資源簡介

絕密★啟用前
2025年河南省普通高等學校招生全國統一考試考前模擬C
數 學
考生注意：
"愿你在即將到來的高考中，如同解答這套模擬試卷一般，既能沉穩應對每一個基礎知識點的考察，又能在面對復雜問題時展現出你的邏輯思維與創新能力，以從容不迫之態迎接挑戰，最終收獲理想的成績，邁向更加輝煌的未來。高考順利，夢想成真！"
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1．已知集合，，則的元素個數為
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如果與互為相反數，那么代數式的值是
A．1 B． C． D．
3．已知復數滿足：（，i為虛數單位），則
A．5 B． C． D．
4．在生物界中，部分昆蟲會通過向后跳躍的方式來躲避偷襲的天敵.已知某類昆蟲在水平方向上速度為v（單位：米/秒）時的跳躍高度H（單位：米）滿足，則該類昆蟲的最大跳躍高度為
A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米
5．已知函數是偶函數，則實數
A．е B．1 C．2 D．4
6．已知角滿足，則
A． B． C． D．
7．我國魏晉時期的數學家劉徽創造了一個稱為“牟合方蓋”的立體圖形來推算球的體積.如圖1，在一個棱長為的立方體內作兩個互相垂直的內切圓柱，其相交的部分就是牟合方蓋，如圖2，設平行于水平面且與水平面距離為h的平面為，記平面截牟合方蓋所得截面的面積為S，則函數的圖象是
A． B．
C． D．
8．已知是橢圓的右焦點，直線交于A，B兩點，若，則橢圓的離心率為
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知等差數列的首項為，公差為，前項和為，且是以1為公差的等差數列，則下列結論正確的是
A． B． C． D．
10．如圖，在的方格中，移動規則如下：每行均可左右移動，每列均可上下移動，每次僅能對某一行或某一列進行移動，其他行或列不變化．
例如：
下列的方格中，哪些圖形可由上圖經過4次移動得到
A． B．
C． D．
11．已知函數的定義域為，對于，都有，則
A． B．函數的圖象關于點中心對稱
C．函數的圖象關于直線對稱 D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若拋物線上一點P到焦點的距離為6，則點P到x軸的距離為 ．
13．設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是 ．
已知正四面體中，，，，.....，在線段上，且，過點作平行于直線，的平面，截面面積為，則所有截面面積之和為 ．
（參考公式：）
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
若△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，．
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)求△ABC的面積與周長．
16．（15分）
某農業興趣小組為探究不同肥料對植物生長的影響，選取長效肥和緩釋肥進行對比試驗。試驗設計如下：將同一種植物分為三組，分別施用長效肥（第1組）、緩釋肥（第2組）和未施肥（第3組，作為空白對照），在相同環境條件下培育一個季度。試驗結束后，從每組各隨機抽取20株植株，測量其株高，共獲得60個樣本數據。數據經整理后如下表所示：
株高（單位：厘米）
第1組（長效肥） 2 10 6 2
第2組（緩釋肥） 3 8 8 1
第3組（未施肥） 8 5 6 1
(Ⅰ)從第一組20株植物中隨機抽取2株，求至少有一株株高在內的概率;
(Ⅱ)為了進一步研究，從這三組植物中各隨機抽取1株，記這3株植物中恰有X株的株高在內，求X的分布列和數學期望（假設植物的生長情況相互獨立，用頻率估計概率）;
(Ⅲ)已知這三組植物的平均株高分別為，株高的方差分別為：，求樣本的平均數和方差．
17．（15分）
如圖，三棱臺中，，，，，，在底面內的射影為中點．
(Ⅰ)求三棱臺的體積;
(Ⅱ)求平面與平面夾角的正弦值．
（17分）
已知．
(Ⅰ)若，
(i)過點作曲線的兩條切線，求的取值范圍;
(ii)求不等式的解集;
(iii)在圖中畫出函數的大致圖象．（參考數據： e 2≈ 0.135）
(Ⅱ)若在區間內存在極小值點，求的取值范圍．
（17分）
已知離心率且焦點在軸上的序列橢圓，其中的一個焦點為．過上一點作的兩條弦，交于另兩點，且的內心在垂直于軸的一條直線上．
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)求直線的斜率;
(Ⅲ)若為坐標原點，當的面積為時，直線交軸于，證明：．
數學試題 第7頁（共4頁） 數學試題 第8頁（共4頁）1．
根據給定條件，求出集合 C 即可 .
