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2．3.2　兩點間的距離公式
一、 單項選擇題
1 已知點A(－1，2)，B(0，1)，C(1，4)，則△ABC的形狀為(　　)
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等邊三角形
D. 等腰直角三角形
2 已知點A在x軸上，點B在y軸上，線段AB的中點M的坐標是(3，4)，則AB的值為(　　)
A. 10 B. 5
C. 8 D. 6
3 已知點P的縱坐標為1，則點P分別關于點A(－1，0)，B(0，5)的對稱點間的距離為(　　)
A. B. 2
C. 4 D. 4
4 點(3，2)到直線λx＋y－2λ＋1＝0的距離的最大值為(　　)
A. 10 B.
C. 4 D.
5 已知點A(4，1)，B(0，4)，直線l：3x－y－1＝0，點P在直線l上，則|PB－PA|的最大值為(　　)
A. B. 2
C. D. 2
6 蜂巢的精密結構是通過優勝劣汰的進化自然形成的．若不計蜂巢壁的厚度，蜂巢的橫截面可以看成正六邊形網格圖，如圖所示. 設P為圖中7個正六邊形(邊長為4)的某一個頂點，A，B為兩個固定頂點，則·的最大值為(　　)
A. 44 B. 48 C. 72 D. 76
7 已知P，Q是直線l：x－y＋1＝0上兩動點，且PQ＝，點A(－4，6)，B(0，6)，則AP＋PQ＋QB的最小值為(　　)
A. 10＋ B. 10－
C. 10 D. 12
8 數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微．”事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決. 例如，與相關的代數問題，可以轉化為點A(x，y)與點B(a，b)之間的距離的幾何問題. 結合上述觀點，函數f(x)＝＋的最小值是(　　)
A. 2 B. 4
C. 2 D. 2
二、 多項選擇題
9 一條光線從點A(－2，3)射出，射向點B(1，0)，經x軸反射后過點C(a，1)，則下列結論中正確的是(　　)
A. 直線AB的斜率是－1
B. AB⊥BC
C. a＝3
D. AB＋BC＝4
10已知點A(－2，1)，B(a，1－a)，過點A，B的直線為l，則下列說法中正確的有(　　)
A. 若a＝1，則直線l的方程為x＋3y－1＝0
B. 若a＝－1，則直線l的傾斜角為
C. 對于任意實數a，都有AB≥
D. 存在兩個不同的實數a，能使直線l在x軸，y軸上的截距互為相反數
三、填空題
11 已知P是直線y＝x＋2上一點，點P與點(4，7)間的距離為5，則點P的坐標為________.
12 唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為A(－3，0)，若將軍從山腳下的點B(－1，1)處出發，河岸線所在直線方程為x＋y＝1，則“將軍飲馬”的最短總路程為________.
13 直線l1：x－my－2＝0與直線l2：mx＋y＋2＝0交于點Q，m是實數，O為坐標原點，則OQ的最大值是________.
四、解答題
14已知△ABC的三個頂點是A(－1，2)，B(2，－2)，C(3，5).
(1) 求邊AC上的高所在直線的方程；
(2) 求∠BAC的平分線所在直線的方程．
15 已知直線l1的方程為(a＋4)x－ay＋2＝0，直線l2經過點A和B.
(1) 若l1⊥l2，求實數a的值；
(2) 若當a變化時，直線l1總過定點C，求AC的長．
16 如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，P是邊AB上異于點A，B的一點，光線從點P出發，經BC，CA反射后又回到點P，光線QR經過△ABC的重心．
(1) 建立恰當的平面直角坐標系，求△ABC的重心G的坐標；
(2) 求點P的坐標；
(3) 求△PQR的周長．
2．3.2　兩點間的距離公式
1. B　因為AB＝＝，AC＝＝2，BC＝
＝，所以AB2＋AC2＝BC2，且AB≠AC，故△ABC為直角三角形．
2. A　設點A(a，0)，B(0，b)，則a＝6，b＝8，即點A(6，0)，B(0，8)，所以AB＝＝10.
3. B　設點P(m，1)，則點P關于點A(－1，0)，B(0，5)的對稱點分別為(－2－m，－1)，(－m，9)，
故所求距離為＝2.
4. D　由λx＋y－2λ＋1＝0，得λ(x－2)＋y＋1＝0，由得故直線λx＋y－2λ＋1＝0過定點P(2，－1).記點(3，2)為點Q，如圖，當PQ與直線λx＋y－2λ＋1＝0垂直時，點(3，2)到直線λx＋y－2λ＋1＝0的距離有最大值，最大值為PQ＝＝.
5. C　如圖，作出點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′延長交直線l于點P，此時點P使|PB－PA|取得最大值．不妨設點B′(m，n)，則解得即點B′(3，3)，故|PB－PA|max＝B′A＝＝.
6. B　設點P(x，y)，建立如圖所示的平面直角坐標系，因為正六邊形的邊長為4，所以點A(－8，0)，B(8，0)，所以＝(－8－x，－y)，＝(8－x，－y)，所以·＝－(8＋x)(8－x)＋y2＝x2＋y2－64.設點P(x，y)到原點的距離為d，則·的最大值為d－64，由圖可知，離原點距離最遠的正六邊形頂點為最外圍的頂點，則可取點P(8，4)，所以d－64＝OP2－64＝64＋48－64＝48，即·的最大值為48.
