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浙教版2024—2025學年八年級下學期數學期末考試熱身卷
考生注意：本試卷共三道大題，25道小題，滿分120分，時量120分鐘
注意事項:
第I卷
一、選擇題（每題只有一個正確選項，每小題3分，滿分30分）
1．以下四個汽車標志中，是中心對稱圖形的為（　　）
A． B． C． D．
2．若二次根式有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
3．關于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一個解為x＝1，則該方程的另一個解為（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．小區新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設該快遞店攬件日平均增長率為x，根據題意，下面所列方程正確的是（　　）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
5．為備戰體育中考，小明每日堅持引體向上，下表為其記錄的一周中每日引體向上個數，
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
10 9 9 10 7 8
其中一天數據缺失了，但這組數據中有唯一眾數，則這組數據的中位數為（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．a、b在數軸上的位置如圖所示，那么化簡的結果是（　　）
A．a﹣b B．a C．﹣a D．b﹣a
7．玲玲在用反證法證明“△ABC中至少有一個內角小于或等于60°”時，她應先假設這個三角形中（　　）
A．有一個內角大于60° B．有一個內角大于等于60°
C．每一個內角都大于60° D．每一個內角都小于60°
8．如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　）
AD＝BC B．AB∥DC
C．AB＝DC D．∠A＝∠C
9．小明計算一組數據的方差時，列出的算式：．根據算式信息，下列判斷錯誤的是（　　）
A．平均數是8 B．中位數是8 C．眾數是8 D．方差是
10．關于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均為常數，a≠0），則方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．x1＝4，x2＝3
二、填空題（6小題，每題3分，共18分）
11．若關于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有一個根是1，則m+n＝　 　 ．
12．如圖，已知實數a在數軸上的對應點位置如圖所示，則化簡的結果是 　 　 ．
13．已知一組數據：8，4，5，4，a，7的平均數為5，則a＝　 　 ．
14．已知關于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均為常數，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，則關于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是 　 　 ．
15．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別在BC，AC邊上，且AE＝4，BD＝6，分別連接AD，BE，點M，N分別是AD，BE的中點，連接MN，則線段MN的長為 　 　 ．
16．已知關于x的一元二次方程ax2+（3a﹣2）x+2（a﹣2）＝0（a＞0），設方程的兩個實數根x1，x2，其中x1＞x2，則x2＝ 　 　 ，若，b為常數，則b的值為 　 　 ．
浙教版2024—2025學年八年級下學期數學期末考試熱身卷
考生注意：本試卷共三道大題，25道小題，滿分120分，時量120分鐘
姓名：____________ 學號：_____________座位號：___________
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空題
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、_____、_____
三、解答題（17、18、19題每題6分，20、21每題8分，22、23每題9分，24、25每題10分，共計72分，解答題要有必要的文字說明）
17．（1）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2；（2）解方程：（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
18．（1）計算：；（2）計算：．
19．已知關于x的方程x2﹣（m+5）x+3m＝0．
（1）求證：無論m取何值，此方程一定有實數根；
（2）若方程有一個實數根是5，求方程的另一個根．
20．某校為了了解初三學生寒假期間參加體育鍛煉的天數，隨機抽取了部分初三學生進行調查，并繪制了如下的扇形統計圖和條形統計圖（部分信息未給出），請根據圖中提供的信息，回答下列問題：
（1）本次調查中，體育鍛煉天數的眾數為 　 　天，中位數為 　 　天．
（2）請補全條形統計圖．
（3）如果該校初三有1600名學生，請你估計初三約有多少名學生參加體育鍛煉的天數不少于7天．
21．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝AB＝BC，AC⊥BD交于點O．
