資源簡(jiǎn)介

廣東省廣州市荔灣區(qū)廣雅中學(xué)2025年中考二模考試數(shù)學(xué)試卷
1．（2025·荔灣模擬）氫、氧、碳、氮是重要的化學(xué)元素，下列選項(xiàng)中分別是它們的元素符號(hào)，其中可以看作是中心對(duì)稱圖形，但不能看作是軸對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·荔灣模擬）某科研團(tuán)隊(duì)通過電子顯微鏡測(cè)得人體紅細(xì)胞的平均直徑為米，該數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
3．（2025·荔灣模擬）下列圖形中，由，能得到的是（　　）．
A． B．
C． D．
4．（2025·荔灣模擬）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·荔灣模擬）對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義一種運(yùn)算“”：，那么不等式組，的解在數(shù)軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·荔灣模擬）下列命題是真命題的是（　　）
A．若中，，則
B．二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)
C．與是同類二次根式
D．已知，則
7．（2025·荔灣模擬）為弘揚(yáng)廣府飲食文化，某校開展“廣東點(diǎn)心制作”實(shí)踐活動(dòng)．已知甲組同學(xué)平均每小時(shí)比乙組多做個(gè)蝦餃，甲組制作個(gè)蝦餃所用的時(shí)間與乙組制作個(gè)蝦餃所用的時(shí)間相同．求甲、乙兩組同學(xué)平均每小時(shí)各做多少個(gè)蝦餃．若設(shè)乙組每小時(shí)做個(gè)蝦餃，可列出關(guān)于的方程為（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·荔灣模擬）在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，則的值為（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·荔灣模擬）在建筑設(shè)計(jì)的實(shí)踐中，常常會(huì)遇到四邊形結(jié)構(gòu)的建筑框架．現(xiàn)有一個(gè)四邊形建筑框架，其中和是兩條相互平行的建筑邊線，、作為兩條交叉的支撐結(jié)構(gòu)線，于點(diǎn)交匯，為整個(gè)建筑框架提供穩(wěn)固的支撐．設(shè)計(jì)師在進(jìn)行建筑材料分配以及裝飾設(shè)計(jì)規(guī)劃時(shí)，需要精準(zhǔn)把握各個(gè)三角形區(qū)域的面積比例．已知，則當(dāng)（　　）時(shí)，才能使與的面積之比為，以便為后續(xù)的建筑設(shè)計(jì)工作提供精確的數(shù)據(jù)支持．
A． B． C． D．
10．（2025·荔灣模擬）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形中，、為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且，小明用信息技術(shù)軟件開展研究，當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)線段與線段、、和之間存在相互變化關(guān)系，設(shè)長(zhǎng)度為，、、和的長(zhǎng)度分別為、、、，在平面直角坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)、、和的軌跡，則平面直角坐標(biāo)系中這四個(gè)軌跡分別對(duì)應(yīng)的圖象是（　　）．
A．④③①② B．③④①② C．③④②① D．④③②①
11．（2025·荔灣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則點(diǎn)在第　 　象限．
12．（2025·荔灣模擬）因式分解：　 　
13．（2025·荔灣模擬）如圖，在中，平分，且于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．那么的周長(zhǎng)為　 　．
14．（2025·荔灣模擬）受臺(tái)風(fēng)“摩羯”外圍環(huán)流影響，珠江口某大型水庫(kù)水位持續(xù)上升，防汛部門監(jiān)測(cè)到近小時(shí)內(nèi)水位將保持上漲趨勢(shì)．下表記錄了臺(tái)風(fēng)影響初期3小時(shí)內(nèi)5個(gè)時(shí)間點(diǎn)的水位數(shù)據(jù)，其中表示時(shí)間（單位：小時(shí)），表示水位高度（單位：米）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，寫出關(guān)于的函數(shù)解析式　 　，用于合理預(yù)估臺(tái)風(fēng)影響下的水位變化規(guī)律（不寫自變量取值范圍）．
（小時(shí)） 0 1 3
（米）
15．（2025·荔灣模擬）如圖，的直徑為4，、、在上，與交于點(diǎn)，若，，則劣弧的長(zhǎng)為　 　（結(jié)果保留π）．
16．（2025·荔灣模擬）直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，以為底作頂角為的等腰三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為　 　．
17．（2025·荔灣模擬）解方程組：．
18．（2025·荔灣模擬）如圖， 在中，，為的中點(diǎn)，，．求證：四邊形是菱形．
19．（2025·荔灣模擬）已知為整式，，化簡(jiǎn)后，．
（1）求整式；
（2）若是方程的根，求的值．
