資源簡介

儋州市第三中學2025屆高三年級仿真考試（一）
數學科
本試卷共4頁，19小題，考試時間：120分，試卷滿分：150分；
考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題紙上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題紙上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.回答非選擇題時，將答案寫在答題紙上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷與答題卡一并由監考人員收回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1．已知，，那么集合（ ）
A．， B． C． D．
2．設復數的共軛復數為，則（ ）
A． B． C． D．
3．某圓錐的母線長為4，高為3，則該圓錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數，將函數圖象向右平移個單位長度，再把所有點的橫坐標縮短為原來的倍，得到函數的圖象，則下列關于函數的說法正確的是（ ）
A．周期為 B．函數在上單調遞減
C．函數圖象的一條對稱軸是直線 D．函數是偶函數
5．如圖，已知，是橢圓的左、右焦點，過的直線與E交于點M，N兩點，垂直平分，若，則的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
6．若都是銳角，且，，則（ ）
A． B． C．或 D．或
7．已知函數，若方程恰有四個不同實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．國家于2021年8月20日表決通過了關于修改人口與計劃生育法的決定，修改后的人口計生法規定，國家提倡適齡婚育 優生優育，一對夫妻可以生育三個子女，該政策被稱為三孩政策.某個家庭積極響應該政策，一共生育了三個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩.則下列說法正確的是（ ）
A．事件與事件互斥但不對立 B．事件與事件互斥且對立
C．事件與事件相互獨立 D．事件與事件相互獨立
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．一組數據，，…，的平均數為6，方差為1，則關于新數據，，…，，下列說法正確的是（ ）
A．這組新數據的平均數為6 B．這組新數據的平均數為9
C．這組新數據的方差為1 D．這組新數據的方差為4
10．對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱、中心對稱都能給人以美感.已知是以為斜邊的等腰直角三角形，，分別以，為直徑作兩個半圓，得到如圖所示的幾何圖形，是兩個半圓弧上的動點，則的值可能是（ ）
A． B．1 C．8 D．18
11．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，M為C的右頂點，過的直線與C的右支交于A，B兩點（其中點A在第一象限），設點P，Q分別為，的內心，R，r分別為，內切圓的半徑，則（ ）
A．點M在直線PQ上 B．點M在直線PQ的左側
C． D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．已知冪函數的圖象關于原點對稱，則 ．
13．拋物線的焦點坐標為 ，準線方程為 .
14．已知函數.
①在上單調遞減，在上單調遞增；
②在上僅有一個零點；
③若關于的方程有兩個實數解，則；
④在上有最大值，無最小值.
上述說法正確的是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．設數列的前項和為.
(1)證明：數列為等比數列；
(2)求數列的通項公式，并求數列的最大項.
16．已知函數，.
(1)討論函數的單調性；
(2)證明：.
17．甲參加一項招聘考試，分為筆試和面試兩個環節，筆試成績合格后才能進入面試.筆試共有2道專業理論題與2道崗位實踐題，每道專業理論題的難度系數（考生能夠正確作答的概率）均為，每道崗位實踐題的難度系數均為，考生至少答對3道題才能進入面試，否則被淘汰出局；面試共有5道問答題，由考官逐一提問作答，累計答對3道題或答錯3道題，面試結束.已知甲筆試得滿分的概率為，筆試和面試各題是否答對相互獨立.
(1)當時，求；
(2)求甲能夠進入面試的概率的最小值及相應的值；
(3)已知甲通過了筆試環節，面試時每道題的難度系數是（2）中求得的值，令甲面試結束時的答題數為，求的分布列與數學期望.
18．已知雙曲線的焦距為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)若A是C的左頂點，直線與C交于P，Q兩點，求的面積．
19．如圖，在三棱臺中，平面平面，，，.
(1)證明：；
(2)當直線與平面所成的角最大時，求三棱臺的體積.儋州市第三中學2025屆高三年級仿真考試（一）數學科·答題卡
數學 第4頁（共6頁） 數學 第5頁（共6頁） 數學 第6頁（共6頁）
A
C
BI
A
C
B儋州市第三中學2025屆高三年級仿真考試（一）
數學答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D D C B A D D BD BC ACD
1．D
聯立，解得，則.
2．D
由可得，則.
3．D
設該圓錐外接球的半徑為R，則，解得R=，故該圓錐外接球的表面積S=4πR2=.
4．C
將函數的圖象向右平移個單位可得：，
再把所得函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，可得，顯然D錯誤；
因為的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A錯誤；
當時，；
當時，，顯然函數在上不是單調遞減，故B錯誤；
當時，，所以函數圖象的一條對稱軸是直線，故C正確；
5．B
因為垂直平分，所以，，且平分，
所以，所以.
由橢圓的定義知，在中，，
所以，解得.由橢圓的定義得，
在中，由余弦定理得，
即，化簡得，所以.
