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高二下學期數學人教A版（2019）期末模擬測試卷
學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、選擇題
1．下表是離散型隨機變量的概率分布,則( )
1 2 3 4
P
A. B. C. D.
2．新課程改革后，普通高校招生方案規定：每位考生從物理、化學、生物、地理、政治、歷史六門學科中隨機選三門參加考試.某省份規定物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有( )
A.12種 B.15種 C.16種 D.18種
3．已知隨機變量，若，則( )
A.0.16 B.0.23 C.0.32 D.0.18
4．若正整數a，b滿足等式，且，則( )
A.1 B.2 C.2022 D.2023
5．3月15日是國際消費者權益日.中央電視臺特地推出3.15公益晚會，曝光了食品、醫美、直播等多領域亂象，在很大程度上震懾了一些不良商家，也增強了消費者的維權意識.一名市民在某商店買了一只燈泡，結果用了兩個月就壞了，他撥打了12315投訴電話.通過調查，發現該商店將一些不合格燈泡混入一批合格燈泡中以次充好賣給顧客.假設合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.004，不合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.4，若混入的不合格燈泡數占燈泡總數的，現一顧客在該商店買一只燈泡，則該燈泡在使用1000小時后不會損壞的概率為( )
A.0.103 B.0.301 C.0.897 D.0.699
6．某公司的員工中,有是行政人員,有是技術人員,有是研發人員,其中的行政人員具有博士學歷,的技術人員具有博士學歷,的研發人員具有博士學歷,從具有博士學歷的員工中任選一人,則選出的員工是技術人員的概率為( )
A. B. C. D.
7．如圖，一只青蛙開始時位于數軸上原點的位置，每次向數軸的左側或右側隨機跳躍一個單位，記為第n次跳躍后對應數軸上的數字（，），則滿足，的跳躍方法有多少種( )
A.336 B.448 C.315 D.420
8．已知隨機變量，若使的值最大，則( )
A.6或7 B.7或8 C.5或6 D.7
二、多項選擇題
9．一個袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號分別為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號分別為7，8，9，10.現從中任取4個球，下列變量服從超幾何分布的是( )
A.X表示取出球的最大號碼
B.Y表示取出球的最小號碼
C.取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，Z表示取出的4個球的總得分
D.T表示取出的黑球個數
10．以下四個散點圖中，兩個變量的關系適合用線性回歸模型刻畫的是( )
A. B.
C. D.
11．為了解某新品種玉米的畝產量（單位：千克）情況，從種植區抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產量的樣本均值，樣本方差.已知原品種玉米的畝產量X服從正態分布，假設新品種玉米的畝產量Y服從正態分布，則( )
（若隨機變量Z服從正態分布，則）
A. B. C. D.
三、填空題
12．排列：一般地，從n個不同元素中取出個元素，并按照______________排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
13．設隨機變量服從正態分布，若，則______.
14．設集合，則集合A中滿足條件“”的元素個數為__________.
四、解答題
15．茶樹根據其茶葉產量可分為優質茶樹和非優質茶樹，某茶葉種植研究小組選取了甲、乙兩塊試驗田來檢驗某種茶樹在不同的環境條件下的生長情況.研究人員將100株該種茶樹幼苗在甲、乙兩塊試驗田中進行種植，成熟后統計每株茶樹的茶葉產量，將所得數據整理如下表所示：
優質茶樹 非優質茶樹
甲試驗田 a 25
乙試驗田 10 b
已知甲試驗田優質茶樹的比例為.
（1）求表中a，b的值.
（2）根據表中數據判斷，是否有的把握認為甲、乙兩塊試驗田的環境差異對茶樹的生長有影響？
附：，.
0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
16．小平、老金、大魏、小劉、小張和小徐共6人要排成一排拍照.
(1)若小張和小徐必須相鄰.則共有多少種排隊種數？
(2)若大魏和小劉不能相鄰,則共有多少種排隊種數？
(3)若小張和小徐必須相鄰,大魏和小劉不能相鄰,小平和老金不能相鄰,則共有多少種排隊種數？
17．在下面兩個條件中任選一個，補充在后面問題中的橫線上，并完成解答.
條件①：展開式前三項的二項式系數的和等于37；
條件②：第3項與第7項的二項式系數相等.
問題：在二項式的展開式中，已知__________.
（1）求展開式中二項式系數最大的項；
（2）設，求的值；
（3）求的展開式中的系數.