集合 A {1 , 2} , B {2 , 4} ，則 C {x y∣ x A, y B} {2, 4, 8} ，所以集合 的元素個數為 3 個，選：
2．
根據已知代數式是相反數得出參數計算求值.
2
因為 a 2 0 b 1 0 互為相反數，所以 與 a 2 0, b 1 2 0 ，所以 a 2,b
1，那么代數式
a b 2025 2 1 2025 1 2025 1，選： .
3．
化簡 i4n 1，再利用復數的除法求得復數 z ，從而求出其模長.
∵i4n 1 i4n i i4 n i=1n i i，∴ z i4n 1 z i 1 2i ，∴ z 2 i ，∴| z | 22 12 5 ，選： .
4．
v2
求出 H v4 4 ，利用基本不等式可得答案.
由 v2 1 4HHv2 可知 v2 Hv4 4H ，且 v 0 ，故 H v4v 2 4 2 v42v4 14 ，當且僅當 v2 2 即 v 2 時等號
成立，即該
類昆蟲的最大跳躍高度為 0.25 米，選： .
f x f
直接由偶函數得到 x ，化簡求解即可.
5．
因為 f x 為偶函數，所以 f x f x ，所以 ln ae 2x 2 x a ln ae2x 2 x a，ln ae2x
2 ln ae 2x 2 2x，
2x， aaee 22xx 22 e2x ，ae2x 2 e2x ae 2x 2 ，ae2x 2 a 2e2x ， a 2 e2x a 2 ，所以 a 2，
ae 2 x 2
ln 選： ． ae 2x 2
6．
根據 ,2 ，即可由和差角公式求解.
cos cos cos cos sin sin sin sin 故 sin sin
，因此 cos 2 cos cos cos sin sin 選：
7．
首先由圖 1 得正方體的內切球也是“牟合方蓋”內切球，由圖 2 可知截面均為正方形，此正方形是平面截內切球
的截面圓的外接正方形，由此計算得到函數解析式，判斷選項.
正方體的內切球也是“牟合方蓋”內切球，用任意平行于水平平面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，并且此
正方形是平面截內切球的截面圓的外接正方形，內切球的半徑為 a，設截面圓的半徑為 r ，則 a h 2 r2 a2 ，解得： r2
a
h2 2ah ，設截面圓的外接正方形的邊長為 b ，則 b 2r ，正方形的面積 S b2 4r2 4h2 8ah ，h 0,2 ，由函
數形式可知，圖象應是開口向下的拋物線.
故選：
本題的關鍵是空間想象能力的考查，關鍵得到截面是一個正方形，以及與“牟合方蓋”內切球的關系.
8．
F1，由橢圓的對稱性可得四邊形 AFBF1為矩形，再根據方程聯立求得 B 53 c, 54
c ，再代入橢設橢圓的左焦點為
圓方程構造齊次式即可得解.
4
x2 y2 a b 0 關于原點對稱，直線 y 3 x 過原點，所以 A，B 關于原點對稱，設橢圓的左
如圖，因為橢圓 C : 2 b2 1
a
焦點為 F1，連接 AF1，BF1，由橢圓的對稱性可得 AF1 BF , BF1 AF ，所以四邊形 AFBF1為平行四邊形，又因為 AF
BF ，
則 y
AFBF1是矩形，所以 AF1 AF ，OA OF c，所以點 B在圓 x2 y2 c2上， x2 y243 xc2 ，解得
B 53 c, 54 c ，所以平行四邊形
代入橢圓方程 ax22 by2 1，又 b2 a2 c2，可得： 53 c2 2 25 4 c 22 1，設 e ac（ 0 e 1），則上式可
化為 925e2 2516 1e 2e2 1，
2
a a c
化簡可得 9e4
5
50e2 25 0 ，即 9e2 5 e2 5 0 ，因為 0 e 1，所以 9e2 5 0 ，解得 e . 所以橢圓 C 的離心率
5
為 .
