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2.3.1　兩條直線的交點坐標
一、 單項選擇題
1 已知直線l1：ax＋4y－2＝0與直線l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，交點坐標為(1，c)，則a＋b＋c的值為(　　)
A. 20 B. －4 C. 0 D. 24
2 若直線x＋2y－6＝0與直線x－4y＋6a＝0的交點在第一象限，則實數a的取值范圍為(　　)
A. (－2，1) B. (－1，2)
C. (－∞，－1) D. (2，＋∞)
3已知直線l過直線l1：x－y＝0和l2：x＋y－2＝0的交點，且與3x＋4y－5＝0平行，則直線l的方程是(　　)
A. 3x＋4y＋7＝0 B. 3x＋4y－7＝0
C. 4x－3y＋1＝0 D. 4x－3y－1＝0
4 經過直線l1：y＝－2x－1和l2：y＝2x＋3的交點，且傾斜角是直線l2的傾斜角的兩倍的直線方程為(　　)
A. 2x＋y＋1＝0 B. x－4y＋3＝0
C. 4x＋3y＋1＝0 D. 3x＋4y－1＝0
5 若P(2，3)既是A(a1，b1)，B(a2，b2)的中點，又是直線l1：a1x＋b1y－13＝0與直線l2：a2x＋b2y－m＝0的交點，則線段AB的垂直平分線的方程是(　　)
A. 3x－2y＝0 B. 3x－2y－12＝0
C. 2x－3y－13＝0 D. 2x－3y＋5＝0
6 (若三條直線l1：4x＋y＝3，l2：x＋y＝0，l3：x－my＝2不能圍成三角形，則實數m的取值最多有(　　)
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
7如圖，已知兩點A(22，0)，B(0，11)，從點P(2，0)射出的光線經直線AB上的點M反射后再射到直線OB上，最后經直線OB上的點N反射后又回到點P，則直線MN的方程為(　　)
A. 4x－3y－6＝0 B. 4x＋3y＋8＝0
C. 3x－4y＋6＝0 D. 4x－3y＋8＝0
8 直線l1：x＋(m＋1)y－2m－2＝0與直線l2：(m＋1)x－y－2m－2＝0相交于點P，對任意實數m，直線l1，l2分別恒過定點A，B，則PA＋PB的最大值為(　　)
A. 4 B. 8 C. 2 D. 4
二、 多項選擇題
9已知集合A＝{(x，y)|x＋ay＋2a＝0}，B＝{(x，y)|ax＋ay－1＝0}，則下列結論中正確的是(　　)
A. a∈R，A≠
B. 當a＝－1時，A∩B＝
C. 當A∩B＝ 時，a＝1
D. a∈R，使得A＝B
10 已知直線x－2y＋3＝0和直線x＋y－3＝0的交點為P，則過點P且與A(2，3)和B(4，－5)距離相等的直線方程為(　　)
A. 4x－y＋6＝0 B. 4x＋y－6＝0
C. 3x＋2y＋6＝0 D. 3x＋2y－7＝0
三、填空題
11 已知三條直線l1：x＋y＝1，l2：mx－y＝3與l3：x＋my＝2(m<0)不能圍成三角形，則實數m的值為________.
12 已知點A(4，2)，B(0，3)和直線l：mx－y－3m＋1＝0，若直線l與線段AB有公共點，則實數m的取值范圍是________.
13 經過兩條直線3x＋y－5＝0與x－2y＋3＝0的交點，且在y軸上的截距是x軸上的截距的3倍的直線方程為________.
四、解答題
14在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，已知直線l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0.
(1) 求直線l1與l2的交點坐標；
(2) 過點P(3，0)作直線l與直線l1，l2分別交于點A，B，且滿足＝，求直線l的方程．
15 已知直線l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0，a∈R.
(1) 證明直線l過定點A，并求出點A的坐標；
(2) 在(1)的條件下，若直線l′過點A，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的，求直線l′的方程；
(3) 若直線l不經過第四象限，求實數a的取值范圍．
16已知兩直線l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0.
