資源簡介

2024學年第二學期5月四校聯(lián)考
高一數(shù)學試卷
考生須知：
1.本試卷滿分150分，考試用時120分鐘。
2.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。
3.所有答案必須答在答題紙上，寫在試卷上無效。
第一卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若復數(shù)z滿足z·(1+i)=1-i, 則|z|=( ▲)
A. 1 B. 2 D.
2.下列說法正確的是(▲)
A.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
B.有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C.圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線
D.棱臺的側棱都相等
3.設m，n是不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列說法，其中正確的是( ▲ )
A. 若m//n, n α, 則m//α B. 若m⊥α, m//β, 則α⊥β
C. 若m//α, m//β, 則α//β D. 若α//β, m α, n β, 則m//n
4. 已知 則||的范圍為( ▲ )
A.[1, +∞) B.[0, 2] C.[2, +∞) D.[1, 2]
5.已知函數(shù) 若 則實數(shù)x的取值范圍為( ▲ )
A. (-4,1) B. (-∞,-4)∪(1,+∞) D. (-1,3)
6. 在△ABC中, 角A, B,C所對的邊分別為a, b, c, a·cosB=3b·cosA, 則A-B的最大值為( ▲ )
A. π/6 B. π/4 C. π/3
7.在直三棱柱 中, 點 M, N, P滿足: 則下列說法正確的是 (▲)
A.三棱錐 B -MNP 體積為定值
B.三棱錐A -MNP 體積為定值
C.當λ=1時，三棱柱被截面 MNP 分成的上下兩部分體積相等
D.當λ=3時，三棱柱被截面 MNP 分成的上下兩部分體積相等
8. 三棱錐O-ABC中. 設∠AOB=α, ∠BOC=β, ∠AOC=γ, 二面角A-OC-B的平面角大小為x，則一定成立的是 (▲ )
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在50~650kW·h之間，進行適當分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，以下選項正確的有( )
A. a=0.0022
B.本組樣本的眾數(shù)為250
C.本組樣本的第45百分位數(shù)是300
D. 用電量落在區(qū)間[150,550)內的戶數(shù)為82
10. 抽樣調查得到10個樣本數(shù)據(jù), 記作x ,x ,…,x , 計算得平均數(shù)x=7, 方差 現(xiàn)去掉一個最大值10，和一個最小值4后，對新數(shù)據(jù)下列說法正確的是 ( ▲)
A.極差變大 B.中位數(shù)不變 C.方差變大 D.平均數(shù)不變
11.勒洛四面體是德國機械學家勒洛 (1829~1905)首先研究發(fā)現(xiàn)的，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(如圖甲)，勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體ABCD的棱長為2，則下列說法正確的是 ( )
A.勒洛四面體ABCD被平面ABC截得的截面面積是
B.勒洛四面體ABCD內切球的半徑是
C.勒洛四面體的截面面積的最大值為
D.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知一個圓錐的高為2，且軸截面為等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為 ▲ .
13. 三棱錐A-BCD 中, AB=4, BC=BD=3, AC=AD=5, ∠CBD=60°, 則三棱錐A-BCD 外接球的表面積為 ▲ .
14. △ABC滿足 則 的取值范圍為__________ .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知向量 滿足
(1) 求 最小值
(2) 若 ，求向量b的坐標表示
16. (15分)已知函數(shù)
(1) 若f(α)=0, 求tanα的值;
(2) 若 求函數(shù) f(x)的值域.
17. (15分)已知三角形ABC 中, AB=2, AC=4, ∠A=120° , AH為BC邊上的高, AD為BC邊上的中線, AE為∠A的平分線, (H, D, E為BC邊上的點) .
(1) 求AE 的長;
(2) 若 求λ, μ的值;
18. (17分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,側面PAB⊥底面ABCD, 底面ABCD為矩形PA=PB, O為AB的中點, OD⊥PC.
(1) 求證: OC⊥PD;
(2) 若PD上存在點M, 使得OM//平面PBC, 求 的值
(3)若PD與平面PBC所成角的正弦值為 求四棱錐的P-ABCD的體積.