20．（2025·荔灣模擬）為了豐富校園文化生活，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，學(xué)校舉辦了一場(chǎng)精彩紛呈的校園科技節(jié)．在科技節(jié)中，設(shè)置了多個(gè)比賽項(xiàng)目，每個(gè)學(xué)生需要參與四個(gè)項(xiàng)目的角逐，其中項(xiàng)目、、為固定必選項(xiàng)目，項(xiàng)目和中隨機(jī)抽取一個(gè)．
（1）在參與科技節(jié)的眾多學(xué)生中，有一個(gè)小組的8名同學(xué)抽到了項(xiàng)目．他們?cè)谠擁?xiàng)目中的表現(xiàn)成績(jī)?nèi)缦拢?，6，8，9，10，5，8，7．這組成績(jī)的中位數(shù)是________，平均數(shù)是________；
（2）某班有50名學(xué)生，下表是各項(xiàng)目成績(jī)統(tǒng)計(jì)，則該班此次科技節(jié)的平均成績(jī)?yōu)開_______；
項(xiàng)目
測(cè)試人數(shù)（人） 50 50 50 30 20
單科平均成績(jī)（分） 9 8 7 8 9
（3）詩(shī)詩(shī)和妍妍是該班級(jí)的兩位同學(xué)，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的概率．
21．（2025·荔灣模擬）某中學(xué)開展“蓮韻文化”手工實(shí)踐活動(dòng)，同學(xué)們制作不同工藝等級(jí)的蓮花燈．基礎(chǔ)款為第1級(jí)，每盞利潤(rùn)10元，每天可制作50盞．每提升1個(gè)工藝等級(jí)，單盞利潤(rùn)增加2元，日產(chǎn)量減少4盞．
（1）若某天手工社團(tuán)獲得總利潤(rùn)588元請(qǐng)問他們制作的是第幾個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈（工藝等級(jí)從第1級(jí)開始依次遞增）？
（2）若社團(tuán)希望獲得最大日利潤(rùn)，應(yīng)選擇第幾工藝等級(jí)？此時(shí)最大日利潤(rùn)是多少元？
22．（2025·荔灣模擬）如圖，矩形中，，，連接，為線段上一點(diǎn)，于點(diǎn)．
（1）利用尺規(guī)在上作一點(diǎn)，使得沿翻折后點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)剛好落在射線上（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）連接，與線段交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．
23．（2025·荔灣模擬）如圖，雙曲線與直線在第一象限交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，．
（1）當(dāng)，時(shí)，求的值；
（2）連接，若時(shí)，求的值．
24．（2025·荔灣模擬）如圖，中，，，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且滿足連接，以為直徑作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）連接，若和相切，求線段的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)線段長(zhǎng)度最小時(shí)，求四邊形的面積．
25．（2025·荔灣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，把拋物線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到新的圖象，點(diǎn)在圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）當(dāng)以為直徑的有且只有一個(gè)與軸相切時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）已知，原拋物線圖象與旋轉(zhuǎn)后圖象的其中一個(gè)公共點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形
【解析】【解答】解：A、“H”是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、“O”是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、“C”是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、“N”不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意.
故答案為：D．
【分析】把一個(gè)平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)平面圖形，在平面內(nèi)繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與自身重合的圖形就是中心對(duì)稱圖形，根據(jù)定義即可逐一判斷得出答案.
2．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于0且小于1的數(shù)
【解析】【解答】解：米米，
故答案為：D．
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示大于0且小于1的數(shù)，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原數(shù)左邊第一個(gè)非0數(shù)字前面所有0的個(gè)數(shù)，包括小數(shù)點(diǎn)前面的那個(gè)0，據(jù)此解答即可.