6．A
，由，則又，，又因為，所以，由,所以
那么 ，
7．D
如圖所示，作出函數的圖象，
易知，
先求與相切時的值，
設切點為，則切線方程為，
將代入，化簡得，易知函數單調遞增，，所以，
所以當時，與有兩個交點；
當時，與有一個交點，
當時，與沒有交點.
易知兩函數圖象均關于對稱，可聯立
得，，則，
此時切點橫坐標為，
當過點時，，
所以當時，與有兩個交點；
當時，與沒有交點；
當時，與有三個交點.
綜上，若與有四個交點，
則，
8．D
有三個小孩的家庭的樣本空間可記為：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
對于A，,且，所以事件B與事件C互斥且對立，故A不正確；
對于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件與事件不互斥，故B不正確；
對于C，事件有4個樣本點，事件有4個樣本點，事件有0個樣本點，，顯然有，即事件與事件不相互獨立，故C不正確；
對于D，事件有6個樣本點，事件有4個樣本點，事件有3個樣本點，，顯然有，即事件與事件相互獨立，故D正確；
9．BD
由題意得：， ，則，所以這組新數據的平均數為9，方差為4.
10．BC
取線段的中點為，連接，
以為原點，分別以所在直線為軸，建立直角坐標系，如下圖：
則，，，
由圖易知，
可得，，
，易知.
11．ACD
先證明一個結論：焦點在x軸上的雙曲線焦點三角形的內切圓圓心橫坐標為.
過的直線與C的右支交于A，B兩點，設點P為的內心，
設圓P與的切點分別為，
則，
則，解之得
則切點的坐標為.切點與雙曲線C的右頂點M重合，
則圓P與x軸的切點為雙曲線C的右頂點M，
同理可得圓Q與x軸的切點為雙曲線C的右頂點M.
則直線的方程為，
雙曲線C的右頂點M的坐標為，則點M在直線PQ上.
則選項A判斷正確；選項B判斷錯誤；
選項C：.判斷正確；
選項D：由直線的方程為，可得.判斷正確.
12．0
由于函數是冪函數，所以，解得或，
當時，，是奇函數，圖像關于原點對稱；
當時，，是偶函數，圖象不關于原點對稱，所以的值為0．
13．
拋物線的標準方程為，所以其焦點坐標為，準線方程為.
14．②④
函數的導數，令得，，
由得，由得，故在上單調遞增，在上單調遞減，故①錯誤，
由①知當時，函數取得極大值，
當時，恒成立，當時，恒成立，
即在上僅有一個零點，故②正確，
由②知若關于的方程有兩個實數解，則，故③錯誤，
由①②知在上有最大值，無最小值，故④正確，
故答案為：②④
15解（1）①，②，
②-①，，
故，
而在①中令，又，
，，
是首項為1，公比為的等比數列.
（2）由（1）得，，
則，
所以數列是以首項為，公差為1的等差數列.
所以，解得
由，
解得，單調遞增；當，單調遞減；
所以，
所以數列的最大項為
16．解（1）由題知：，其定義域為，.
當時，則，在上單調遞減；
當時，令，解得；令，解得，
∴函數在上單調遞減，在上單調遞增.
綜上所述，當時，函數在上單調遞減；
當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）要證，即證.
由（1）知：當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
∴，即，
，.
令，，
∴在上單調遞增，
∴當時，，即，
∴，即，
∴原不等式成立.
17．解（1）由題意，筆試和面試各題是否答對相互獨立，
所以甲筆試滿分的概率為，則，
又，所以.
（2）由題意，甲至少答對3道題才能夠進入面試，
所以甲能夠進入面試的概率，
由（1）知，則，
則，
整理得，
因為， ，所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以甲能夠進入面試的概率的最小值為，相應的值為.
（3）由（2）知，面試時每道題的難度系數是，則甲答對每道面試題的概率，
由題意，甲累計答對3道題或答錯3道題，面試結束，
所以甲面試結束時的答題數的可能取值為3，4，5，
當時，，當時，，
當時，，
所以的分布列為：
3 4 5
數學期望為：.
18．解（1）依題意，雙曲線的半焦距，由離心率，解得，，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）知雙曲線的左頂點，點到直線的距離，
由消去得，解得，，
則，所以的面積.
19．解（1）在三棱臺中，取的中點，連接，
由，得，由平面平面，平面平面，
平面，得平面，而平面，則，
又，則四邊形是菱形，，
而平面，因此平面，又平面，
所以.
（2）取中點，則，由平面平面，平面平面，
平面，則平面，直線兩兩垂直，
以點原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，設，
則，，
，
設平面的法向量，則，取，得，
設直線與平面所成的角為，
，當且僅當，即時取等號，
所以三棱臺的體積
.
答案第1頁，共2頁

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