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2．3.4　兩條平行直線間的距離
一、 單項(xiàng)選擇題
1若兩平行直線x＋2y＋m＝0(m>0)與2x－ny－6＝0之間的距離是，則m＋n的值為(　　)
A. －12 B. 2 C. 0 D. －2
2 已知直線l1：3x－4y＋7＝0與直線l2：6x－(m＋1)y＋1－m＝0平行，則l1與l2之間的距離為(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3 已知直線l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，則下列說法中錯誤的是(　　)
A. 直線l2過定點(diǎn)(－3，－1)
B. 當(dāng)m＝1時，l1∥l2
C. 當(dāng)m＝2時，l1∥l2
D. 當(dāng)l1∥l2時，兩直線l1，l2之間的距離為1
4 點(diǎn)P(1，2)在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(diǎn)(0，1)對稱，則一定在直線l1上的點(diǎn)為(　　)
A. B.
C. (－1，0) D. (1，0)
5 直線y＝x＋1關(guān)于直線y＝2x對稱的直線方程為(　　)
A. 3x－y－1＝0 B. 4x－y－2＝0
C. 5x－y－3＝0 D. 7x－y－5＝0
6 M，N分別為直線3x－4y－12＝0與6x－8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則MN的最小值為(　　)
A. B. C. D.
7 若動點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為(　　)
A. 3 B. 2 C. D. 4
8已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，則(a－c)2＋(b－d)2的最小值為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多項(xiàng)選擇題
9下列四個命題中，真命題的是(　　)
A. 過點(diǎn)(－10，10)且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線方程為y＝－x＋
B. 直線x cos θ＋y＋2＝0(θ∈R)的傾斜角的取值范圍是∪
C. 直線x＋y－1＝0與直線2x＋2y＋1＝0之間的距離是
D. 直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－3(m∈R)恒過定點(diǎn)(5，－2)
10 已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程可能為(　　)
A. 2x＋3y－8＝0
B. 4x＋6y＋5＝0
C. 2x＋3y－5＝0
D. 12x＋18y－13＝0
三、填空題
11 直線l：2x－3y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對稱的直線l′的方程為________.
12 與直線l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距離為2的直線的方程為________.
13 直線l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y－1＝0，當(dāng)l1∥l2時，直線l1與l2之間的距離為________.
四、解答題
14 已知直線l：y＝3x＋7，試求：
(1) 點(diǎn)P(2，5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2) 直線y＝x＋3關(guān)于直線l對稱的直線方程；
(3) 直線l關(guān)于點(diǎn)A(4，2)對稱的直線方程．
15已知直線l1：2x－(a－1)y－2＝0，l2：(a＋2)x＋(2a＋1)y＋3＝0(a∈R).
(1) 若l1⊥l2，求實(shí)數(shù)a的值；
(2) 若l1∥l2，求l1，l2之間的距離．
16 如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且對角線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AB所在直線的平行線l.若AB和CD所在直線的方程分別是3x＋4y－6＝0與3x＋4y＋9＝0，求直線l與CD所在直線間的距離．
2．3.4　兩條平行直線間的距離
1. D　因?yàn)橹本€x＋2y＋m＝0(m>0)與2x－ny－6＝0直線平行，所以2＝，即n＝－4.又因?yàn)橹本€x＋2y－3＝0與直線x＋2y＋m＝0(m>0)之間的距離為，所以＝，即|m＋3|＝5，解得m＝2或m＝－8(舍去)，故m＋n＝2＋(－4)＝－2.
2. A　因?yàn)橹本€l1：3x－4y＋7＝0與直線l2：6x－(m＋1)y＋1－m＝0平行，所以＝≠，解得m＝7，即直線l2：3x－4y－3＝0，所以直線l1與l2之間的距離為＝2.
3. B　對于A，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)可化為m(x－y＋2)＋2x－y＋5＝0，令得故直線l2過定點(diǎn)(－3，－1)，故A正確；對于B，當(dāng)m＝1時，l1：4x－3y＋4＝0，l2：3x－2y＋7＝0，所以kl1＝，kl2＝，kl1≠kl2，故兩直線不平行，故B錯誤；對于C，當(dāng)m＝2時，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，所以＝≠，故兩直線平行，故C正確；對于D，由C可知，當(dāng)l1∥l2時，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，則兩直線距離為＝1，故D正確．
4. C　由題意，設(shè)點(diǎn)P(1，2)關(guān)于點(diǎn)(0，1)對稱的點(diǎn)為(x，y)，若該點(diǎn)必在l1上，則解得即點(diǎn)(－1，0)一定在直線l1上．
5. D　由解得則直線y＝x＋1與直線y＝2x交于點(diǎn)A(1，2).在直線y＝x＋1上取點(diǎn)B(－4，－3)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線y＝2x的對稱點(diǎn)B′(a，b).由題意，得解得即點(diǎn)B′(0，－5)，直線AB′的方程為y＝x－5，即7x－y－5＝0，所以直線y＝x＋1關(guān)于直線y＝2x對稱的直線方程為7x－y－5＝0.