（1）求證：四邊形ABCD為菱形；
（2）如圖2，過四邊形ABCD的頂點A作AE⊥BC于點E，交OB于點H，若AB＝AC＝6，求四邊形OHEC的面積．
22．某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到400件．設二、三這兩個月的月平均增長率不變．
（1）求二、三這兩個月的月平均增長率；
（2）從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經調查發現，該商品每降價1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？
23．如圖1，四邊形ABCD為正方形，E為對角線AC上一點，連接DE，BE．
（1）求證：BE＝DE；
（2）如圖2，過點E作EF⊥DE，交邊BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
①求證：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的邊長為9，CG＝3，求正方形DEFG的邊長．
24．如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠ABC為鈍角，BE，BF分別為邊AD，CD上的高，交邊AD，CD于點E，F，連結EF，BF＝EF．
（1）求證：∠EBF＝∠C；
（2）求證：CF＝DF；
（3）如圖2，若∠DBC＝45°，以點B為原點建立平面直角坐標系，點C坐標為，點P為直線CE上一動點，當S△BCP＝S△BDE時，求出此時點P的坐標．
25．如圖，已知直線y＝2x分別與雙曲線y，y（x＞0）交于P、Q兩點，且OP＝2OQ，點A是雙曲線y上的動點，過A作AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y（x＞0）于點B、C．連接BC．
（1）求k的值；
（2）隨著點A的運動，△ABC的面積是否發生變化？若不變，求出△ABC的面積，若改變，請說明理由．
（3）直線y＝2x上是否存在點D，使得點A、B、C、D為頂點的四邊平行四邊形？若能，求出相應點A的坐標；若不能，請說明理由．
參考答案
一、選擇題
1—10：CBDAB ACCBC
二、填空題
11．【解答】解：把x＝1代入原方程可得：
1+m+n＝0，
∴m+n＝﹣1，
故答案為：﹣1．
12．【解答】解：由實數a在數軸上的對應點位置可知1＜a＜2，
∴2﹣a．
故答案為：2﹣a．
13．【解答】解：∵一組數據：8，4，5，4，a，7的平均數為5，
∴，
解得a＝2．
故答案為：2．
14．【解答】解：∵關于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均為常數，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，即的解為x1＝2，x2＝5；
令x+3＝y，
∴關于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k化為m（y﹣h）2＝k，
∵的解為x1＝2，x2＝5，
∴的解為y1＝2，y2＝5，即x+3＝2或x+3＝5，
∴x3＝﹣1，x4＝2，
∴關于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是x3＝﹣1，x4＝2，
故答案為：x3＝﹣1，x4＝2．
15．【解答】解：取AB的中點F，連接NF，MF，
∵∠CAB+∠CBA＝90°，
∵點M是AD的中點，
∴MF是△ABD的中位線，
∴，MF∥BD，
∴∠AFM＝∠CBA，
∵NF是△ABE的中位線，
∴，NF∥AE，
∴∠BFN＝∠BAC，
∴∠BFN+∠AFM＝∠BAC+∠CBA＝90°，
∴∠MFN＝90°，
∴MN2＝MF2+NF2，
∴MN2＝32+22＝13，
∴．
故答案為：．
16．【解答】解：ax2+（3a﹣2）x+2（a﹣2）＝0，
方程可變為：（ax+a﹣2）（x+2）＝0，
∴ax+a﹣2＝0或x+2＝0，
解得：，x＝﹣2，
∵a＞0，
∴，
∵x1＞x2，
∴，x2＝﹣2；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案為：﹣2；16．
三、解答題
17．【解答】解：（1）x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
則x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝1．
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2，
（3x﹣4）2﹣（4x﹣3）2＝0，
（3x﹣4+4x﹣3）（3x﹣4﹣4x+3）＝0，
（7x﹣7）（﹣x﹣1）＝0，
則7x﹣7＝0或﹣x﹣1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣1．
18．【解答】解：（1）原式＝263
；
（2）原式＝（2）2
＝2﹣22
＝2．
19．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4×1×3m
＝m2+10m+25﹣12m
＝m2﹣2m+25
＝（m﹣1）2+24，
∵（m﹣1）2≥0，
∴Δ＞0，
∴無論m取何值，此方程一定有實數根；
（2）解：∵方程一個根為5，
∴25﹣5（m+5）+3m＝0，
∴m＝0，
∴方程為x2﹣5x＝0，
∴x1＝0，x2＝5，
∴另一個根為0．
20．【解答】解：（1）調查的總人數為240÷40%＝600（人），
體育鍛煉為8天的有：600﹣240﹣120﹣150﹣30＝60（人），
參加體育鍛煉為5天的人數最多，所以眾數是5，