(1) 求過兩直線的交點，且垂直于直線3x＋4y－5＝0的直線方程；
(2) 已知兩點A(－1，1)，B(0，2)，動點P在直線l1上運動，求PA＋PB的最小值．
2．3.1　兩條直線的交點坐標
1. B　因為兩直線垂直，所以2a－20＝0，解得a＝10，所以l1：10x＋4y－2＝0，即5x＋2y－1＝0，將交點(1，c)代入直線l1的方程中，得c＝－2.將交點(1，－2)代入直線l2：2x－5y＋b＝0的方程中，得b＝－12，所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4.
2. B　由得因為兩直線的交點在第一象限，所以解得－13. B　聯立直線l1，l2的方程解得x＝y＝1，故直線l1，l2的交點坐標為(1，1).因為直線l與直線3x＋4y－5＝0平行，設直線l的方程為3x＋4y＋m＝0，將點(1，1)代入直線l的方程，得3＋4＋m＝0，解得m＝－7，所以直線l的方程為3x＋4y－7＝0.
4. C　由解得即所求方程的直線過點(－1，1).令直線l2：y＝2x＋3的傾斜角為α，則tan α＝2，顯然α是銳角，則所求直線的斜率為k＝tan 2α＝＝＝－，所以所求的直線方程為y－1＝－(x＋1)，即4x＋3y＋1＝0.
5. A　由題意可知＝2，＝3，且兩式相加，得2(a1＋a2)＋3(b1＋b2)－13－m＝0，即2×4＋3×6－13－m＝0，解得m＝13.又P是直線l1和l2的交點，所以所以點A(a1，b1)，B(a2，b2)滿足直線2x＋3y－13＝0，即直線AB方程為2x＋3y－13＝0，kAB＝－，則與直線AB垂直的直線方程的斜率為k＝，所以中垂線的方程為y－3＝(x－2)，即3x－2y＝0.
6. B　聯立解得可知直線l1的斜率為－4，l2的斜率為－1，且直線l1，l2的交點為(1，－1).若三條直線不能圍成三角形，則直線l3與直線l1平行或與直線l2平行或過點(1，－1)，直線l3的斜率存在，且為，可得＝－4或＝－1或1＋m＝2，解得m＝－或m＝－1或m＝1，故實數m的取值最多有3個．
7. D　由題意，得AB所在的直線方程為＋＝1，化簡可得x＋2y－22＝0.設點P(2，0)關于直線AB：x＋2y－22＝0的對稱點A1(a，b)，則解得a＝10，b＝16，即點P關于直線AB的對稱點為A1(10，16)，點P關于y軸的對稱點為A2(－2，0). 直線MN即直線A1A2，則直線MN的方程為y＝(x＋2)，即4x－3y＋8＝0.
8. A　直線l1：x＋y－2＋m(y－2)＝0，當得即點A(0，2)，直線l2：x－y－2＋m(x－2)＝0，當得即點B(2，0)，且兩直線滿足1×(m＋1)＋(m＋1)×(－1)＝0，所以l1⊥l2，即PA⊥PB，PA2＋PB2＝AB2＝8，PA＋PB≤＝4，當且僅當PA＝PB＝2時，等號成立，所以PA＋PB的最大值為4.
9. AB　對于A，因為x＋ay＋2a＝0表示過定點(0，－2)，且斜率不為0的直線，可知A＝{(x，y)|x＋ay＋2a＝0}表示直線x＋ay＋2a＝0上所有的點，所以 a∈R，A≠ ，故A正確；對于B，當 a＝－1時，A＝{(x，y)|x－y－2＝0}，B＝{(x，y)| x＋y＋1＝0}，聯立方程解得所以A∩B＝，故B正確；對于C，當A∩B＝ 時，若B＝ ，則a＝0；若B≠ ，可知直線x＋ay＋2a＝0與直線ax＋ay－1＝0平行，且a≠0，可得＝≠，解得a＝1.綜上，a＝0或a＝1，故C錯誤；對于D，若A＝B，由C可知a≠0，且＝＝，無解，故D錯誤．故選AB.
