資源簡介

2025杭州二中6月統測
高一數學
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
2． “”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．在某次全市高三模擬考試后，數學老師隨機抽取了6名同學的第一個解答題的得分情況如下：7，10，5，8，4，2，則這組數據的平均數和分位數分別為（ ）
A．6，3 B．5，3 C．5，4 D．6，4
4．在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐標系中，角與角均以x軸的非負半軸為始邊，它們的終邊關于直線對稱．若角的終邊與單位圓交點的縱坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
6．Deepseek（深度求索）是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點.在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為，其中L表示每一輪優化時使用的學習率，表示初始學習率，D表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，表示衰減速度．已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.6，衰減速度為20，且當訓練迭代輪數為10時，學習率衰減為0.3，則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數至少為（ ）
（參考數據：，）
A．14 B．15 C．16 D．17
7．已知函數的對稱中心在直線上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量，，滿足：與的夾角為銳角，，，，且，，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．
9．已知事件，且，則（ ）
A．事件與事件互為對立事件
B．若事件與事件互斥，則
C．若事件與事件互斥，則
D．若，則事件與事件相互獨立
10．如圖是一個棱長為1的正方體的展開圖，其中M，N分別為CH，DB的中點．如果將它還原成正方體，那么下列選項中正確的是（ ）

A．直線AB與CD所成角為
B．直線EF與GH平行
C．經過DEMN四個點的球的表面積為
D．P是正方形GKHI內的動點，若|AP|=，那么P點的軌跡長為
11．已知函數，下列說法正確的是（ ）
A．的周期為2π
B．在區間上是增函數
C．若，則
D．函數在區間上有且僅有2個零點
三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分．
12．在復數范圍內，的所有平方根為 ．
13．某海警船在處看燈塔在它的北偏東，距離為，在處看燈塔在海警船的北偏西，距離為，海警船由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東，則燈塔與處之間的距離為 ．
14．在三棱錐中，，且，若三棱錐的外接球表面積的取值范圍為，則三棱錐體積的取值范圍為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知，是平面內一對不共線的向量，且，，．
（1）若與共線，求實數的值；
（2）若，求的值．
16．（15分）某校開展一項名為“書香致遠，閱讀潤心”的讀書活動，為了更好地服務全校學生，需要對全校學生的周平均閱讀時間進行調查，現從該校學生中隨機抽取200名學生，將他們的周平均閱讀時間（單位：小時）數據分成5組：，根據分組數據制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值，并估計全校學生周平均閱讀時間的平均數；
（2）用分層抽樣的方法從周平均閱讀時間不小于6小時的學生中抽出6人，從這6人中隨機選出2人作為該活動的形象大使，求這2人都來自這組的概率.
17．（15分）已知分別為三個內角的對邊，且.
（1）證明：；
（2）求的最小值.
18．（17分）如圖1，在平面五邊形中，，，，，分別為的中點，將沿翻折，使點到點的位置，如圖2.
（1）若平面.
（ⅰ）求異面直線PA與CF所成角的大小；
（ⅱ）三棱錐的各頂點都在球上，為球球面上的動點，求的取值范圍.
（2）在翻折的過程中，設平面與平面的交線為，求二面角的最小值.
19．（17分）已知函數．
（1）若，求a的取值范圍；
（2）若存在兩個不相等的正實數，滿足．
（i）求在上的最小值；
（ii）證明：．杭州二中高一數學6月統測參考答案
CBDDBCCD
BD ACD ACD
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．已知，是平面內一對不共線的向量，且，，．
(1)若與共線，求實數的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，，依題意存在唯一的實數，使得，即可得到方程組，解得即可；
（2）用作為基底，根據向量相等，得到方程組，解得即可；
【詳解】（1）解：因為，，
所以，.
因為與共線，所以存在唯一的實數，使得，
，即，解得.
（2）解：因為，，，且，
所以，
所以，解得，，
所以.