3 3
選： .
9．
根據條件列出關于 a1和 d 的方程組，再結合選項，即可判斷.
由條件 S5 4a4 1 可知，5a1 10d 4a1 12d 1，得 a1 2d 1①，
2S 2S
1
數列 a n 是以 為公差的等差數列，所以 a22 2aS11 1，即 2aS22 3，即 4a1 d 3a1 d ，即 a1 d ②，
n
綜合①②可知，a1 d 1
n 1 n
S5 5a1 10d 15，an n，Sn ，所以 正確， 錯誤，選：
2
10．
先觀察選項各圖與原圖差異，進而決定移動的行或列即可.
對于 項，與原圖一致，有多種移動方式.
如圖 1，將第一行，向左移動四次即可.故 正確；
對于 項，只需移動前三列即可，如圖 2.
第一步：第一列向上移動一次，第一列已經符合；第二步：第二列向上移動一次；第三步：第二列向上移動一次，第二列已
經符合；第四步：第三列向下移動一次，第三列已經符合.故 正確；
對于 項，需要三步（或者 3 2n,n N步），如圖 3.
第一步：第三列向下移動一次，第三列已經符合；第二步：第一列向上移動一次；第三步：第一行向右移動一次，即可得到
圖象.
根據變換的性質，可知三步以后，要想得到 圖象，只能再進行偶數步變換（即先向任意方向移動一步，下一步再向相反方向
移動）才可以做到，所以需要 3 2n,n N步，4 步不能做到，故 項錯誤；
對于 項，如圖 4，第一步：第三行向左移動一次；第二步：第三行向左移動一次；第三步：第三列向上移動一次；第四步：
第三列向上移動一次，即可得到 圖象，故 正確.
選： .
注意觀察各選項與原圖之間的差距在哪行哪列或具體哪個數據，然后即可根據規則進行變換.
11．
f
令 x 1 求出 3 可判斷 ；利用 f 3x f 3 x 3，可判斷 ；利用 f 3x f 31 x
，可判斷 ；
3
設 g x f 3x f 3 x g 1 x ，又 g x f 3x 3 g x ，得 f 3x f 3x 2 ，可判斷
．
對于 ，令 x 1，則 f 1 f 3 3 f 1 ，可得 2 f 1 3，解得 f 1 , f 3 ，
1
故 正確；對于 ，由 f x f x 3 ，可得 f 3x f 3 x 3，所以函數 f 3x 的圖象關于
, 3
點 0 2 中心對稱，故 錯誤；
3 f 1
對于 ，由 f x f x 可得 f 3x f 31 x ，所以函數 3x 的圖象關于直線 x 2 對稱，故 正確；
3 1
對于 ，設 g x f 3x f x 3 x g 1 x ①，又 g x f 3 3 f 3 x 3 g x ②，
g x g x
由①②可得 1 3 ，所以 g 1 x 3 g x ，即 g x 2 3 g x 1 3 3 g x
g x ，所以 f 3x f 3x 2 ，
所以 f 3 f 33 f 35 f 32025 ， f 1 f 32 f 34 f 32024
2 025，所以 f 3i 3039 ，故 正確．
i 0
選： ．
12．4
x
根據拋物線的方程求出準線，再由拋物線定義求解即可. 拋物線方程 y 2 化為標準形式為 x2
8y，由拋物線的定義可知，點 P 到準線 y 2 的距離為 6，所以點 P 到 x 軸
8
的距離為 4．
13． ( , ] 根據題意，結合正弦函數的圖象和
性質即可求解.