19.(17分)已知正三棱臺 , 點 D, E, F分別在A A, B B, AC上, 且
(1)求過點 D、E、F的平面截正三棱臺 的截面周長；
(2)求直線 DE與平面 所成的角的正弦值；
(3)求二面角 E-DF-A平面角的余弦值.2024學年第二學期5月四校聯(lián)考
高一數(shù)學試卷參考答案
一. 單選題 ACBD, BABA
二. 多選題 9ACD, 10BD, 11CD
三. 填空題 12, 4 π, 13, 28π, 14, [2,
四.解答題
15.(13分)已知向量=(1, 2), 滿足
(1) 求|b|最小值
(2) 若 ，求向量的坐標表示
解: (1) 法一: …………………3
………………………………………………………5
即 最小值= …………………………………………7
法二：設 由 可得x+2y=5…………………………3
……………………5
故 最小值 ………………………………………………………………7
(2) 設 由 可得x+2y=5
可得
即 ……………………………………………………9
解得：(每解2分)
16. (15分)已知函數(shù)
(1)若f(α)=0,求tanα的值;
(2) 若 求函數(shù)f(x)的值域.
解 ……………………2
(其中 ……………………………………4
可得 ……………………7
(也可由：)
tanα= tan(kπ-φ)=-tanφ=-3
(其中
又 ………………………………9
…………………………………………11
…………………………………………13
即 ……………………………………………………15
17. (15分)已知三角形ABC中, AB=2, AC=4, ∠A=120°, AH為BC邊上的高, AD為BC邊上的中線, AE為∠A的平分線,(H, D,E為BC邊上的點).
(1) 求AE的長;
(2) 若 求λ, μ的值;
解(1)：由角平分線性質得： ………………4分
……………………6分
……………………7分
……………………9分
…………11分
又因為H，D，E三點共線，則λ+μ=1② …………13分
由①②可得： - …………15分
18. (17分)如圖,在四棱錐P-ABCD中, 側面PAB⊥底面ABCD, 底面ABCD為矩形,PA=PB, O為AB的中點, OD⊥PC.
(1) 求證: OC⊥PD;
(2) 若PD上存在點M, 使得OM//平面PBC, 求 的值
(3)若PD與平面PBC 所成角的正弦值為 求四棱錐的P-ABCD的體積.
(1) 證明: 連接OP, ∵PA=PB
∴PO⊥AB
又 ∵平面PAB⊥平面ABCD
∴PO⊥平面ABCD--------------------1
∴PO⊥OD
又∵OD⊥PC
∴OD⊥平面POC
∴OD⊥OC----------------------2
又PO⊥平面ABCD, 則PO⊥OC-…………3
所以OC⊥平面POD---------------4
∴OC⊥PD----------------------5
(2) 分別取PD, CD中點為M, N, 連OM, ON, MN
∵MN//平行 PC, MN 平面 PBC,
∴MN//平面 PBC-----------------------------7
又∵ON//BC, ON 平面PBC
∴ON//平面 PBC ------------------------------9
∴平面 OMN//平面 PBC
∴OM//平面 PBC
此時 ------10
(3) 由(1) 可知OD⊥OC, 所以ABCD 為正方形,
-………………………………11
設 PO=h, 則
記點到面的距離為h點-面
設 PD 與平面 PBC 成θ角,
J
整理得：
解得: h =1 或, 即 PO=1 或
所以： 或 -17
19.(17分)已知正三棱臺 , 點 D, E, F分別在A A, B B, AC上, 且 B E=2EB, AF=3FC, AB=4A B =4, A A=3
(1) 求過點 D、E、F的平面截正三棱臺ABC-A B C 的截面周長;
(2)求直線 DE 與平面ACC A 所成的角的正弦值；
(3)求二面角E-DF-A平面角的余弦值.
解: (1) 延長AB, DE交于點 M, 連接FM 交BC 于 N, 連接EN則截面為 DENF--------------------------1
過D作DP//B B, 可知P為AB中點
∴EB=2DP
則 BN=BP=2
過F作 FQ//BC, 則 FQ=3
所以N是BC中點--------------------------------2
在△ADF中, AD=2, AF=3, ∠DAF=60° , 則( -----------3
在△CFN 中, CF=1, CN=2, ∠NCF=60° , 則 --4
在△BEN中, BE=1, BN=2, ∠NBF=60° , 則 -5
在等腰梯形ABB A 中，可求得| ---------------6
所以截面 DENF 周長
(2)延長側棱交于點S，則三棱錐S-ABC為正四面體
又
設 DE 與平面SAC 成θ角
則
(3) 由(1)(2)可知D, N分別是正四面體棱SA, BC的中點,可得
又∵箏形DENF 中,
在△DEF中, E到DF的距離 -…………………………14
由(2) 得: E到面 SAC的距離 …………………………15
設二面角 E-DF-A為α, 則
所以 …………………………………………17

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