18．某社區開展“學黨史，知黨情”大型黨史知識競賽活動.競賽活動后，在參賽的人員中，隨機抽取了100名參賽人員的成績（滿分150分）進行統計分析，將所抽取的100名參賽人員的成績數據繪制成頻率分布直方圖如圖所示，直方圖中m，n的關系為，根據頻率分布直方圖中的信息解答下列問題.
（1）從成績在內的抽取的參賽人員中任取3人，求其中至少有2人的成績在內的概率.
（2）在所抽取的100人中，用分層抽樣的方法，分別從成績在，和內的參賽人員中共抽取9人，再從這9人中任取4人，設抽取的4人中成績在內的人數為，求的分布列和數學期望.
（3）若參賽人員共有1000人，現有某公司準備拿出一定資金，獎勵參賽人員中成績在120分及以上的參賽人員，并擬訂了兩種獎勵方案.方案一：人均獎勵333元；方案二：把成績在內的記為三等，成績在內的記為二等，成績在內的記為一等，并按等級每人分別獎勵200元、400元和600元.若你是競賽活動的負責人，用統計知識分析，你將選擇哪一種獎勵方案，并說明理由.
19．2019新型冠狀病毒引發的疫情被世界衛生組織列為國際關注的突發公共衛生事件.這種病毒可以通過飛沫進行傳播,具有較強的傳染性,由此導致大量的疑似病例產生,目前醫院主要采用核酸檢測法來判斷疑似病例是否真的感染這種病毒.假定疑似病例中隨機1人檢測結果呈陽性的概率為0.02,且每個人檢測是否呈陽性相互獨立.有人提出建議,利用分組檢測法可有效減少工作量,具體操作如下:將需要檢測的疑似病例隨機等分成若干組,并將每組送檢的樣本混在一起檢測(假設樣本混合后不影響原有樣本檢測的結果),若結果呈陰性,則可斷定本組樣本全部為陰性,不必再檢測;若結果呈陽性,則本組中至少有一個樣本呈陽性,再逐個檢測.
附:
0.941 0.922 0.904 0.886 0.868 0.851 0.834 0.817
(1)某醫院每天要完成40個疑似病例的樣本檢測.現有兩個分組方案:
方案一:將40人分成5組,每組8人.
方案二:將40人分成8組,每組5人.
試分析哪一個方案工作量更少.
(2)現采用題干所述的分組檢測法,以個人為1組,從平均每個人需要檢測次數的角度,說明取何值時最合適(由于每個醫院的人力有限,取太大值時沒有實際意義,所以限定().
(3)你能否給第(1)問中的醫院提供一個更加合理的方案,并說明理由.
參考答案
1．答案：B
解析：由題意可得：,解得,
所以.
故選：B.
2．答案：C
解析：若物理或歷史只選一門，則有（種）選法.若物理和歷史都選，則有（種）選法.所以共有（種）選法.故選C.
3．答案：B
解析：因為，所以正態密度曲線的對稱軸為直線，則.故選B.
4．答案：D
解析：
，
.故選D.
5．答案：C
解析：由全概率公式，可得任取一零件，
它是合格品的概率為.
故選：C.
6．答案：C
解析：設事件“選出的員工是行政人員”,“選出的員工是技術人員”,
“選出的員工是研發人員”,“選出的員工具有博士學歷”,
由題可知,,,,,,,
所以
,
,,
所以,
故選：C.
7．答案：B
解析：因為，所以或.
當，時，前8次向左跳躍6次，向右跳躍2次，后6次向右跳躍6次，
所以有種；
當，時，前8次向右跳躍6次，向左跳躍2次，后6次向左跳躍4次，向右跳躍2次，
所以有種.
綜上所述：滿足，的跳躍方法有種.
故選：B.
8．答案：A
解析：因為隨機變量，可得，其中，，
由，解得，
當時，可得，所以，
當時，可得，
所以和的值最大.
故選：A.
9．答案：CD
10．答案：AC
解析：四個選項中只有選項AC中的點分布在一條直線附近，適合線性回歸模型，
故選：AC
11．答案：ABC
解析：依題可知，.易得，故C正確，D錯誤.因為，所以，，故A正確.因為，所以，故B正確.
12．答案：一定的順序
解析：排列的定義中包含兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按服一定的順序排列”.（2）一個排列就是完成一件事的一種方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法.（3）從定義知，只有當元素完金相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列。元素不完全相同或元素完全相同而排列的順序不同的排列，都不是同一個排列.（4）在定義中“一定的順序”就是說與位置有關在實際問題中，究竟何時有關，何時無關，要由具體問題的性質和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區別.