π π
由題意，當 0 時，不能滿足在 0, 上極值點比零點多，當 0 時，因為 x 0, ，所以 x ( , π ) ，要
π π
使函數 f x sin x 3 在區間 0, 恰有三個極值點、兩個零點，由 y sin x 的部分圖象如下圖所示：
則 π 3π ，解得 ，即 ( , ]
2n2 4n
14． 3n 3
由正四面體的定義和線面垂直的判定與性質，推得 BD AC ，再作出截面 PkFEG，根據線面平行的性質可得四
邊形 PkFEG 為矩形，求得面積 ak 4 k 4k2 2 ，利用 12 22 n2 n n 1 2n 1 以及等差求和公式，結
合分組求和即
n 1 (n 1) 6
可求解.
過 Pk 作平行于 AC,BD 的平面分別交 AD,CD, BC 于 F,E,G，如圖，
由 AC / / 平面 PkFEG，且平面 ADC 平面 PkFEG FE，得 AC / /FE ，同理 AC / /PGk , BD / /PkF，BD / /GE ，則四邊形 PkFEG
為平行四邊形．過 A 作 AO BD，得 O 為 BD 的中點，連接 CO，則 CO BD，而 AO CO O ， AO,CO 平面 ACO，
于是 BD 平面 ACO，又 BD 平面 ACO，則 BD AC ，因此 EF GE ，四邊形 PkFEG 為矩形，由 Pk 為靠近 A 的第 k(k
N*) 個
等分點，得 n 1 k | PkF | k | BD |,| PGk| | AC | ，
n 1 n 1
則 ak | Pk F || PGk | nk 1| BD | nn 1 1k4k((nn 1)1 k ) (n 41) ] 4 k 4 k22 2 ，
| AC | 2 2 [k(n 1) k n 1 (n 1)
而 12 22 n2
n(n 1)(2n
1) ， 6
所以所有截面面積之和為：
a a a 4(1 2 3 n ) ( n 41) 2 (12 22 n 2 ) 4(2(nn 1)1)n (n 41) 2 n(n 1)(26 n 1)
23nn2 43n .
1 2 n
n 1
根據線面平行的性質以及線面垂直的性質可先證得四邊形 4k 4kPkFEG 為矩形，求解面積表達 a 2 k 2 ，
n 1 (n 1)
再分組求和得解.
15．(1) B
2 3
S
ABC ，a b c 2 23
先根據正弦定理將已知等式進行轉化，再結合已知條件求出 a 的值，最后利用余弦定理求出 B；
根據三角形面積公式求出面積，再將三邊相加得到周長.
a c
由正弦定理可得 sin A a ，sin C c ，將其代入 sin A sin C 1 4 中，得到 2R 2R 1 4 ，
2R 2R sin C sin A ac c a ac
2R 2R
4
化簡可得 a c 1 ，整理得 a2 c2 ac 4 .
c a ac
由 b 3c 2 ，得 c 2 2 3 .
3 3
2 3
所以 a2 233 2 a 3 4 ，即 a2 233 a 83 0 ，解得 a 433 或 a 233 （舍去）.
2 2
3
(2)
4 3 2 3
2
2 16 4
3 4 3 3 3
由余弦定理可得：
cos B 4 3 2 3 16
2 3 3 3
因為 0根據三角形面積公式，可得：
1 4 3 2 3 π 1 4 3 2 3 3 2 3
s in
2 ABCacsin 3 3 3 2 3 3 2 3 B
4 3 2 3
△ABC 的周長 L a 2 2 2 3 . b c
3 3
16．
根據排列組合求出事件 A 的概率.
分別算出從三組中抽取一株株高在特定區間的概率，確定 X 可能取值，根據獨立事件概率公式求出各取值的概率，進而
列出分布列并計算數學期望.
依據樣本平均數計算公式算出平均數；按照樣本方差計算方法，結合已知的各組平均數和方差，算出樣本方差.
