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2.4.1　圓的標準方程
一、 單項選擇題
1 圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2關于直線l：y＝x－1對稱后的方程為(　　)
A. (x－2)2＋y2＝2
B. (x＋2)2＋y2＝2
C. x2＋(y－2)2＝2
D. x2＋(y＋1)2＝2
2已知O為坐標原點，圓E：(x－2)2＋(y－3)2＝25，則OE等于(　　)
A. 2 B. 3
C. D. 5
3 已知點A(－4，－2)，B(－4，2)，C(－2，2)，則△ABC外接圓的方程是(　　)
A. x2＋(y－3)2＝20
B. (x＋3)2＋y2＝5
C. x2＋(y＋3)2＝5
D. (x－3)2＋y2＝20
4 若兩條直線y＝x＋2a，y＝2x＋a的交點P在圓(x－1)2＋(y－1)2＝4的內部，則實數a的取值范圍是(　　)
A.
B. ∪(1，＋∞)
C.
D. ∪[1，＋∞)
5 在平面直角坐標系xOy中，若從點A(0，t)發出的光線經過點B(1，0)，且被x軸反射后將圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝1平分，則實數t的值為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 已知點C的坐標為(1，1)，動點P滿足PC＝2，O為坐標原點，則OP的最大值為(　　)
A. 4 B. 3
C. 2 D.
7 已知點M(0，2)，N，過點M作直線交圓O：x2＋y2＝9于A，B兩點，AB的中點為Q，則NQ的最小值為(　　)
A. B. C. 1 D.
8曲線x2＋y2＝|x|＋|y|圍成的圖形的面積為(　　)
A. ＋2 B. π＋2
C. 2 D. 2π
二、 多項選擇題
9 已知圓C經過點A(0，0)，B(2，0)，△ABC為直角三角形，則圓C的方程為(　　)
A. (x－1)2＋(y－1)2＝4
B. (x－1)2＋(y＋1)2＝2
C. (x－1)2＋(y－1)2＝2
D. (x－1)2＋(y－2)2＝5
10 已知圓C經過點(3，0)和(0，1)，且圓C被x軸，y軸截得的弦長相等，則圓C的方程可以是(　　)
A. (x＋1)2＋(y＋7)2＝65
B. (x－2)2＋(y－2)2＝5
C. (x－1)2＋(y＋1)2＝5
D. (x－3)2＋(y－5)2＝25
三、填空題
11 圓心在直線l：x－2y－3＝0上，且經過點A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的方程為________.
12 若實數x，y滿足x2＋y2＝4，則(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是________.
13若點P(－3，0)在動直線(a＋2b)x－(a＋b)y－3a－4b＝0上的投影點為Q，則點Q的軌跡方程是________．
四、解答題
14 求滿足下列條件的圓的標準方程：
(1) 圓心是(4，0)，且過點(2，2)；
(2) 圓心在y軸上，半徑為5，且過點(3，－4)；
(3) 過兩點C(－1，2)和D(1，2)，且圓心在x軸上．
15 已知點A(－1，3)，B(5，－5)，C(－2，2).
(1) 求線段AC的垂直平分線的方程；
(2) 已知圓M過點A，B，C，求圓M的方程．
16 已知圓心為C的圓經過點A(1，1)和B(2，－2)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上．
(1) 求圓C的方程；
(2) 若線段PQ的端點P的坐標是(5，0)，端點Q在圓C上運動，求線段PQ的中點M的軌跡方程．
2．4.1　圓的標準方程
1. A　因為圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，所以圓C的圓心為(1，1)，半徑為r＝，設點(1，1)關于直線l：y＝x－1對稱的點為(x0，y0)，所以解得所以所求圓的圓心為(2，0)，半徑為r＝，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝2.
2. C　由題意，得圓E：(x－2)2＋(y－3)2＝25的圓心E(2，3)，所以OE＝＝.
3. B　由題意，得·＝(0，－4)·(2，0)＝0，則△ABC是直角三角形，且BA⊥BC，所以圓的半徑為AC＝＝，圓心為(－3，0)，所以△ABC外接圓的方程為(x＋3)2＋y2＝5.
4. A　由解得x＝a，y＝3a，即P(a，3a).因為點P在圓(x－1)2＋(y－1)2＝4的內部，所以(a－1)2＋(3a－1)2<4，解得－5. A　如圖，點A關于x軸的對稱點為M(0，－t)，由對稱性，得點M，B，圓心C(4，3)三點共線，則kBM＝kBC，即＝，解得t＝1.