16．某校開展一項名為“書香致遠，閱讀潤心”的讀書活動，為了更好地服務全校學生，需要對全校學生的周平均閱讀時間進行調查，現從該校學生中隨機抽取200名學生，將他們的周平均閱讀時間（單位：小時）數據分成5組：，根據分組數據制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求的值，并估計全校學生周平均閱讀時間的平均數；
(2)用分層抽樣的方法從周平均閱讀時間不小于6小時的學生中抽出6人，從這6人中隨機選出2人作為該活動的形象大使，求這2人都來自這組的概率.
【答案】(1)，6.92小時
(2)
【分析】（1）利用頻率分布直方圖各矩形面積和為1求出的值，再根據頻率分布直方圖平均數的計算公式求平均數即可；
（2）利用分層抽樣的定義求出各組的人數，然后利用列舉法求概率即可.
【詳解】（1）依題意可得，解得，
又由頻率分布直方圖可得，
所以估計全校學生周平均閱讀時間的平均數為6.92小時.
（2）由頻率分布直方圖可知和三組的頻率的比為，
所以利用分層抽樣的方法抽取6人，這三組被抽取的人數分別為
記中的3人為中的2人為中的2人為，
從這6人中隨機選出2人，
則樣本空間共15個樣本點，
設事件選出的2人都來自，則共3個樣本點，
所以.
17．已知分別為三個內角的對邊，且.
(1)證明：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意，化簡得到，結合正弦定理，即可得證；
（2）由（1）和余弦定理，化簡得，再由正弦定理，得到，得到，求得，得到，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，
可得，由正弦定理得，即.
（2）解：由余弦定理得，因為，所以，
可得，所以由正弦定理可得
，
，
即，
即，故，
又因為，所以，即，
所以，
當且僅當時，“=”成立，故的最小值為.
18．如圖1，在平面五邊形中，，，，，分別為的中點，將沿翻折，使點到點的位置，如圖2.
(1)若平面.
（ⅰ）求異面直線PA與CF所成角的大小；
（ⅱ）三棱錐的各頂點都在球上，為球球面上的動點，求的取值范圍.
(2)在翻折的過程中，設平面與平面的交線為，求二面角的最小值.
【答案】(1)（ⅰ）90°；（ⅱ）
(2).
【分析】（1）（ⅰ）先由等條件得出的值，再利用三角形全等得到，接著因為平面，結合線面垂直性質與判定，證明.
（ⅱ）解法一，先找外接球球心在上，用勾股定理求半徑，再求，進而得最值與范圍.
解法二，建立空間直角坐標系，寫出點坐標，根據外接球性質求球心坐標與半徑，最后求得出范圍.
（2）解法一：先作輔助線找二面角平面角，因，為在平面射影且是中點，.，最小則最小，最大時最小，為中點時最大，進而得二面角最小值.
解法二：取中點建系，求各點及向量坐標.再分別求平面和法向量、.用向量夾角公式求，根據取值求最大值，從而得二面角最小值.
【詳解】（1）（ⅰ）如圖，設與交于點，
由題可得，，
則，
所以，又，所以為正三角形，
所以，又，，
故，所以，故.
因為平面，平面，所以，
因為，平面，
所以平面，又平面，所以，
即異面直線PA與CF所成角的大小為90°.
（ⅱ）解法一：由（ⅰ），由題可得，
為直角三角形，且平面，所以三棱錐的外接球球心在直線上，
設球的半徑為，則，
如圖，連接，在中，，即，
得.
連接，，因為，，
所以，
所以的最小值為，的最大值為，
故的取值范圍為.
解法二：
以為坐標原點，點所在直線為軸，平面內過且與軸垂直的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，.
設球心，連接，，，，因為，
所以
，
解得，，故，所以球的半徑.
（另解：可以通過得到）
連接，因為，所以，
所以的最小值為，的最大值為，
故的取值范圍為.
（2）解法一 如圖，過點作平行于的直線，則該直線為平面與平面的交線.
設點在平面內的射影為，過點作平行于的直線分別交，于點，連接，則為二面角的平面角.
因為，所以，為的中點，，
連接，則，
.
若最小，則最小，即最小，
所以當取最大值時，二面角取得最小值.
易知當點為的中點時，取得最大值，且最大值為3，
因此的最小值為，即的最小值為，
所以二面角的最小值為.
解法二：取的中點，連接，，則，，，
以為坐標原點，分別以，所在直線為軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
所以，.設，則，
所以，.
設平面的法向量為，
則，即，
取，則，，故為平面的一個法向量.
設平面的法向量為，
則，即，
取，則，，故為平面的一個法向量.
易知此時與的夾角即二面角的平面角.（取，則，此時與的夾角為二面角的平面角的補角）
設二面角的大小為，
則，
所以當時，取得最大值，此時取得最小值，故二面角的最小值為.
19．（17分）已知函數．
（1）若，求a的取值范圍；
（2）若存在兩個不相等的正實數，滿足．
（i）求在上的最小值；
（ii）證明：．
【詳解】（1）因為，所以，解得．
（2）因為
當時，在上遞增，
當時，在上遞增，在上遞增．
因此，當時不存在兩個不相等的正實數滿足．
當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增，
所以，存在兩個不相等的正實數，滿足．因此．
（i）當時，的最小值為；
當時，的最小值為．
（ii）不妨設，
當時，即，
得，所以，；
當時，即，
所以，，
又因為，即，所以，得．
所以．

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