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2．2.3　直線的一般式方程
一、 單項選擇題
1 已知a是直線2x－y＋1＝0的一個方向向量，若a＝(m，1)，則實數m的值為(　　)
A. B. － C. 2 D. －2
2 直線l：2x－y＋1＝0與y軸的交點為A，把直線l繞著點A逆時針旋轉45°得到直線l′，則直線l′的方程為(　　)
A. 2x＋y－1＝0 B. 3x－y＋1＝0
C. 3x＋y－1＝0 D. x＋3y－3＝0
3 “m＝1”是“直線l1：x＋(m＋1)y＋1＝0與直線l2：(m＋1)x－my－1＝0垂直”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
4 已知平面直角坐標系內兩點A(1，2)，B(－2，3)，則過點A且與直線AB垂直的直線l的方程為(　　)
A. 3x－y－1＝0
B. 3x－y－2＝0
C. 3x＋y－5＝0
D. 3y－x－5＝0
5過定點A的直線ax＋y－2＝0與過定點B的直線x－ay＋4a－2＝0交于點P(點P與A，B不重合)，則△PAB面積的最大值為(　　)
A. B. 2 C. 2 D. 4
6 已知函數f(x)＝x＋＋3的圖象與直線y＝k(x－1)＋4有兩個交點(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＋y1＋y2的值為(　　)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
7 已知點A(2，－3)，B(－3，－2).若直線l：mx＋y－m－1＝0與線段AB相交，則實數m的取值范圍是(　　)
A. ∪[4，＋∞) B.
C. D.
8 數學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點為A(0，0)，B(0，2)，C(－6，0)，若直線l：ax＋(a－3)y－9＝0與△ABC的歐拉線平行，則實數a的值為(　　)
A. － B. －1 C. － D. 3
二、 多項選擇題
9 當A·C>0，B·C<0時，直線l：Ax＋By＋C＝0必經過(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
10 下列說法中，正確的有(　　)
A. 直線的傾斜角越大，斜率越大
B. 過點P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直線方程是＝
C. 經過點(1，1)且在x軸和y軸上截距相等的直線有2條
D. 直線－＝1在y軸上的截距是－3
三、填空題
11 已知直線l傾斜角的余弦值為－，且經過點(2，1)，則直線l的方程為________.
12 過直線(a＋1)x＋(a－1)y－4a＝0的定點P，且與直線5x＋6y＋11＝0垂直的直線方程為________.
13 已知△ABC的頂點為A(1，1)，高CD所在直線的方程為3x＋y－12＝0，角B的平分線BE所在直線的方程為x－2y＋4＝0，則點B的坐標為________；邊BC所在直線的方程為________.
四、解答題
14 根據下列條件分別寫出直線的一般式方程：
(1) 經過兩點A(5，7)，B(1，3)；
(2) 經過點(－4，3)，斜率為－3；
(3) 經過點(2，1)，平行于y軸；
(4) 斜率為2，在x軸上的截距為1.
15 已知平面內兩點A(6，－6)，B(2，2).
(1) 求過點P(1，3)且與直線AB垂直的直線l的方程；
(2) 若△ABC是以C為直角頂點的等腰直角三角形，求直線AC的方程．
16 已知直線l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1.
(1) 求證：直線l過定點；
(2) 若直線l不經過第二象限，求實數a的取值范圍；
(3) 若直線l與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求直線l的方程．
2．2.3　直線的一般式方程
1. A　因為直線2x－y＋1＝0的斜率為k＝2，所以直線的一個方向向量為(1，2)，所以若a＝(m，1)，則2m－1＝0，解得m＝.
2. C　設直線l：2x－y＋1＝0的傾斜角為θ，0°≤θ<180°，則tan θ＝2.由題意，得A(0，1)，直線l′的傾斜角為θ＋45°，則直線l′的斜率為tan (θ＋45°)＝＝＝－3，所以直線l′的方程為y－1＝－3(x－0)，即3x＋y－1＝0.
3. A　若直線l1：x＋(m＋1)y＋1＝0與直線l2：(m＋1)x－my－1＝0垂直，則1×(m＋1)＋(m＋1)×(－m)＝0，解得m＝±1，所以“m＝1”是“直線l1：x＋(m＋1)y＋1＝0與直線l2：(m＋1)x－my－1＝0垂直”的充分不必要條件．
4. A　由題意，知點A(1，2)，B(－2，3)，則直線AB的斜率為kAB＝＝－.因為直線l與直線AB垂直，所以直線l的斜率為kl＝3.又直線l經過點A(1，2)，所以直線l的方程為y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.
5. C　由題意可知動直線ax＋y－2＝0經過定點A(0，2)，動直線x－ay＋4a－2＝0即x－2＋(－y＋4)a＝0，經過定點B(2，4).因為過定點A的直線ax＋y－2＝0與過定點B的直線x－ay＋4a－2＝0始終垂直，P又是兩條直線的交點，所以PA⊥PB，所以PA2＋PB2＝AB2＝8，故PA·PB≤＝4，當且僅當PA＝PB＝2時，等號成立，所以△PAB面積的最大值為×2×2＝2.