3．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的判定
【解析】【解答】解：A、由得到，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、由不能確定直線平行，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、如圖，由，得到，即可根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到，故此選項(xiàng)符合題意；
D、由不能判定兩直線平行，不符合題意.
故答案為：C．
【分析】∠1與∠2是AD、BC被AC所截的一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，如果∠1=∠2，則AD∥BC，據(jù)此可判斷A選項(xiàng)；∠1與∠2是AB、CD被第三條直線所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，只有當(dāng)∠1+∠2=180°時(shí)，AB與CD才會(huì)平行，據(jù)此可判斷B選項(xiàng)；由對(duì)頂角相等及等量代換可得∠2=∠3，∠2與∠3是AB、CD被第三條直線所截得一對(duì)同位角，當(dāng)∠2=∠3時(shí)，AB∥CD，據(jù)此可判斷C選項(xiàng)；∠2與∠1不是兩條直線被第三條直線所截得一對(duì)角，即使相等，也判斷不出兩直線平行，據(jù)此可判斷D選項(xiàng).
4．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方公式及運(yùn)用；合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用；積的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，原式計(jì)算正確，符合題意；
C、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意.
故答案為：B．
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則“單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加”進(jìn)行計(jì)算可判斷A選項(xiàng)；由積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘即可判斷B選項(xiàng)；整式加法的實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)，所謂同類項(xiàng)就是所含字母相同，而且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，同類項(xiàng)與字母的順序沒有關(guān)系，與系數(shù)也沒有關(guān)系，合并同類項(xiàng)的時(shí)候，只需要將系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變，但不是同類項(xiàng)的一定就不能合并，從而即可判斷C選項(xiàng)；由完全平方公式的展開式是一個(gè)三項(xiàng)式，可判斷D選項(xiàng).
5．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：由題意得，不等式組即為不等式組，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式組的解集為，
數(shù)軸表示如下所示：
，
故答案為：A．
【分析】根據(jù)新定義可得不等式組，根據(jù)解不等式的步驟分別求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，進(jìn)而根據(jù)數(shù)軸上表示不等式組的解集的方法“大向右，小向左，實(shí)心等于，空心不等”將該不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來即可.
6．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；同類二次根式；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；含30°角的直角三角形；真命題與假命題
【解析】【解答】解：A、若中，，則或，原命題是假命題，不符合題意；
B、對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，，故二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，與軸有一個(gè)交點(diǎn)，故原命題為假命題，不符合題意；
C、與是同類二次根式，是真命題，符合題意；
D、∵，∴，原命題為假命題，不符合題意.
故答案為：C．
【分析】直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，由于沒有明確告知直角，故可能存在兩種情況，據(jù)此可判斷A選項(xiàng)；函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，且a≠0)，當(dāng)△=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，據(jù)此判斷出拋物線y=x2+3ax-1與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而再找出其與y軸交點(diǎn)，即可判斷B選項(xiàng)；將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)完全相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式，據(jù)此可判斷C選項(xiàng)；將已知等式兩邊同時(shí)平方，再展開整理即可判斷D選項(xiàng).
7．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】列分式方程
【解析】【解答】解：設(shè)乙組每小時(shí)做x個(gè)蝦餃，則甲組同學(xué)平均每小時(shí)做(x+15)個(gè)蝦餃，
根據(jù)題意，得，
故答案為： A．
【分析】設(shè)乙組每小時(shí)做x個(gè)蝦餃，則甲組同學(xué)平均每小時(shí)做(x+15)個(gè)蝦餃，根據(jù)工作總量除以工作效率等于工作時(shí)間及“ 甲組制作180個(gè)蝦餃所用的時(shí)間與乙組制作150個(gè)蝦餃所用的時(shí)間相同 ”列出方程即可.