10. BD　由題意，得聯立解得即點P(1，2)，直線AB的斜率為kAB＝＝－4，線段AB的中點坐標為(3，－1).若所求直線與直線AB平行時，則所求直線的方程為y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；若所求直線過AB的中點時，則所求直線的斜率為＝－，故所求直線方程為y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0.綜上，所求直線方程為4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.故選BD.
11. －1　當三條直線交于同一點時，聯立方程得即交點坐標為.將點代入l3：x＋my＝2(m<0)，得＋m×＝2，即m2－5m＋2＝0，解得m＝>0.又m<0，故舍去；當l1與l2平行時，m＝－1；當l2與l3平行時，m2＝－1，無解；當l1與l3平行時，m＝1.又m<0，故舍去．綜上，實數m的值為－1.
12. ∪[1，＋∞)　由mx－y－3m＋1＝0，得m(x－3)－y＋1＝0，所以直線l過點P(3，1)，則kPA＝＝1，kPB＝＝－.因為直線l與線段AB有公共點，且當直線l與y軸平行時，斜率不存在，所以斜率m的取值范圍是∪[1，＋∞).
13. 2x－y＝0或3x＋y－5＝0　聯立方程解得所以直線3x＋y－5＝0與x－2y＋3＝0的交點坐標為(1，2).因為所求直線的斜率存在且不為0，所以可設所求直線方程為y－2＝k(x－1)，k≠0，令x＝0，得y＝2－k，即所求直線在y軸上的截距為2－k，令y＝0，得x＝1－，即所求直線在x軸上的截距為1－.由題意可得2－k＝3，所以k2＋k－6＝0，所以k＝－3或k＝2，故所求直線方程為3x＋y－5＝0或2x－y＝0.
14. (1) 由
得x＝－，y＝－，
所以直線l1與l2的交點坐標為.
(2) 由＝可知P是線段AB的中點，設點B(x0，－3－x0)，
所以點B關于P(3，0)的對稱點A(6－x0，3＋x0)在直線l1上，
把點A(6－x0，3＋x0)代入直線l1的方程2x－y－2＝0，
得2(6－x0)－(3＋x0)－2＝0，解得x0＝，
所以點B，
所以kl＝＝8，
即直線l的方程為y＝8x－24，即8x－y－24＝0.
15. (1) 整理直線l的方程，得(2x－y＋3)a＋3x＋y＋7＝0，
所以直線l過直線2x－y＋3＝0與3x＋y＋7＝0的交點，
聯立方程
解得
所以直線l過定點A，點A的坐標為(－2，－1).
(2) 當截距為0時，直線l′的方程為y＝x，
即x－2y＝0；
當截距不為0時，設直線l′的方程為＋＝1，
則解得
則直線l′的方程為＋＝1，即x＋2y＋4＝0.
故直線l′的方程為x－2y＝0或x＋2y＋4＝0.
(3)當a＝1時，直線l的方程為x＝－2，符合題意；
當a＝－時，直線l的方程為y＝－1，不符合題意；
當a≠1，且a≠－時，y＝x＋，
所以即
解得a>1或a≤－.
綜上，當直線l不經過第四象限時，實數a的取值范圍是∪[1，＋∞).
16. (1) 聯立
解得x＝1，y＝2.
因為所求直線垂直于直線3x＋4y－5＝0，
所以所求直線的斜率為，
故所求直線方程為y＝(x－1)＋2，
即4x－3y＋2＝0.
(2) 如圖，設點B(0，2)關于直線l1對稱的點為C(x，y),
則
解得x＝，y＝，
則PA＋PB＝PA＋PC≥AC＝＝2，
故PA＋PB的最小值為2.

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