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2．2.2　直線的兩點式方程
一、 單項選擇題
1 直線－＝1與－＝1(m≠n)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是(　　)
A B C D
2過點作直線l，則滿足在兩坐標軸上截距之積為2的直線l的條數為(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3 已知點A(m，5)，B(3，n)，若AB的中點坐標為(2，1)，則直線AB的方程為(　　)
A. x＋4y－9＝0 B. x＋4y＋9＝0
C. 4x＋y＋9＝0 D. 4x＋y－9＝0
4 過點A(1，2)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為(　　)
A. x－y＋1＝0
B. x＋y－1＝0
C. 2x－y＝0或x－y＋1＝0
D. 2x＋y＝0或x＋y＋1＝0
5 直線l經過點P(4，－3)，在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a，b滿足logab＝2，則直線l的斜率為(　　)
A. 2 B. －1
C. －3 D. －1或－3
6已知直線(a＋2)x－y＋2a－3＝0在x軸上的截距是y軸上截距的2倍，則實數a的值為(　　)
A. B. －
C. 或－ D. －
7 已知直線l經過點P(1，2)，與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB面積的最小值為(　　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
8 瑞士數學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知△ABC的頂點A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，則△ABC的歐拉線的方程為(　　)
A. 2x－y－1＝0 B. 2x＋y－＝0
C. x＋2y－3＝0 D. x－2y＋1＝0
二、 多項選擇題
9 過定點(2，3)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線為(　　)
A. 3x－2y＝0
B. x＋y－5＝0
C. x－y＋1＝0
D. x－y－5＝0
10 已知直線l過點(0，2)，(，1)，則下列結論中正確的是(　　)
A. 直線l的傾斜角為150°
B. 直線l的兩點式方程為＝
C. 直線l的一個方向向量為(1，－)
D. 直線l的截距式方程為＋＝1
三、填空題
11 已知直線l的兩點式方程為＝，則直線l的斜率為________.
12已知直線l在x軸與y軸上的截距分別為4，9，若點E(1，b)在直線l上，則實數b＝________.
13 已知△ABC的頂點坐標分別為A(4，3)，B(－2，－5)，C(8，0)，則角A的平分線所在的直線方程為________.
四、解答題
14 過點P(2，1)作直線l分別交x軸，y軸的正半軸于A，B兩點．
(1) 求△ABO面積的最小值及相應的直線l的方程；
(2) 當OA＋OB取最小值時，求直線l的方程．
15 已知點A(3，4).
(1) 求經過點A(3，4)，且在x軸上的截距是y軸上截距的2倍的直線的方程；
(2) 光線自點A(3，4)射到y軸上的點B(0，1)后被y軸反射，求反射光線所在直線的方程．
16 已知三角形的三個頂點是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3).
(1) 求邊AC所在的直線方程；
(2) 求邊AC上的高所在的直線方程；
(3) 求經過兩邊AB和BC中點的直線的方程.
2．2.2　直線的兩點式方程
1. B　易知直線－＝1的斜率為，直線－＝1的斜率為，所以兩直線的傾斜角同為銳角或者同為鈍角，且斜率的絕對值一個大于1，一個小于1，故只有B滿足題意．
2. B　設直線l的方程為＋＝1(a≠0)，將點代入，可得＋＝1(a≠0)，即3a2－6a＋2＝0.因為Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3a2－6a＋2＝0有兩個不相等的實數根，故滿足題意的直線l的條數為2.
3. D　由題意，得解得m＝1，n＝－3，即點A(1，5)，B(3，－3). 將點A，B的坐標代入兩點式方程可得＝，即4x＋y－9＝0.
4. C　當直線過原點時在兩坐標軸上的截距都為0，滿足題意．因為直線過點A(1，2)，所以直線的斜率為＝2，所以直線方程為y＝2x，即2x－ y＝0；當直線不過原點時，設直線方程為＋＝ 1，因為點A(1，2)在直線上，所以＋＝1，解得a＝－1，所以直線方程為x－y＋1＝0.故所求直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0.
5. C　由題意，設直線l的方程為＋＝1，則＋＝1①.又logab＝2，所以b＝a2②.由①②解得a＝3，b＝9或a＝1，b＝1.又由logab＝2可知a>0，a≠1，b>0，所以a＝3，b＝9，則直線l的斜率為－＝－3.
6. C　由題意，得a≠－2，當a＝時，直線l為x－y＝0，此時橫、縱截距都等于0，滿足題意；當a≠時，將直線l的方程化為截距式方程可得＋＝1，直線l在x軸上的截距為，在y軸上截距為2a－3，則＝2×(2a－3)，解得a＝－或a＝(舍去).綜上，實數a的值為－或.