8．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：作于點(diǎn)，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴；
故答案為：B．
【分析】利用方格紙的特點(diǎn)及勾股定理求出AB、AC的長(zhǎng)，作CD⊥AB于點(diǎn)D，利用割補(bǔ)法由△ABC所在直角梯形的面積分別減去△ABC周圍兩個(gè)直角三角形的面積可算出△ABC，根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求出CD，再利用正弦函數(shù)的定義，進(jìn)行求解即可．
9．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)面積
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵與的面積之比為，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案為：A．
【分析】由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊的延長(zhǎng)線，所截三角形與原三角形相似得△AOD∽△COB，由相似三角形面積之比等于相似比的平方得出，再根據(jù)同高三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)底之比得，設(shè)S△AOD=k，則，，由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得△ODC∽△CDB，進(jìn)而再根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方求解即可.
10．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)；動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四邊形為正方形，
∴，，
設(shè)長(zhǎng)度為，則，
∵、、和的長(zhǎng)度分別為、、、，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值1，
∴圖象③為點(diǎn)的軌跡；
∵，
當(dāng)時(shí)，取最小值1，當(dāng)時(shí)，取最大值，
延長(zhǎng)，取，連接，如圖所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
根據(jù)勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴圖象④為點(diǎn)的軌跡；
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取最小值1，當(dāng)時(shí)，取最大值，
∵，，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡在點(diǎn)的軌跡上面，
∴圖象②為點(diǎn)的軌跡；圖象①為點(diǎn)的軌跡；
綜上分析可知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、和的軌跡分別對(duì)應(yīng)的圖象是③④②①．
故答案為：C．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，設(shè)長(zhǎng)度為，則，利用勾股定理表示出，求出y1的最大與最小值可得圖象③為點(diǎn)的軌跡；延長(zhǎng)BA，取AG=CF，連接DG，首先利用SAS判斷出△ADG≌△CDF，得DG=DF，∠CDF=∠ADG，進(jìn)而可推出∠GDE=∠FDE，再用SAS判斷出△GDE≌△FDE，得EF=GE=AE+AG=AE+FC，設(shè)FC=m，則BF=1-m（0≤m≤1），EF=x+m，利用勾股定理建立方程可用含x的式子表示出m，從而可得，求出y2的最大與最小值可得圖象④為點(diǎn)的軌跡；用勾股定理表示出，，分別求出其最大最小值，然后比較出EB與CF的大小，即可得出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡在點(diǎn)的軌跡上面，故圖象②為點(diǎn)的軌跡；圖象①為點(diǎn)的軌跡.
11．【答案】四
【知識(shí)點(diǎn)】偶次方的非負(fù)性；點(diǎn)的坐標(biāo)與象限的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)，
∴點(diǎn)P在第四象限，
故答案為：四．
【分析】由偶數(shù)次冪的非負(fù)性可判斷出a2+2＞0，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與象限的關(guān)系：第一象限的點(diǎn)（+，+），第二象限的點(diǎn)（-，+），第三象限的點(diǎn)（-，-），第四象限的點(diǎn)（+，-）即可判斷得出答案.
12．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法
【解析】【解答】解；
，
故答案為：．
【分析】先提取各項(xiàng)的公因式2b，再利用完全平方公式繼續(xù)分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止.
13．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的概念；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：平分，
，
于，
，
，
，
又，
，，
，
，，
，，
，，
，
的周長(zhǎng)，
故答案為：．
【分析】由角平分線定義、垂直定義及三角形內(nèi)角和定理可推出∠A=∠B，由等角對(duì)等邊得BC=AC=4cm，由等腰三角形的三線合一得AD=1.5cm，由二直線平行，同位角相等（內(nèi)錯(cuò)角相等）得出∠EDC=∠BCD，∠ADE=∠B，則∠EDC=∠ACD，∠A=∠ADE，由等角對(duì)等邊得CE=AE=DE=2cm，從而根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算方法可算出答案.