13．答案：
解析：因為且，
所以，解得.
故答案為：
14．答案：18
解析：對于，分以下幾種情況：①，此時集合A中的元素含有一個2或，兩個0，2或可從三個位置選一個，有3種選法，剩下的位置都填0，這種情況有（個）元素；②，此時集合A中的元素含有兩個2，一個0，或兩個，一個0，或一個2，一個，一個0.若是兩個2或，一個0，則從三個位置任選一個填0，剩下的兩個位置都填2或，這種情況有（個）元素；若是一個2，一個，一個0，則對這三個數全排列，有（個）元素.綜上可知，集合A中滿足條件“”的元素個數為.
15．答案：（1）；
（2）有
解析：（1）甲試驗田優質茶樹的比例為，則，解得.
所以.
（2）由題意，得.
因為，所以有的把握認為甲、乙兩塊試驗田的環境差異對茶樹的生長有影響.
16．答案：(1)240;
(2)480;
(3)96.
解析：(1)若小張和小徐必須相鄰.則共有種;
(2)先將除大魏和小劉外的四人全排,則有種情況,可產生個空,再將大魏和小劉插空,則共有種;
(3)因為小張和小徐必須相鄰,則這兩人有種情況;
若先排大魏和小劉,再排小平和老金,則有種情況;
若先排小平和老金,再排大魏和小劉,則有種情況;
因此共有種排隊種數.
17．答案：（1）
（2）0
（3）560
解析：選擇①，由，解得.
選擇②，由，解得.
（1）展開式中二項式系數最大的項為.
（2）令，則，
令，則，所以.
（3）因為，
所以的展開式中含的項為，
所以展開式中的系數為560.
18．答案：（1）
（2）的分布列見解析，數學期望為
（3）見解析
解析：（1）因為，所以，
又，所以，，
所以成績在內的有5人，成績在內的有17人，
所以任取3人，至少有2人的成績在內的概率是.
（2）由題意成績在，和內的分別有32人、24人和16人，
因此，抽取的9人中成績在內的有4人，成績在內的有3人，成績在內的有2人，
所以的取值范圍為，
所以，，，
，，
所以的分布列為
0 1 2 3 4
P
.
（3）在所抽取的這100人的成績中，成績在，和內的人數分別為24，16和6，
所以方案一所需費用約為（元），
方案二所需費用約為（元）.
因為，因此，選擇方案一，既能使得獲獎人員得到的獎勵資金總額較多，又淡化了等級意識，可以更好地發揮激勵作用（也可以選擇方案二，既能相對的節約資金，又激勵等級競爭意識）.
19．答案：(1)設方案一中每組檢測的次數為，則的取值為1，9.
所以，
所以的分布列為
1 9
0.851 0.149
，
故方案一檢測次數的總期望值為.
設方案二中每組檢測的次數為,則的取值為1,6.
所以，
所以的分布列為
1 6
0.904 0.096
，
故方案二檢測次數的總期望值為.
因為,
所以方案一的工作量更少.
(2)由題意知，.如果這個人的檢測結果為陰性，則平均每個人需要檢測次；如果這個人的檢測結果為陽性，則平均每個人需要檢測次.設平均每個人需要檢測次,則
.
最合適的值要滿足，且取得最小值.
由，得，兩邊取對數，得，即.
令，則，當時,單調遞增.
由于，故當，時，.
.
令，則當且僅當，即時，取得最小值.
由于，
所以當或時，有可能取得最小值.
又，
，
故.
所以最合適的值為8.
(3)可以采用兩次分組的方案:第一次分4組，每組10人，對于任意一組，若第一次檢測結果為陰性,則不再檢測；若第一次檢測結果為陽性，則將這10人再次分為2組，每組5人.此時這2組分別進行一次檢測，則檢測結果為1陰1陽或2陽.若某小組的檢測結果為陽性，則需對該小組人員逐一檢測.
設該方案中每10人組檢測的總次數為，則的取值為1,8,13.
所以,
，
.
所以的分布列為
1 8 13
0.817 0.174 0.009
，
故該方案檢測次數的總期望值為.
因為，
所以該方案的工作量更少.
(該問答案不唯一，言之有理即可.)
解析：(1)方案一中每組檢測的次數為1或9,方案二中每組檢測的次數為1或6,分別求出兩種方案檢測次數的分布列和期望,進而求出總期望值,通過比較總期望值的大小可得結論;
(2)先求出平均每個人需檢測次數的表達式,然后利用函數求最值的方法進行求解;
(3)可以采用兩次分組的方案.

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