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2．3.3　點到直線的距離公式
一、 單項選擇題
1 已知兩點A(3，2)和B(－1，4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則實數(shù)m值為(　　)
A. 0或－ B. 或－6
C. －或 D. 0或
2 已知點A(6，0)，點P在直線y＝－x上，且AP＝3，則點P的個數(shù)是(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3 點P(－1，3)關(guān)于直線x－y＝0的對稱點為Q，則點Q到直線3x＋y－2＝0的距離為(　　)
A. B. 3
C. D.
4 已知實數(shù)x，y滿足3x＋4y＝5，則x2＋y2的最小值為(　　)
A. B. C. D. 1
5 已知△ABC的三個頂點分別是A(4，5)，B(3，0)，C(1，2)，D是BC的中點，則△ABD的面積為(　　)
A. 3 B. 3
C. 4 D. 4
6 已知直線l：x＋my－2m－1＝0，則點P(2，－1)到直線l距離的最大值為(　　)
A. B. C. 5 D. 10
7 點P在直線l：x－y－1＝0上運動，點A(2，3)，B(2，0)，則PA－PB的最大值是(　　)
A. B.
C. 3 D. 4
8已知直線l1：x＋y＋C＝0與直線l2：Ax＋By＋C＝0交于點(1，1)，則原點到直線l2距離的最大值為(　　)
A. 2 B.
C. D. 1
二、 多項選擇題
9 一光線過點(2，4)，經(jīng)傾斜角為135°，且過(0，1)的直線l反射后過點(5，0)，則反射后的光線還經(jīng)過(　　)
A. B.
C. D.
10 下列四個命題中，正確的是(　　)
A. 直線2x－y＋1＝0在x軸上的截距是1
B. 直線x＋ky＝0和2x＋3y＋8＝0的交點為P，且點P在直線x－y－1＝0上，則實數(shù)k的值是－
C. 設(shè)M(x，y)是直線x＋y－2＝0上的動點，O為原點，則OM的最小值是
D. 若直線l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1∥l2，則實數(shù)a的值為－3或2
三、填空題
11 將一張坐標紙對折，若點(0，m)與點(m－2，2)(m≠2)重合，則與點(－4，1)重合的點的坐標為________．
12光線從點A(1，2)射向x軸上一點B，又從點B反射到直線x－y＋3＝0上一點C，最后從點C反射回到點A，則BC所在直線的方程為________.
13已知直線l：x＋2y＋3＝0上有一個動點A，若點B滿足＝(1，－3)，則點B到直線l的距離為________．
四、解答題
14已知直線l的斜率為－，且這條直線經(jīng)過點A(，2).
(1) 求直線l的一般式方程；
(2) 若直線kx－y＋1－k＝0恒過定點B，求點B到直線l的距離．
15 已知△ABC的三個頂點是A(2，3)，B(1，2)，C(4，－4).
(1) 求邊BC上的中線所在直線l1的方程；
(2) 求△ABC的面積；
(3) 若直線l2過點C，且點A，B到直線l2的距離相等，求直線l2的方程．
16 已知在△ABC中，邊AB上的高所在的直線方程為x＋y＝0，邊AC上的高所在的直線方程為2x－3y＋1＝0，點A的坐標為(1，2).
(1) 求垂心H的坐標；
(2) 若M(－3，4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為N，求點N到直線BC的距離．
2．3.3　點到直線的距離公式
1. B　因為兩點A(3，2)和B(－1，4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，所以＝，解得m＝或m＝－6.
2. B　因為點A(6，0)到直線y＝－x的距離為＝3＝AP，所以點P的個數(shù)是1.
3. C　設(shè)點P(－1，3)關(guān)于直線x－y＝0的對稱點為Q(a，b).由對稱關(guān)系，得解得所以點Q(3，－1)，則點Q(3，－1)到直線3x＋y－2＝0的距離為d＝＝.
4. D　因為x2＋y2為直線3x＋4y＝5上的點(x，y)到原點距離的平方，所以x2＋y2的最小值為原點到直線3x＋4y＝5的距離的平方．又原點到直線3x＋4y＝5的距離為d＝＝＝1，所以x2＋y2的最小值為1.
5. A　由題意可知BC的中點D(2，1)，則邊BC上的中線AD所在直線的方程為＝，即2x－y－3＝0，AD＝2.又點B(3，0)到直線AD的距離為d＝＝，故S△ABD＝AD×d＝3.
6. B　因為直線l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m(y－2)＝0，由解得x＝1，y＝2，所以直線過定點A(1，2)，所以當(dāng)直線l垂直于直線AP時，距離最大，此時最大值為AP＝＝.
