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2025 屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 青桐鳴大聯(lián)考(高三)
數(shù)學(xué) 參考答案
1. 【解析】易得 ,故 (0,5).
故選 B.
2. D 【解析】 7,故 .
故選 D.
3. A 【解析】易得 ,故 ,又 ,故 ,故 0,解得 ,故 .
故選 A.
4. 【解析】 時(shí), ,則對(duì)于任意的 恒成立, 時(shí), ,故 ,故 ,即 , 時(shí), ,故 ,故 ,即 1,綜上 . 驗(yàn)證 時(shí),符合題意.
故選 B.
5. B 【解析】 與 的圖象相切,設(shè)切點(diǎn)為 ,則 ,故 ,
由 ,即 ,將 代入上式,得 ,故 .
故選 B.
6. D 【解析】因?yàn)? 平面 ,所以 平面 ,故 ,同理, ,且易得 ,取 的中點(diǎn)為 ,則 ,故 為 的外接球的球心,且 為外接球的直徑,由 ,得 ,又 為四邊形 外接圓的直徑: ,設(shè)四棱錐 的外接球的半徑為 ,解得 . 故四棱錐 外接球的表面積為 .
故選 D.
7. 【解析】設(shè) , 的中點(diǎn)為 ,由 ,得
而
故 ,
即 ,
整理得 ,
因?yàn)? 的任意性,此不等式恒成立,
故 ,即 ,解得
故橢圓 的離心率的取值范圍為 .
故選 C.
8. 【解析】令 ,則由 ,得 ,故 ,由 ,可得 ,
故 . 又 ,
故 .
由 ,得 ,故
故選 C.
9. ABC 【解析】 ,故 ,故 正確;
,故 正確；
,故 正確; 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1, - 1)在第四象限, 故 D 錯(cuò)誤.
故選 ABC.
10. ABD 【解析】將 代入 ,
整理得 ,
,解得 ,故 A 正確;
將 代入雙曲線方程得: ,可得 ,即 ,故 正確;
,易得 . ,故 C 錯(cuò)誤;
設(shè)雙曲線的焦距為 ,則
又 ,
可得 ,則 .
故 ,故 正確. 故選 ABD.
11. AC 【解析】令 ,則 ,則 ,又 ,故 ,故 A 正確;
令 ,則 0,故 ,故 ,故 B 錯(cuò)誤;
由 ,得 ,故 ,令 ,則 ,且 ,取 ,則 ,故 為偶函數(shù),故 為奇函數(shù),故 正確;
由 中 ,可取 ,則 ,又 , 易知 時(shí), 單調(diào)遞減, , 時(shí), 單調(diào)遞增,故 錯(cuò)誤.
故選 AC.
12. 【解析】 的前 10 項(xiàng)為1,3,6,10,15,21, 28,36,45,55,共有 6 個(gè)奇數(shù),4 個(gè)偶數(shù),當(dāng)取到兩項(xiàng)為一奇一偶時(shí), 和為奇數(shù), 故和為奇數(shù)的概率為
13. 【解析】連接 , 與 交于點(diǎn) ,且易得 平面 ,又 ,則 平面 ,故 即為 在平面 上的射影, 即為所求的線面角,又 , ,故 .
14. 【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ,則 ,即
整理可得 ,
令 ,原條件等價(jià)于關(guān)于 的函數(shù) 有 3 個(gè)不同的零點(diǎn), 時(shí), 單調(diào)遞減,值域?yàn)? 時(shí), 單調(diào)遞增,值域?yàn)? 時(shí), 單調(diào)遞減,值域?yàn)? ,故 有 3 個(gè)零點(diǎn)等價(jià)
于 解得 ,而 ,故實(shí)數(shù)
的取值范圍為 .
15. 解: (1) 設(shè) ,
(1 分)
由 ,
得
(2 分)
解得 , (4 分)
又 ,即 , (5 分)
故 . (6 分)
(2)設(shè) 的內(nèi)切圓的半徑為 ,而 ,可得 , (7 分)
故 , (8 分)
故由 ,
(10 分)
解得 , (11 分)
故 ,
所以 的周長(zhǎng)為 15 . (13 分)
16. 解:(1)證明:因?yàn)樗倪呅? 是正方形,故 , (1 分)
而 ,又 平面 ,所以 平面 ,( 2 分) 又 平面 ,故 ,(3 分) 又 ,且 平面 ,故 平面 ,(4 分) 又 平面 ,所以 ,即 . (5 分)
(2)以 為坐標(biāo)原點(diǎn), 方向分別為 軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 , (8 分)
則 , , , (9 分)
設(shè)平面 的法向量為 ,
則 即
取 ,則 , (11 分)
設(shè)平面 的法向量為 ,
則
即
取 ,則 , (13 分)
所以 ,
(14 分)
故所求二面角的正弦值為 . (15 分)
17. 解: (1) 易得 有兩個(gè)零點(diǎn),
(1 分)
令 , (2 分)
當(dāng) 時(shí), , 單調(diào)遞減, 的值域?yàn)? ; (4 分) 當(dāng) 時(shí), , 單調(diào)遞增, 的值域?yàn)? , (6 分) 有兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于 ,
解得 ,故 的取值范圍為 , . (7 分)
(2) 證明: 由 (1) 知: ,且 (8 分)
故 ,
故 (12 分)
令
則 ,故 單調(diào)遞減, (14 分)
故 ,故 ,故原式得證. (15 分)
18. 解: (1) 設(shè)直線 ,
代入 ,得 , (1 分)
整理可得 , (2 分)
,解得 . (4 分)
(2) 證明: 由 (1) 知, ,設(shè)點(diǎn) , ,
則 ,
直線 的方程: ,
(6 分)
將 代入上式,化簡(jiǎn)得 (7 分)
故點(diǎn) 到直線 的距離為 化簡(jiǎn)得
同理 ,
故 是方程 0 的兩個(gè)根, (10 分)
易知 而同理可得 的方程為 (14 分)
到直線 的距離為
(16 分)
故對(duì)于 上的點(diǎn) ,總存在另外兩點(diǎn),使 為 的內(nèi)切圓. (17 分)
19. 解: . (5 分)
(2) 證明:
故 (6 分) (7 分) 而當(dāng) 時(shí), , , 故 ,