6. A　由＝≠，得兩條直線相互平行，所以MN的最小值為平行線之間的距離．又6x－8y＋5＝0可化為3x－4y＋＝0，所以d＝＝.
7. A　由題意，知點(diǎn)M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為x＋y＋c＝0，則＝，即c＝－6，故點(diǎn)M在直線x＋y－6＝0上，所以點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值就是原點(diǎn)到直線x＋y－6＝0的距離，即＝3.
8. D　由題意，得(a，b)是直線3x－4y＋3＝0上的點(diǎn)，(c，d)是直線3x－4y－7＝0上的點(diǎn)，則兩直線平行，(a－c)2＋(b－d)2的最小值是平行直線之間的距離的平方，所以可得最小值為＝4.
9. BD　對于A，當(dāng)直線過原點(diǎn)時，方程為y＝－x，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)方程為＋＝1，則＋＝1，解得b＝，所以直線方程為y＝－x＋.綜上，所求直線方程為y＝－x或y＝－x＋，故A錯誤；對于B，直線x cos θ＋y＋2＝0(θ∈R)的斜率為k＝－cos θ∈，所以傾斜角的取值范圍是∪，故B正確；對于C，直線x＋y－1＝0可化為2x＋2y－2＝0，故直線x＋y－1＝0與直線2x＋2y＋1＝0之間的距離為＝，故C錯誤；對于D，由(m－1)x＋(2m－1)y＝m－3，得(x＋2y－1)m－x－y＋3＝0，所以解得所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，－2)，故D正確．故選BD.
10. BD　直線l1的方程可化為4x＋6y－2＝0.設(shè)直線l到直線l1的距離為d1，直線l到直線l2的距離為d2.設(shè)直線l的方程為4x＋6y＋c＝0(c≠－2且 c≠－9)，則d1＝，d2＝.由題意，得＝，即d2＝2d1，所以|c＋9|＝2|c＋2|，化簡得c＋9＝2c＋4或c＋9＝－2c－4，解得c＝5或 c＝－，所以直線l的方程為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故選BD.
11. 2x－3y－9＝0　設(shè)P(x，y)為直線l′上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y).因?yàn)辄c(diǎn)P′在直線l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直線l′的方程為2x－3y－9＝0.
12. 5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0　設(shè)與l平行的直線方程為5x－12y＋b＝0，由兩平行直線間的距離公式，得＝2，解得b＝32或b＝－20，故所求直線方程為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
13. 　因?yàn)橹本€l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y－1＝0，且l1∥l2，所以a(a－2)＝3，解得a＝－1或a＝3，當(dāng)a＝－1時，直線l1：－x＋3y＋1＝0，l2：x－3y－1＝0，兩直線重合，不滿足要求；當(dāng)a＝3時，直線l1：x＋y＋＝0，l2：x＋y－1＝0，兩直線平行，滿足要求，所以當(dāng)l1∥l2時，直線l1與l2之間的距離為＝.
14. (1) 設(shè)點(diǎn)P(2，5)關(guān)于直線l：y＝3x＋7 的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b).
由題意，得解得
故點(diǎn)P(2，5)關(guān)于直線l：y＝3x＋7的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(2) 由得
則直線y＝x＋3與直線l：y＝3x＋7的交點(diǎn)為E(－2，1).
在直線y＝x＋3上取一點(diǎn)M(0，3)，
設(shè)點(diǎn)M(0，3)關(guān)于直線l：y＝3x＋7的對稱點(diǎn)為N(m，n)，
則
解得即點(diǎn)N.
由題意，得E，N兩點(diǎn)是所求直線上的兩個點(diǎn)，
則直線斜率為－7，所求直線方程為y－1＝－7(x＋2)，
即7x＋y＋13＝0.
(3) 在直線l：y＝3x＋7上任意取出兩個點(diǎn)C(0，7)，D(－1，4)，
易知這兩個點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A(4，2)的對稱點(diǎn)分別為Q(8，－3)，H(9，0).
由題意，得Q(8，－3)，H(9，0)是所求直線上的兩個點(diǎn)，
則直線斜率為3，所求直線方程為y＝3(x－9)，
即3x－y－27＝0.
15. (1) 由l1⊥l2，得2(a＋2)－(a－1)(2a＋1)＝0，
即2a2－3a－5＝0，
所以(2a－5)(a＋1)＝0，
解得a＝－1或.
(2) 由l1∥l2，得＝，即a2＋5a＝0，
解得a＝0或 a ＝ －5，
當(dāng)a＝0時，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，此時滿足平行，且l1，l2之間的距離為＝；
當(dāng)a＝－5時，l1：x＋3y－1＝0，l2：x＋3y－1＝0，此時兩線重合，舍去．
綜上，當(dāng)l1∥l2時，l1，l2之間的距離為.
16. 在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且對角線交于點(diǎn)E，
則△ABE∽△CDE，相似比為1∶2，
則AE∶EC＝1∶2，
故點(diǎn)E到CD所在直線的距離為AB和CD所在直線距離的.
又AB和CD所在直線的距離為＝3，
所以直線l與CD所在直線間的距離為2.

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