14．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】用表格表示變量間的關(guān)系；用關(guān)系式表示變量間的關(guān)系
【解析】【解答】解：由表格可知，x每增加，y就增加，
，
故答案為：．
【分析】根據(jù)表格提供的x與y之間的變化關(guān)系可得：x每增加0.5，y就增加0.2，從而根據(jù)最終水位等于原來水位加上增加的水位，即可寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
15．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算；等腰三角形的性質(zhì)-等邊對(duì)等角
【解析】【解答】解：連接，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
的直徑為4，
劣弧的長(zhǎng)，
故答案為：．
【分析】連接OD、OE、BD，由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出，由等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOD=70°，由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求出，進(jìn)而再根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和定理得出，由角的和差算出∠DOE=105°，最后根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式“”計(jì)算即可．
16．【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—邊角關(guān)系
【解析】【解答】解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
，
如下圖：①當(dāng)點(diǎn)C在直線左側(cè)時(shí)，作軸于點(diǎn)E，作軸于點(diǎn)F，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
在中，設(shè)，
，
，
，
解得：，
，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
②當(dāng)點(diǎn)C在直線右側(cè)時(shí)，作C'I⊥x軸，作BI⊥c'i于點(diǎn)I，作C'H⊥y軸，作AH⊥C'H軸于點(diǎn)H，
同理，
，
在中，設(shè)，
，
，
，
，
解得：，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
故答案為：或．
【分析】 根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，分別令直線y=x+2中的x=0與y=0算出對(duì)應(yīng)的y與x的值，得點(diǎn)A(-2，0)，B(0，2)，則OA=OB=2，由等邊對(duì)對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和定理得出∠OAB=∠OBA=45°；分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在直線AB左側(cè)時(shí)，作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作CF⊥y軸于點(diǎn)F；由等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理可推出∠CAB=∠CBA=75°，由平角定義得出∠CAE=∠CBF=45°，從而用AAS判斷出△CAE≌△CBF，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得CE=CF；設(shè)AE=a，在Rt△ACE中，由∠CAE的正切函數(shù)及特殊銳角三角函數(shù)值表示出CE=a，則CF=a，然后根據(jù)OE=a+2建立方程可求出a的值，進(jìn)而即可得出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)C在直線AB右側(cè)時(shí)，作C'I⊥x軸，作BI⊥c'i于點(diǎn)I，作C'H⊥y軸，作AH⊥C'H軸于點(diǎn)H，同理求解即可.
17．【答案】解：，
由①，得：③；
把③代入②，得：，解得：；
把代入③，得：；
∴方程組的解為：．
【知識(shí)點(diǎn)】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】由于①方程未知數(shù)y的系數(shù)為“-1”，故此方程利用代入消元法求解較為簡(jiǎn)單；首先由①方程變形為用含x的式子表示y的形式得到③方程，然后將方程③代入②方程消去y求出x的值，進(jìn)而將x的值代入③方程求出y的值，從而得出原方程組的解.
18．【答案】證明：，，
四邊形是平行四邊形，
，為的中點(diǎn)，
，
四邊形是菱形 ．
【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定；菱形的判定；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【分析】由“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得出四邊形BCDE是平行四邊形，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BE=ED，從而根據(jù)“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”可得結(jié)論.
19．【答案】（1）解：
，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
∵分式有意義，
∴，，，，
當(dāng)時(shí)，
原式.
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程；分式的化簡(jiǎn)求值-擇值代入
【解析】【分析】（1）將第一個(gè)等式右邊第一個(gè)分式的分子利用提取公因式法分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，同時(shí)根據(jù)除以一個(gè)不為零的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ǎ缓笥?jì)算分式乘法，約分化簡(jiǎn)，最后再與題干給出的結(jié)果比較可得A的結(jié)果；
（2）先解一元二次方程求出x的值（把x-2看成一個(gè)整體，將方程右邊利用提取公因式法分解因式后整體移到方程的左邊，然后將方程的左邊合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)兩個(gè)因式的乘積等于零，則至少有一個(gè)因式為零，從而將方程降次為兩個(gè)一元一次方程，解兩個(gè)一元一次方程求出x的值，即可得到原方程的解），再結(jié)合分式有意義的條件把x=2代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式計(jì)算即可.
（1）解：
，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
∵分式有意義，
∴，，，，
當(dāng)時(shí)，
原式.