6. B　因為點C的坐標為(1，1)，動點P滿足PC＝2，故點P的軌跡為以點C為圓心，r＝2為半徑的圓，且圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝8，所以圓心C(1，1)與原點O的距離為CO＝＝，則OP的最大值為CO＋r＝＋2＝3.
7. B　因為Q為AB的中點，所以OQ⊥AB，設Q(x，y)，因為MQ⊥OQ，所以點Q的軌跡是以O′(0，1)為圓心，1為半徑的圓， 故NQ的最小值為O′N－1＝－1＝－1＝.
8. B　當x>0，y>0時，曲線為＋＝；當x>0>y時，曲線為＋＝；當x<0，y<0時，曲線為＋＝；當x<09. BC　設圓心C(a，b)，由題意可知CA＝CB，即＝，解得a＝1.因為△ABC為直角三角形，則∠ACB為直角，所以AC2＋BC2＝AB2，即a2＋b2＋(a－2)2＋b2＝4，解得b＝±1，則圓C的半徑為CA＝＝，圓心為C(1，±1)，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.故選BC.
10. BC　設圓心為(a，b)，由題意，得|a|＝|b|，且(a－3)2＋b2＝a2＋(b－1)2，解得a＝b＝2或a＝1，b＝－1，則r2＝(a－3)2＋b2＝5，所以圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5或(x－1)2＋(y＋1)2＝5.故選BC.
11. (x＋1)2＋(y＋2)2＝10　因為圓經過點A(2，－3)和B(－2，－5)，則kAB＝，AB的中點為(0，－4)，所以線段AB的垂直平分線的方程是y＝－2x－4.聯立解得所以圓心的坐標為C(－1，－2)，半徑r＝CA＝＝，所以此圓的標準方程是(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
12. 49　由題意，設p(x，y)，A(4，－3).易知p(x，y)為圓x2＋y2＝4上的點，且圓x2＋y2＝4的圓心為O(0，0)，半徑r＝2，則(x－4)2＋(y＋3)2表示圓上的點p(x，y)與點A(4，－3)距離的平方．又PAmax＝AO＋r＝＋2＝7，所以PA＝72＝49.故(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是49.
13. (x＋1)2＋(y＋1)2＝5　將動直線(a＋2b)x－(a＋b)y－3a－4b＝0整理為a(x－y－3)＋b(2x－y－4)＝0，聯立解得所以動直線過定點M(1，－2).又·＝0，所以點Q在以PM為直徑的圓上運動．設Q(x，y)，則＝(－3－x，－y)，＝(1－x，－2－y)，所以·＝(－3－x)(1－x)＋y(2＋y)＝x2＋y2＋2x＋2y－3＝0，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝5.
14. (1) 由題意可知r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
所以圓的標準方程為(x－4)2＋y2＝8.
(2) 設圓心為C(0，b)，
則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
解得b＝0或b＝－8，
所以圓心為(0，0)或(0，－8).
又r＝5，所以圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)設圓心為M(a，0)，
易得MC＝MD，
所以(a＋1)2＋(0－2)2＝(a－1)2＋(0－2)2，
解得a＝2，所以r＝MC＝，
所以圓的標準方程為(x－2)2＋y2＝13.
15. (1) 由題意，設線段AC的中點為D.
因為A(－1，3)，C(－2，2)，
所以D，kAC＝1，
則線段AC的垂直平分線的斜率為－1，
所以其直線方程為y－＝－，即x＋y－1＝0.
(2) 由(1)，得線段AC的垂直平分線的方程為x＋y－1＝0，同理可得線段AB的垂直平分線的方程為y＋1＝(x－2)，即3x－4y－10＝0，
聯立
解得x＝2，y＝－1，
所以圓心為M(2，－1)，圓M的半徑為r＝MA＝＝5，
所以圓M的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝25.
16. (1) 設D為線段AB的中點，直線m為線段AB的垂直平分線，
則D.
又kAB＝－3，所以km＝，
所以直線m的方程為x－3y－3＝0.
聯立解得
所以圓心C(－3，－2)，半徑r＝CA＝＝5，
所以圓C的方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2) 設點M(x，y)，Q(x0，y0).
因為點P的坐標為(5，0)，
所以即
又點Q(x0，y0)在圓C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上運動，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
所以線段PQ的中點M的軌跡方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝.

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