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2．1.2　兩條直線平行和垂直的判定
一、 單項選擇題
1 (安徽期末)若平面中兩條直線l1與l2垂直，直線l1的傾斜角為45°，則直線l2的斜率為(　　)
A. 1 B. －1 C. D. －
2過點A(2，5)和點B(2，－4)的直線與直線y＝3的位置關(guān)系是(　　)
A. 相交但不垂直 B. 平行
C. 重合 D. 垂直
3 (巴中高級中學月考)已知直線l1的傾斜角為60°，直線l2經(jīng)過A(－1，－)，B(0，0)兩點，則直線l1，l2的位置關(guān)系是(　　)
A. 平行或重合 B. 平行
C. 垂直 D. 重合
4(貴陽一中月考)設(shè)l1與l2是平面內(nèi)不重合的兩條直線，甲：l1與l2的斜率相等；乙：l1∥l2，則甲是乙的(　　)
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分條件也不必要條件
5 若四邊形ABCD的四個頂點分別是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，則四邊形ABCD的形狀為(　　)
A. 矩形 B. 菱形
C. 等腰梯形 D. 直角梯形
6 (廣州科學城中學月考)若直線l1過A(1，3)，B(2，5)兩點，且l1⊥l2，則直線l2的斜率為(　　)
A. B. － C. D. －
7 (北師大附中期末)如圖，在直角三角形OAB中，A＝，邊OA所在直線的傾斜角為，則直線AB的斜率為 (　　)
A. － B. － C. －1 D. 1
8下列命題：①若兩條不重合的直線的斜率相等，則它們平行；②若兩直線平行，則它們的斜率相等；③若兩直線的斜率之積為－1，則它們垂直；④若兩直線垂直，則它們的斜率之積為－1.其中正確的為(　　)
A. ①②③④ B. ①③
C. ②③ D. ①④
二、 多項選擇題
9 (江西橫峰中學期中)若直線l1的斜率k1＝，直線l2經(jīng)過點A(3a，6)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，則實數(shù)a的值為(　　)
A. －1 B. 1 C. －5 D. 5
10 滿足下列條件的直線l1與l2一定平行的是(　　)
A. 直線l1的傾斜角為60°，直線l2經(jīng)過點A(1，)，B(－2，－2)
B. 直線l1的一個方向向量為n＝(2，3)，直線l2經(jīng)過點A(－1，－2)，B(2，1)
C. 直線l1經(jīng)過點A(0，1)，B(1，0)，直線l2經(jīng)過點M(－1，3)，N(2，0)
D. 直線l1經(jīng)過點A(－3，2)，B(－3，10)，直線l2經(jīng)過點M(5，－2)，N(5，5)
三、填空題
11 (武漢四中月考)已知直線l1的傾斜角為45°，直線l1∥l2，若直線l2過點A(2，3)，B(5，n)，則n＝________．
12 已知點A(3，a)，B(a－2，3)，C(2，3)，D(－1，a－2)，直線AB與直線CD垂直，則實數(shù)a的值為________.
13 以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)為頂點的直角三角形，其直角頂點為________.
四、解答題
14(東莞八中月考)已知點M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0).
(1) 若點Q在y軸上，且滿足PQ⊥MN，求點Q的坐標；
(2) 若點Q在x軸上，且∠NQP＝∠NPQ，求直線MQ的傾斜角的大小.
15(廣東龍川一中月考)已知直線l1經(jīng)過點A(3，m)，B(m－1，2)，直線l2經(jīng)過點C(1，2)，D(－2，m＋2).
(1) 若l1//l2，求實數(shù)m的值；
(2) 若l1⊥l2，求實數(shù)m的值.