7. A　設(shè)點B關(guān)于直線l：x－y－1＝0的對稱點為C(m，n)，則解得即點C(1，1)，故AC＝＝，所以PA－PB＝PA－PC≤AC＝，當(dāng)且僅當(dāng)P，A，C三點共線時，等號成立，此時PA－PB的最大值為.
8. B　因為兩直線交于點(1，1)，所以1＋1＋C＝0，即C＝－2，且A＋B＋C＝0，則A＋B＝2.由原點到直線l2的距離為d＝＝＝.又因為A2－2A＋2＝(A－1)2＋1≥1, 所以d≤，當(dāng)且僅當(dāng)A＝1時，d取得最大值，此時B＝1，即兩直線重合時，原點到直線的距離最大．
9. BC　因為傾斜角為135°，且過點(0，1)的直線l的方程為y－1＝tan 135°(x－0)，所以y＝－x＋1.設(shè)點A(2，4)關(guān)于直線l的對稱點A′(m，n)，則有解得即點A′(－3，－1)，則反射后的光線所在的直線方程l′為＝，即l′：y＝(x－5).對于A，點在直線l的左側(cè)，反射光線(射線)不經(jīng)過該點，故A錯誤；對于B，當(dāng)x＝2時，y＝－，故B正確；對于C，當(dāng)x＝3時，y＝－，故C正確；對于D，當(dāng)x＝4時，y＝－，故D錯誤．故選BC.
10. BC　對于A，直線2x－y＋1＝0在x軸上的截距是－，故A錯誤；對于B，由解得即點P(－1，－2)，則－1－2k＝0，解得k＝－，故B正確；對于C，由題意，得OMmin＝＝，故C正確；對于D，當(dāng)a＝2時，直線l1：2x＋3y＋1＝0，l2：2x＋3y＋1＝0重合，故D錯誤．故選BC.
11. (－1，－2)　由點A(0，m)與點B(m－2，2)，可知線段AB的中點為M，且kAB＝＝－1，則線段AB的中垂線的斜率為k＝1，則線段AB的中垂線的方程為y－＝x－，即x－y＋2＝0.設(shè)點(－4，1)關(guān)于直線x－y＋2＝0的對稱點為(a，b)，則解得故所求點的坐標為(－1，－2).
12. 3x＋y－1＝0　如圖，點A關(guān)于x軸的對稱點為A′(1，－2)，設(shè)點A關(guān)于x－y＋3＝0的對稱點為A″(x0，y0)，則解得即點A″(－1，4).由對稱性可知點A′，A″在直線BC上，所以kBC＝＝－3，直線BC的方程為y＋2＝－3(x－1)，即3x＋y－1＝0.
13. 　因為直線l：x＋2y＋3＝0的一個方向向量 a＝(2，－1)，所以在向量a上的投影向量的長度為＝＝，所以點B到直線l的距離為＝.
14. (1) 因為直線l的斜率為－，且這條直線經(jīng)過點A，
所以直線l的方程為y－2＝－，
化為一般式方程即為x＋y－3＝0.
(2) 直線kx－y＋1－k＝0的方程可化為k(x－)＋1－y＝0，
由解得即點B(，1)，
所以點B到直線l的距離為d＝＝.
15. (1) 因為邊BC的中點坐標為，
所以直線l1的方程為＝，
化簡，得8x＋y－19＝0.
(2) 直線BC的方程為y－2＝·(x－1)，即2x＋y－4＝0，
點A到直線BC的距離為d＝＝.
又BC＝＝3，
所以△ABC的面積為S＝×3×＝.
(3) 因為點A，B到直線l2的距離相等，
所以直線l2過線段AB的中點或與直線AB平行，
若直線l2過線段AB的中點，
因為線段AB的中點為，
所以直線l2的方程為y＋4＝·(x－4)，
化簡，得13x＋5y－32＝0；
若直線l2與直線AB平行，
則直線l2的方程為y＋4＝·(x－4)，
化簡，得x－y－8＝0.
綜上，直線l2的方程為13x＋5y－32＝0或x－y－8＝0.
16. (1) 如圖，作出邊AC上的高BE，邊AB上的高CD，
即直線CD的方程為x＋y＝0，直線BE的方程為2x－3y＋1＝0，
聯(lián)立解得
故垂心H的坐標為.
(2) 連接AH并延長交BC于點F，
由(1) 可知，kAH＝＝，
易知AH⊥BC，所以kBC＝－.
設(shè)直線AC的方程為3x＋2y＋m＝0，
將點(1，2)代入可得m＝－7，即直線AC的方程為3x＋2y－7＝0.
聯(lián)立解得即點C(7，－7)，
所以直線BC的方程為y＋7＝－(x－7)，即2x＋3y＋7＝0.
設(shè)點M(－3，4)的對稱點N的坐標為(a，b)，
則
解得即點N(1，0)，
所以點N到直線BC的距離為d＝＝.

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