7. A　不妨設點P(x，x＋1)在點Q的左邊，因為直線l：x－y＋1＝0的傾斜角為45°，且PQ＝，所以點Q的坐標為(x＋1，x＋2)，所以AP＋PQ＋QB＝＋＋，所以可記d＝＋，則d表示點M(x，x)到D(－4，5)，C(－1，4)的距離之和，即點D(－4，5)，C(－1，4)到直線y＝x的距離之和．由題意，即求距離之和的最小值．如圖，作出點C(－1，4)關于直線y＝x的對稱點C′，則C′(4，－1)，連接DC′，交直線y＝x于點N，則CN＋DN即為d的最小值，且CN＋DN＝DN＋C′N＝DC′＝＝10，故AP＋PQ＋QB的最小值為10＋.
8. C　由題意，得f(x)＝＋＝＋表示動點P(x，1)到定點A(－2，0)和B(2，0)的距離之和．因為點P(x，1)在直線y＝1上運動，作點B(2，0)關于直線y＝1的對稱點B1，則B1(2，2)，故PA＋PB＝PA＋PB1≥AB1＝＝2，當且僅當A，P，B1三點共線時，等號成立，即f(x)的最小值為2.
9. ABD　對于A，因為點A(－2，3)，B(1，0)，所以由斜率公式，得kAB＝＝－1，故A正確；對于B，如圖，點A(－2，3)關于x軸的對稱點A1的坐標為(－2，－3)，經x軸反射后直線BC的斜率為kBC＝kA1B＝＝1，且kBC·kAB＝－1，所以AB⊥BC，故B正確；對于C，直線BC即直 線A1B的方程為y－0＝1×(x－1)，即y＝x－1，將y＝ 1代入，得x＝2，所以點C(2，1)，即a＝2，故C錯誤； 對于D，由兩點間的距離公式，得AB＋ BC ＝＋＝ 4，故D正確．故選ABD.
10. ABD　對于A，當a＝1時，點B(1，0).因為點A(－2，1)，所以kAB＝＝－，此時直線l的方程為y－1＝－(x＋2)，即x＋3y－1＝0，故A正確；對于B，若a＝－1，則點B(－1，2).又因為點A(－2，1)，kAB＝＝1，設直線AB的傾斜角為α，則α∈[0，π)，且tan α＝kAB＝1，則α＝，即直線l的傾斜角為，故B正確；對于C，AB＝＝＝≥，當且僅當a＝－1時，等號成立，故C錯誤；對于D，若直線l過原點，則直線l的斜率為kl＝＝－，此時直線l的方程為y＝－x，即x＋2y＝0.因為點B在直線l上，所以a＋2(1－a)＝2－a＝0，解得a＝2.若直線l不經過原點，設直線l的方程為x－y＝m，因為點A在直線l上，所以m＝－2－1＝－3，此時直線l的方程為x－y＋3＝0，因為點B在直線l上，所以a－(1－a)＋3＝2a＋2＝0，解得a＝－1.綜上，存在兩個不同的實數a，能使直線l在x軸，y軸上的截距互為相反數，故D正確．故選ABD.
11. (1，3)或(8，10)　因為點P是直線y＝x＋2上一點，可設點P(m，m＋2)，所以＝5，解得m＝1或m＝8，所以點P的坐標為(1，3)或(8，10).
12. 　如圖，設點B(－1，1)關于直線x＋y＝1對稱的點為C(x，y)，則解得所以點C(0，2)，則PA＋PB＝PA＋PC，故“將軍飲馬”的最短總路程為AC＝＝.
13. 2　因為直線l1：x－my－2＝0與直線l2：mx＋y＋2＝0的交點坐標為Q(，)，所以OQ＝＝＝.若OQ最大，則最小，則1＋m2最小，且1＋m2≥1，當且僅當m＝0時，等號成立，此時OQmax＝2，所以OQ的最大值是2.
14. (1) 設邊AC上的高所在直線的斜率為k，直線AC的斜率為kAC＝＝，
所以k·kAC＝－1，所以k＝－，
故所求直線方程為y＋2＝－(x－2)，即4x＋3y－2＝0.
(2) 由題意，得AB＝＝5，AC＝＝5,
所以AB＝AC＝5，
則△ABC為等腰三角形，邊BC的中點為D，如圖所示，
故kAD＝＝－.
由等腰三角形的性質知，AD為∠BAC的平分線，
故所求直線的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋7y－13＝0.
15. (1) 直線l2經過點A和B，
所以a≠0，
所以直線l2的斜率為k＝＝－.
因為直線l1的斜率為，且l1⊥l2，
所以×＝－1，
解得a＝－2或a＝4.
(2) 直線l1的方程為(a＋4)x－ay＋2＝0可化為a(x－y)＋4x＋2＝0，
由解得x＝y＝－，
所以直線l1總過定點C.
由兩點間的距離公式，得
AC＝＝.
16. (1) 以A為坐標原點，以AB，AC為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則點A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，
故△ABC的重心G的坐標為(，)，即點G.
(2) 設點P(a，0)，點P關于直線BC，AC的對稱點分別設為P1，P2，則點P2(－a，0)，設點P1(x0，y0).
又因為直線BC的方程為x＋y－4＝0，
所以
解得即點P1(4，4－a).
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四點共線，且光線QR經過△ABC的重心，
故點＝，
解得a＝或a＝0(舍去)，
故P.
(3) 由(2)，得點P1，P2，
由題意可知PQ＝QP1，PR＝RP2，
故△PQR的周長為PQ＋PR＋RQ＝QP1＋RP2＋RQ＝P1P2＝＝.

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