C C C 29
設事件 A “從第一組 20 株植物中隨機抽取 2 株，至少有一株株高在(7,10]”，則 P(A) 101 101 102 2 ．
C20 38
X 的可能取值為 0,1,2,3，則
P(X 0) ， P(X 1)
，
P(X 2) ，
P(X 3) ，
X 的分布列為
X 0 1 2 3
P
S
E(X ) 0 1 2 3 ．
樣本的平均數為 (9.8 9.6 8.5) 9.3，所以樣本的方差為：
s2 601 20 xi 2 20 yi 2 20 zi 2 601 i20 1 xi x x 2 20 1 yi y y 2
20 1 zi z z 2 ，
i 1 i 1 i 1
又 20 xi x x 2 20 xi x 2 2(x ) 2 2 xi x 20 (x ) 20 210 i2 01 xi x 2 20(x )2 20
sx2 (x )2 ，
i 1 i 1 i 1 i 1
2 0 2 0
類似的， yi y y 2 20 s 2 (y )2 ， z z z 2 y i 20 s 2 z (z )2 成立，
i 1 i 1
1
所以 s2 3 s 2 s 2 s 2 (x )2
1
x y z (y )2 (z )2 3 (5.76 5.65 8.1 0.98) 6.83.
所以樣本的平均數為 9.3，方差為 6.83.
17．
取 BC 中點為 D，連接 A1D， AD，即可得到 A1D 為三棱臺的高，利用勾股定理求出 A1D，再由棱臺的
體積
公式計算可得； 以 AB ， AC 分別為 x，y 軸，過點 A 作 z 軸 平面 ABC ，建立空間直角坐標系，求出平面 ABB1A1
與平面 BCC1B1的法向量，利用空間向量法計算可得.
取 BC 中點為 D，連接 A1D，AD，由題意， A1D 為三棱臺的高，
因為 AC AB ， AB 8 ， AC 6 ，所以 BC 10 ，則 AD BC 5 ，
又因為 A1A 13，所以 A D 132 52 1 12，
2 因為
A1B1 4，且△ABC∽△A1B1C1， AA1BB1 12 ，所以 SS AABC1B C1 1
ABAB1 1 14 ，
所以△ABC 的面積為 6 8 24，則△ABC1 1 1的面積為 24 6 ，所以三棱臺的體積
為 12 (6 24 6 24) 168；
以 AB ， AC 分別為 x，y 軸，過點 A 作 z 軸 平面 ABC ，建立空間直角坐標系，
則 B 8,0,0 ，C 0,6,0 ，D 4,3,0 ， A1 4,3,12 ，
又 AB1 1 1 AB 4,0,0 ， A 1 C 1 1 A C 0,3,0 ，所以 B1 8,3,12 ，C1 4,6,12 ，
2 2

所以 AA1 4,3,12 ， AB 8,0,0 ， BC 8,6,0 ，CC1 4,0,12
設 n x, y, z 為平面 ABB1A1的法向量， n AA1 4x 3y 12z 0 ，取 n (0,4, 1) ；
n AB 8x 0



設 m x1, y1, z1 為平面 BCC1B1的法向量， m BC 8x1 6y1 0 ，取 m ( 3, 4,1) ，
m CC1 4x1 12z1 0

m n 17 17
設平面 ABB1A1與平面 BCC1B1夾角為 ，所以 cos n , m ，
m n 17 26 26
17 3 26
則 sin 1 cos 2 n , m 1 26 2 26 ，
所以平面 ABB1A1與平面 BCC1B1夾角的正弦值為 .
18．
, 1 m
（i）設切點為 x x ex ，問題可轉化為 x2 1 x 2m 1 0 有兩個實數根，求解即可；（ii）
f x x2 3x 2 x 1 ex 1 x 2 ，令 g x ex 1 x 2, x R，求導可得 g x g 1 0，進而可
求解； 求導得 f x x 2 ax 1 ex ，分 a 0,a 0,a 0 三種情況討論函數 y f x 的單調性，判斷極小值
點在 3, 1 內可求得的取值范圍.
f 1
當 xa 0 時， x ex ，
（i） f x x 2 ex ，設切點為 x, x 1 ex ， x 2 ex x 1 ex ，整理得 x2 1 m x
2m 1 0， x m
問題轉化為方程 x2 1 m x 2m 1 0 有兩個實數根， Δ (1 m)2 4 2m 1 m2 6m 5 0 ， m 5 或 m 1.
m 的取值范圍為 , 5 1, .