600人中，按照參加體育鍛煉的天數從少到多排列，第300人和301人都是6天，所以中位數是6；
故答案為：5，6；
（2）補全的條形統計圖如圖所示：
（3）1600640（名），
21．【解答】（1）證明：∵AD＝AB，AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴BC＝CD，
∴BC＝CD＝AD＝AB，
∴四邊形ABCD為菱形；
（2）解：如圖，連接CH，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC，
∵AB＝AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AE⊥CB，6
∴BE＝CE＝3，
∴AE，
∵AO＝OC，BE＝EC，
∴S△AOH＝S△OCH＝S△ECH＝S△BEH，
∴．
22．【解答】解：（1）設二、三這兩個月的月平均增長率為x，根據題意可得：
256（1+x）2＝400，
解得：x1，x2（不合題意舍去）．
答：二、三這兩個月的月平均增長率為25%；
（2）設當商品降價m元時，商品獲利4250元，根據題意可得：
（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合題意舍去）．
答：當商品降價5元時，商場獲利4250元．
23．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①證明：如圖，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵點E是正方形ABCD對角線上的點，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
連接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的邊長為3．
24．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵BE，BF分別為邊AD，CD上的高，
∴AD⊥BE，∠BFC＝90°，
∴BE⊥BC，
∴∠EBC＝90°＝∠BFC，
∴∠EBF+∠CBF＝90°＝∠C+∠CBF，
∴∠EBF＝∠C；
（2）證明：如圖2，延長EF，BC交于點H，
∵BF＝EF，
∴∠FEB＝∠FBE，
∵∠EBC＝90°，
∴∠FBH＝∠FHB，
∴BF＝FH，
∴EF＝FH，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCH，
在△EDF和△HCF中，
，
∴△EDF≌△HCF（AAS），
∴DF＝CF；
（3）解：分兩種情況：
①如圖3，點P在x軸的上方，過點P作PG⊥x軸于G，
∵點C坐標為，
∴BC，
∵BF⊥CD，DF＝CF，
∴BD＝BC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BE＝DE＝1，
∴S△BED1×1，
∵S△BCP＝S△BDE，
∴ PG，
∴PG，
∵E（0，1），C（，0），
設直線CE的解析式為：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直線CE的解析式為：yx+1，
當y時，x+1，
∴x1，
∴點P的坐標為（1，）；
如圖4，P在x軸的下方，過點P作PG⊥x軸于G，
由①可知：PG，直線CE的解析式為：yx+1，
當y時，x+1，
∴x1，
∴點P的坐標為（1，）；
綜上，點P的坐標為（1，）或（1，）．
25．【解答】解：（1）過點Q作QE⊥x軸，垂足為E，過點P作PF⊥x軸，垂足為F，如圖1，
聯立，
解得：或．
∵x＞0，
∴點P的坐標為（2，4）．
∴OF＝2，PF＝4．
∵QE⊥x軸，PF⊥x軸，
∴QE∥PF．
∵OP＝2OQ，
∴OF＝2OE＝2，PF＝2EQ＝4．
∴OE＝1，EQ＝2．
∴點Q的坐標為（1，2）．
∵點Q（1，2）在雙曲線y上，
∴k＝1×2＝2．
∴k的值為2；
（2）如圖2，
設點A的坐標為（a，b），
∵點A（a，b）在雙曲線y上，
∴b．
∵．AB∥x軸，AC∥y軸，
∴xC＝xA＝a，yB＝yA＝b．
∵點B、C在雙曲線y上，
∴xB，yC．
∴點B的坐標為（，），點C的坐標為（a，）．
∴AB＝aa，AC．
∴S△ABCAB AC
．
∴在點A運動過程中，△ABC的面積不變，始終等于．
（3）①AC為平行四邊形的一邊，
Ⅰ．當點B在點Q的右邊時，如圖3，
∵四邊形ACBD是平行四邊形，
∴AC∥BD，AC＝BD．
∴xD＝xB．
∴yD＝2xD．
∴DB．
∵AC，
∴．
解得：a＝±2．
經檢驗：a＝±2是該方程的解．
∵a＞0，
∴a＝2．
∴b．
∴點A的坐標為（2，）．
Ⅱ．當點B在點Q的左邊且點C在點Q的右邊時，如圖4，
∵四邊形ACDB是平行四邊形，
∴AC∥BD，AC＝BD．
∴xD＝xB．
∴yD＝2xD．
∴DB．
∵AC，
∴，
解得：a＝±2．
經檢驗：a＝±2是該方程的解．
∵a＞0，
∴a＝2．
∴b4．
∴點A的坐標為（2，4）；
②AC為平行四邊形的對角線，
此時點B、點C都在點Q的左邊，如圖5，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴yD＝yC．
∴xD．
∴CDa．
∵AB＝a，
∴a．
解得：a＝±．
經檢驗：a＝±是該方程的解．
∵a＞0，
∴a．
∴b4．
∴點A的坐標為（，4）．
綜上所述：當點A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形時，此時點A的坐標為（2，）或（2，4）或（，4）．
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