y)＝(x0－6，y0)，
解得x0＝3x－12，y0＝3y.
又因為點Q在圓G上運動，
所以x＋(y0＋3)2＝25，
代入，得(3x－12)2＋(3y＋3)2＝25，
整理，得(x－4)2＋(y＋1)2＝，
故點M的軌跡方程是(x－4)2＋(y＋1)2＝，是以點(4，－1)為圓心，為半徑的圓．

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