（ii） f x x2 3x 2 x 1 ex 1 x 2 . 令 g x ex 1 x 2, x R，則 g x ex 1 1，由
g x 0，得 x 1，當 x , 1 時， g x 0, g x 單調遞減，
當 x 1, 時， g x 0, g x 單調遞增，則 g x g 1 0.
故當 x 1 x 1 時， x 1 e x 2 0 ，當 x 1 時， x 1 ex 1 x 2 0 ，從而原不等式的解集為
1, .
f
（iii） x 函數 的大致圖象為：
由已知得 f x ax2 x 1 2ax 1 ex x 2 ax 1 ex
1o.若 a 0, f x x 2 ex ，當 x , 2 時， f
x 0, f x 在 , 2 上單調遞減，當
x 2, 時， f x 0, f x 在 2, 上單調
遞增，
y f x 在 x 2 取得最小值，符合題意.
2o.若 a 0 ，
1 1
i） 若 2 即 a ， a 2
1
當 x 2, a , f x 0, f x 在 2,
1 1
a 上單調遞減，當 x a , , f x
1
0, f x 在 a , 上單調遞增，
1 1 1
y f x 在 x 取得最小值， 1,a 1,
a 1 a a 2
1
ii） 當 2, f x (x 2)2ex 0, y f x 無極值，不符合題
意，
a iii）當 1a 2 即 a 0, 12 ，當
1
x a , 2 , f x 0, f x 在
1
a , 2 上單調遞減，當 x 2, , f x 0, f
x 在 2, 上單調遞增，
f x 在 x 2 取得極小值符合.
1
3o.若 a 0, 0，
a
當 x , 2 時， f x 0, f x 在 , 2 上單調遞減，
當 x 2, 1a 時， f x 0, f x 在 2, 1a 上單調遞增，
y f x 在 x 2 取得極小值，符合題意；
的取值范圍為
綜上所述：a , 12 12 ,1 .
19．
an 1 an an 1 2an ，可求數列 an 的通項公式；由
已知可得，進而可得 an 1
設 An x1, y1 , Bn x2, y2 , AnBn 的方程為 y kx b．聯立直線與橢圓方程，由根與系數的關系可得
4b k 2 b 2
x1 x2 1 2 k2 , x x 2 n n 1 2 1 2 k 2 ，由已知可得 kPPAn kPnBn 0 ，進而可得 2 k b 2n 1 (
2k 1) 0 ，計算可求直線 AnBn
的斜率；
6
求得 n 2 2 A B 2 ，可得 n n 1
2 2b ，結合三角形的面積可得 b2 2n cn21 1 2 n ，可證明結論.
2 a a
由 e
n 1 n
2 a n 1
，解得 an 1 2an ．
C2的一個焦點為(2,0) ， 4 a a n 2 3 2 2a2 a2,a2 4 ， an 4 2
2n ． 由 知 Cn : x2 2y2 2n 1．
Pn AnBn 的內心在垂直于 x 軸的一條直線上， kPPAn kPnBn 0 ．設 An x1, y1 , Bn x2, y2 , AnBn 的方
2
程為 y kx b．代入 Cn 中整理得： 1 2k2 x2 4bkx b2 2n 0 ．
Δ 16k2b2 8 1 2k2 b2 2n 0 ，即 2k2 1 2n 2 4b k b 0 ， x1 x2 1 2 k2 , x1x2
2 1b 22 k22n ， P 2n , 2n 1 ，
n
0
cn2 1 2n 2n 1 1 2n 2n 2n 1 1 ，
cn21 1 21n ，
n
i 1 c 1 21 1 212 213 21n 13 12
21n 65 ．則 2 1 c1
i

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