16 (博雅中學月考)已知A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)三點．
(1) 若點A，B，C，D可以構(gòu)成平行四邊形，求點D的坐標；
(2) 在(1)的條件下，判斷由點A，B，C，D構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形．
2．1.2　兩條直線平行和垂直的判定
1. B　因為l1⊥l2，所以kl1·kl2＝－1，易知kl1＝tan 45°＝1，故直線l2的斜率為kl2＝－1.
2. D　由點A(2，5)和點B(2，－4)，知直線AB的斜率不存在，且直線AB的方程為x＝2，故直線AB 與直線y＝3垂直.
3. A　由題意，得直線l1的斜率為k1＝tan 60°＝，直線l2的斜率為k2＝＝，即k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合．
4. A　由平面內(nèi)不重合的兩條直線的斜率相等，得兩直線平行，即甲是乙的充分條件；若兩直線平行，則兩直線的斜率可能都不存在，則甲不是乙的必要條件，故甲是乙的充分不必要條件.
5. D　由題意，得kBC＝＝， kAD＝＝，kAB＝＝－，kCD＝＝－.因為kBC＝kAD，kAB≠kCD，所以BC∥AD，AB與CD不平行，則四邊形ABCD為梯形．又kAD·kAB＝－1，所以AD⊥AB，所以四邊形ABCD為直角梯形．
6. D　因為直線l1的斜率為k1＝＝2，且l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，則直線l2的斜率為－.
7. A　因為邊OA所在直線的傾斜角為，所以直線OA的斜率為.由A＝可知AB⊥OA，故kAB·＝－1，解得kAB＝－.
8. B　當兩條不重合的直線的斜率相等，則它們平行，故①正確；當兩條直線均與x軸垂直時，兩直線平行，但斜率不存在，故②錯誤；根據(jù)直線垂直的判定定理可知兩直線的斜率之積為－1，則它們垂直，故③正確；當兩條直線一條與x軸垂直，一條與y軸垂直時，兩直線垂直，但與x軸垂直的直線斜率不存在，故④錯誤.
9. AD　由題意，得直線l2的斜率為k2＝＝(a≠0).因為l1⊥l2，則k1·k2＝－1，即k2＝＝－，解得a＝－1或a＝5，經(jīng)驗證均滿足題意，故選AD.
10. CD　對于A，直線l1的斜率k1＝tan 60°＝，直線l2的斜率k2＝＝，則l1與l2平行或重合，故A錯誤；對于B，直線l1的斜率k1＝，直線l2的斜率k2＝＝1≠k1，則l1與l2不平行，故B錯誤；對于C，l1的斜率k1＝＝－1，l2的斜率k2＝＝－1，則l1與l2平行且不重合，故C正確；對于D，易知l1與l2均與x軸垂直且不重合，則l1∥l2，故D正確．故選CD.
11. 6　由直線l1的傾斜角為45°，得l1的斜率k1＝1.又直線l1∥l2，則l2的斜率k2＝＝1，解得n＝6.
12. 0或5　因為直線AB與直線CD垂直，所以當AB的斜率不存在時，a－2＝3，即a＝5，此時lAB：x＝3，lCD：y＝3，AB與CD垂直；當AB的斜率存在時，kAB·kCD＝－1，即·＝－1，解得a＝0.綜上，實數(shù)a的值為0或5.
13. A　由題意，得kAB＝＝－，kAC＝＝，則kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，故△ABC是以A為直角頂點的直角三角形.
14. (1) 設(shè)點Q(0，y)，且kMN＝＝3.
因為PQ⊥MN，所以kPQ＝－，
即＝－，解得y＝1.
故點Q的坐標為(0，1).
(2) 設(shè)點Q(x，0).
因為∠NQP＝∠NPQ，所以kNQ＝－kNP.
又kNQ＝，kNP＝－2，所以＝2，
解得x＝1，即點Q(1，0).
因為點M(1，－1)，所以MQ⊥x軸，
故直線MQ的傾斜角為90°.
15. (1) 由題意，得直線l2的斜率存在，且k2＝＝－.
若l1∥l2，則直線l1的斜率也存在，且k1＝k2，
所以＝－，解得m＝1或m＝6，
經(jīng)檢驗，均符合題意．
故當m＝1或m＝6時，l1∥l2.
(2) 若l1⊥l2，當k2＝0時，
此時m＝0，l1斜率存在，不符合題意；
當k2≠0時，直線l2的斜率存在且不為0，
則直線l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1，
即－·＝－1，
解得m＝3或m＝－4.
故當m＝3或m＝－4時，ll⊥l2.
16. (1) 由題意，得kAB＝＝－，kAC＝＝ 1，kBC＝＝－2.
設(shè)點D的坐標為(a，b)，
若四邊形ABCD是平行四邊形，
則kCD＝kAB，kAD＝kBC，
即解得即點D的坐標為(－1，6)；
若四邊形ABDC是平行四邊形，
則kCD＝kAB，kBD＝kAC，
即解得即點D的坐標為(7，2)；
若四邊形ACBD是平行四邊形，
則kAD＝kBC，kBD＝kAC，
即解得即點D的坐標為(3，－2).
綜上，點D的坐標為(－1，6)或(7，2)或(3，－2).
(2) 若點D的坐標為(－1，6)，
因為kAC＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，
所以平行四邊形ABCD為菱形；
若點D的坐標為(7，2)，
因為kBC＝－2，kAD＝＝0，
所以kBC·kAD＝0≠－1，
所以平行四邊形ABDC不是菱形；
若點D的坐標為(3，－2)，
因為kAB＝－，直線CD的斜率不存在，
所以平行四邊形ACBD不是菱形．
故當點D的坐標為(－1，6)時，平行四邊形ABCD為菱形．

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