7. C　不妨設直線l分別交x軸，y軸于點A(a，0)，B(0，b)，則a>0，b>0，所以直線l的截距式方程為＋＝1.因為點P在直線l上，所以＋＝1，由基本不等式可得1＝＋≥2＝，可得ab≥8，則S△OAB＝ab≥4，當且僅當，即時，等號成立，故△OAB面積的最小值為4.
8. C　由△ABC的頂點A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，△ABC的重心為，即(1，1).因為BC⊥AB，所以△ABC為直角三角形，所以外心為斜邊的中點， 即，所以△ABC的歐拉線的方程為＝，即x＋2y－3＝0.
9. ABC　由題意，得直線不與坐標軸垂直，設所求的直線方程為y＝k(x－2)＋3，當y＝0時，橫截距為x＝2－，當x＝0時，縱截距為y＝3－2k.因為過點(2，3)的直線在兩坐標軸上截距的絕對值相等，所以＝|3－2k|，解得k＝－1或k＝或k＝1，所以直線的方程為x＋y－5＝0或3x－2y＝0或x－y＋1＝0.故選ABC.
10. ABD　因為直線l過點(0，2)，(，1)，所以直線l的斜率為＝－，傾斜角為150°，故A正確，C錯誤；直線l的兩點式方程為＝，整理，得截距式方程為＋＝1，故B，D正確．故選ABD.
11. －　原方程可化為＝－x，即y＝－x－3，所以直線l的斜率為－.
12. 　由題意，得直線的截距式方程為＋＝1.又點E(1，b)在直線l上，所以＋＝1，解得b＝.
13. 7x＋y－31＝0　如圖，角A的平分線與BC交于點D.由題意，得AB＝＝10，AC＝＝5.由角平分線定理，得＝＝2，所以＝.設點D的坐標為(x，y)，則(x－8，y－0)＝(－2－8，－5)，所以x－8＝－，y＝－，即點D，所以直線AD的方程為＝，整理，得7x＋y－31＝0.
14. (1) 顯然直線 l斜率存在且不過原點．
由題意可設直線 l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，
又點P(2，1)在直線 l上，所以＋＝1，
由基本不等式可得＋＝1≥2，
即ab≥8，當且僅當a＝4，b＝2時，等號成立．
又S△ABO＝OA·OB＝ab，
所以S△ABO＝ab≥×8＝4，當且僅當a＝4，b＝2時，等號成立，
此時相應的直線 l的方程為x＋2y－4＝0.
(2) 由(1)可知＋＝1(a>0，b>0).
又OA＋OB＝a＋b，
所以OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝3＋＋ ≥3＋2，
當且僅當a＝2＋，b＝＋1時，等號成立，
此時相應的直線 l的方程為x＋y－2－＝0.
15. (1) 當直線過原點時，滿足在x軸上的截距是y軸上截距的2倍，
此時直線方程為y＝kx，將點A(3，4)代入，
可得k＝，化簡可得4x－3y＝0；
當直線不過原點時，設直線方程為＋＝1，且a＝2b，
即＋＝1，將點A(3，4)代入，
可得＋＝1，解得b＝，
則直線方程為＋＝1，化簡可得x＋2y－11＝0.
綜上，直線方程為4x－3y＝0或x＋2y－11＝0.
(2) 點A關于y軸的對稱點的坐標為A′(－3，4).
由題意可知，反射光線所在的直線經過點A′(－3，4)，B(0，1)，
所以反射光線所在的直線斜率為kA′B＝＝－1，
故反射光線所在的直線方程為y－1＝－1(x－0)，即x＋y－1＝0.
16. (1) 由題意可知點A(4，0)，C(0，3)，
則由直線的截距式方程可得＋＝1，即3x＋4y－12＝0.
(2) 設高所在的直線方程的斜率為k，直線AC斜率為kAC，
由(1)可知直線AC的斜率為kAC＝－.
因為高所在的直線的斜率與直線AC的斜率的乘積為－1，
即k·kAC＝－1，則k＝.
又由點斜式方程可得y－7＝(x－6)，
所以高所在的直線方程為3y－4x＋3＝0.
(3) 設AB和BC的中點分別為D(x1，y1)，E(x2，y2).
因為A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，
所以x1＝＝5，y1＝＝，x2＝＝3，y2＝＝5，
則由點斜式方程可得直線DE的方程為y－5＝(x－3)，
即4y＋3x－29＝0.

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