6. C　由題意，得直線y＝k(x－1)＋4恒過點(1，4)，且無論k取何值，直線與函數都有兩個交點．因為函數f(x)＝x＋＋3＝x－1＋＋4的對稱中心為(1，4)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，所以x1＋x2＋y1＋y2＝10.
7. A　直線l：mx＋y－m－1＝0可化成m(x－1)＋y－1＝0，令解得所以直線l必過定點P(1，1)，所以 kPA＝＝－4，kPB＝＝.因為直線l：mx＋y－m－1＝0與線段AB相交，且直線的斜率必定存在，所以由圖象可知－m≥或－m≤－4，解得m≤－或m≥4，故實數m的取值范圍是∪[4，＋∞).
8. C　由題意，得△ABC重心的坐標為G(，)，即G，AB中垂線的方程為y＝1，AC中垂線的方程為x＝－3，所以外心的坐標為W(－3，1)，故歐拉線的方程為y＝(x＋3)＋1＝－x，整理，得x＋3y＝0.因為ax＋(a－ 3)y－9＝0與x＋3y＝0平行，所以3a＝a－3，解得a＝－.
9. ABC　令x＝0，得直線在y軸上的截距為－；令y＝0，得直線在x軸上的截距為－.因為A·C>0，B·C<0，所以－>0，－<0，所以該直線經過第一、二、三象限，不經過第四象限．故選ABC.
10. CD　對于A，當直線傾斜角為鈍角時，直線的斜率k<0，當直線傾斜角為銳角時，直線的斜率k>0，故A錯誤；對于B. 當x1≠x2，y1≠y2時，過點P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直線方程是＝，故B錯誤；對于C，當直線過原點時，由直線過點(1，1)，得直線的斜率為k＝1，故直線方程 為y＝x；當直線不過原點時，設直線方程為＋＝1，把點(1，1)代入直線方程，得＋＝1，解得a＝2，故直線方程為x＋y－2＝0.綜上，經過點(1，1)且在x軸和y軸上截距相等的直線有2條，故C正確；對于D，對直線－＝1，令x＝0，得y＝－3，所以直線－＝1在y軸上的截距是－3，故D正確．故選CD.
11. 2x＋y－5＝0　設直線的傾斜角為α，由題意可知cos α＝－，則sin α＝＝，所以k＝tan α＝＝－2.又直線過點(2，1)，所以直線方程為y－1＝－2(x－2)，即直線方程為2x＋y－5＝0.
12. 6x－5y－2＝0　由題意，得直線(a＋1)x＋(a－1)y－4a＝0，即a(x＋y－4)＋(x－y)＝0，所以即點P的坐標為(2，2).設與直線5x＋6y＋11＝0垂直的直線方程為6x－5y＋m＝0，則6×2－5×2＋m＝0，解得m＝－2，所以所求直線方程為6x－5y－2＝0.
13. (－8，－2)　9x－13y＋46＝0　因為△ABC的頂點為A(1，1)，高CD所在直線的方程為3x＋y－12＝0，角B的平分線BE所在直線的方程為x－2y＋4＝0，所以直線AB的斜率為k＝－＝－＝，所以直線AB的方程為y－1＝(x－1)，即x－3y＋2＝0，聯立解得所以點B的坐標為(－8，－2).因為kAB＝，kBE＝，角B的平分線BE所在直線方程為x－2y＋4＝0，所以＝，所以＝，解得kBC＝或kBC＝(舍去)，所以直線BC的方程為y＋2＝(x＋8)，即9x－13y＋46＝0.
14. (1) x－y＋2＝0
(2) 3x＋y＋9＝0
(3) x－2＝0
(4) 2x－y－2＝0
15. (1) 由題意，得kAB＝＝－2，
則直線l的斜率為，
所以過點P(1，3)且與直線AB垂直的直線l的方程為y－3＝(x－1)，
即x－2y＋5＝0.
(2) 由題意，得AB的中點坐標為(4，－2)，
由(1)可知線段AB垂線的斜率為，
所以線段AB垂直平分線的方程為y＋2＝(x－4)，即x－2y－8＝0.
因為△ABC是以C為直角頂點的等腰直角三角形，
所以點C在直線x－2y－8＝0上，
故設點C的坐標為(2a＋8，a)，
由CB⊥CA，得·＝－1，
解得a＝0或a＝－4，
所以點C的坐標為(8，0)或(0，－4).
綜上，直線AC的方程為3x－y－24＝0或x＋3y＋12＝0.
16. (1) 由l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1，即a(2x－y)－3x＋y＋1＝0，
則解得
所以直線過定點(1，2).
(2) 當a＝1時，直線斜率不存在，方程為x＝1，
不經過第二象限，符合題意；
當a≠1時，直線斜率存在，方程為y＝x＋，
又直線不經過第二象限，則解得a<1.
綜上，實數a的取值范圍為(－∞，1].
(3) 因為直線l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1，且a≠1，
令x＝0，得y＝>0，解得a>1，
令y＝0，得x＝>0，解得a<，
則面積為S＝××＝＝ .
又1此時直線l的方程為y＝x＋1，即2x＋y－4＝0.

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