故
對(duì) ,要想使得 ,只需 ,即 ,只需取 ,其中 為 的整數(shù)部分,此時(shí) ,即 , 原命題得證. (10 分)
(3)當(dāng) 時(shí), ,
故 ,
故
則 , 被 9 整除,有 3 種情況: ① 被 9 整除; ② 被 9 整除; ③ 都能被 3 整除. 第③種情況: 若 都能被 3 整除,則 能被 3 整除,則 能被 3 整除, 顯然錯(cuò)誤, (14 分)
設(shè) 除以 9 的余數(shù)為 ,將 一一列出:1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,0,8,8,7,6,4,1,5,
發(fā)現(xiàn): , (15 分) 再由 的特點(diǎn): ,可知: , 將會(huì)重復(fù) 的排列次序,
故 是以 24 為周期的數(shù)列, (16 分)
在一個(gè)周期內(nèi), ,即 能被 9 整除,故所求概率為 . (17 分)2025 屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 青桐鳴大聯(lián)考(高三) 數(shù) 學(xué)
注意事項(xiàng):
1. 答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2. 回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3. 考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符 合題目要求的。
1. 已知集合 ,則
A. B.(0,5) C.(4,5) D.(1,4)
2. 已知 ,則
A. 1 B. 2 C. D.
3. 已知 ,則
A. B. C. D.
4. 已知對(duì)任意的 ,不等式 恒成立,則實(shí)數(shù)
A. 0 B. 1 C. D. -1
5. 已知曲線 的一條切線的方程為 ,則實(shí)數(shù)
A. 0 B. 1 C. -1 D.
6. 如圖,在四棱錐 中, 平面 ,則四棱錐 外接球的表面積為
A. B. C. D.
7. 已知橢圓 上有動(dòng)點(diǎn) 在任意位置時(shí),總存在橢圓上的另外兩點(diǎn) ,使 的重心為右焦點(diǎn) ,則橢圓 的離心率的取值范圍為
A. B. C. D.
8. 如圖, 是函數(shù) 的 3 個(gè)相鄰的零點(diǎn),且 ,則
A. B. C. D.
二、選擇題:本題共 3 小題,每小題 6 分,共 18 分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要 求。全部選對(duì)的得 6 分, 部分選對(duì)的得部分分, 有選錯(cuò)的得 0 分。
9. 已知復(fù)數(shù) 為虛數(shù)單位, 為 的共軛復(fù)數(shù),則下列說(shuō)法正確的有
A. B.
C. 是實(shí)數(shù) D. 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
10. 已知直線 與雙曲線 的圖象相切,雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為 ,左、右焦點(diǎn)分別為 . 若 是雙曲線上一點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的有
A. B.
C. 直線 和直線 的斜率的乘積為 D.
11. 若函數(shù) 滿足: ① 定義域?yàn)? ; ② ; ③ 對(duì) , ; ④ 不恒等于 0,則下列說(shuō)法一定正確的有
A. B.
C. 為奇函數(shù) D. 在 上, 單調(diào)遞增
三、填空題:本題共 3 小題,每小題 5 分,共 15 分。
12. 已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ,則從該數(shù)列的前 10 項(xiàng)中隨機(jī)取出不同的兩項(xiàng), 和為奇數(shù)的概率為_(kāi)____.
13. 如圖,在四棱臺(tái) 中, 平面 ,四邊形 為正方形, ,則直線 與平面 所成角的正弦值為_(kāi)____.
14. 已知對(duì)于 ,過(guò)點(diǎn)(a, b)可作曲線 的 3 條不同的切線,則實(shí)數(shù) 的取值范圍為_(kāi)____.
四、解答題:本題共 5 小題,共 77 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15.(13 分)
如圖, 的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 為 的角平分線,且交 于點(diǎn) ,且 .
(1)求 ；
(2)若 的內(nèi)切圓的半徑為 ,求 的周長(zhǎng).
16.(15 分)
在直三棱柱 中, .
(1) 證明: ;
(2)求二面角 的正弦值.
17.(15 分)
已知函數(shù) ,且 有兩個(gè)極值點(diǎn) .
(1)求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
(2) 證明: .
18.(17 分)
過(guò)點(diǎn) 且斜率存在的直線 交拋物線 于不同的兩點(diǎn) , ,且 .
(1) 求 ；
(2)已知 的半徑為 2,證明: 對(duì)于拋物線 上的動(dòng)點(diǎn) ,且 ,總存在拋物線 上的另外兩點(diǎn) ,使 為 的內(nèi)切圓.
19.(17 分)
已知數(shù)列 和常數(shù) 存在以下關(guān)系: 對(duì) ,當(dāng) 時(shí), ,則稱 為 的極限,若數(shù)列 的極限是 ,則稱數(shù)列 為 “超極限數(shù)列”. 已知數(shù)列 滿足: .
(1)寫(xiě)出 的前 5 項(xiàng)；
(2) 證明: 為 “超極限數(shù)列”;
(3) 若 ,從 中任取一項(xiàng),求該項(xiàng)能被 9 整除的概率.

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