20．【答案】（1），
（2）
（3）解：設(shè)項(xiàng)目D、E，詩(shī)詩(shī)選項(xiàng)目有2種可能（選D或選E），妍妍選項(xiàng)目也有2種可能（選D或選E）．用列表法：
詩(shī)詩(shī) 妍妍 D E
D
E
總情況數(shù)種，她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的情況有、，共種．
∴她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的概率
【知識(shí)點(diǎn)】用列表法或樹狀圖法求概率；平均數(shù)及其計(jì)算；加權(quán)平均數(shù)及其計(jì)算；中位數(shù)
【解析】【解答】（1）解：將成績(jī)5，6，7，7，8，8，9，10從小到大排序．
∵數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，
∴中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)7和8的平均數(shù)，即
根據(jù)平均數(shù)公式
故答案為：，；
（2）解：總?cè)藬?shù)為50人． 項(xiàng)目A的加權(quán)分為；
項(xiàng)目B的加權(quán)分為；
項(xiàng)目C的加權(quán)分為；
項(xiàng)目D的加權(quán)分為；
項(xiàng)目E的加權(quán)分為
∴平均成績(jī)
故答案為：32.4；
【分析】（1）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或者從大到小）的順序排列后，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，則處在最中間的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，則處在最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；據(jù)此結(jié)合題意求解即可；運(yùn)用平均數(shù)公式，將所有數(shù)據(jù)相加再除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可；
（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式（其中是第i組數(shù)據(jù)的數(shù)值，是第i組數(shù)據(jù)的頻數(shù)）來計(jì)算；
（3）用列表法列出詩(shī)詩(shī)和妍妍選擇項(xiàng)目的所有可能情況，由表可知，所有等可能的情況數(shù)共有4種，其中她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的情況有，最后根據(jù)概率公式（n是總情況數(shù)，m是事件A發(fā)生的情況數(shù)）計(jì)算概率．
（1）解：將成績(jī)5，6，7，7，8，8，9，10從小到大排序．
∵數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，
∴中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)7和8的平均數(shù)，即
根據(jù)平均數(shù)公式
故答案為：，；
（2）解：總?cè)藬?shù)為50人． 項(xiàng)目A的加權(quán)分為；項(xiàng)目B的加權(quán)分為；項(xiàng)目C的加權(quán)分為；項(xiàng)目D的加權(quán)分為；項(xiàng)目E的加權(quán)分為
∴平均成績(jī)
（3）解：設(shè)項(xiàng)目D、E，詩(shī)詩(shī)選項(xiàng)目有2種可能（選D或選E），妍妍選項(xiàng)目也有2種可能（選D或選E）．
用列表法：
詩(shī)詩(shī) 妍妍 D E
D
E
總情況數(shù)種，她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的情況有、，共種．
∴她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的概率
21．【答案】（1）解：設(shè)他們制作的是第個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈，由題意，得：
，
解得：或（不合題意，舍去）；
答：他們制作的是第個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈；
（2）解：設(shè)總利潤(rùn)為，選擇第個(gè)工藝等級(jí)，
由題意，得：，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取的最大值，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
∵為整數(shù)，
∴時(shí)，；
時(shí)，；
故社團(tuán)希望獲得最大日利潤(rùn)，應(yīng)選擇第5工藝等級(jí)，最大利潤(rùn)為612元．
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設(shè)他們制作的是第x個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈，則每天制作的蓮花燈得數(shù)量為{50-4x-1)}盞，每個(gè)蓮花燈的利潤(rùn)為{10+2(x-1)]元，根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷量，列出方程進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)總利潤(rùn)為w，選擇第m個(gè)工藝等級(jí)，根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷量，列出二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合m為整數(shù)，求最值即可．
（1）解：設(shè)他們制作的是第個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈，由題意，得：
，
解得：或（不合題意，舍去）；
答：他們制作的是第個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈；
（2）設(shè)總利潤(rùn)為，選擇第個(gè)工藝等級(jí)，由題意，得：
，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取的最大值，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
∵為整數(shù)，
∴時(shí)，；
時(shí)，；
故社團(tuán)希望獲得最大日利潤(rùn)，應(yīng)選擇第5工藝等級(jí)，最大利潤(rùn)為612元．
22．【答案】（1）解：如圖所示，作的角平分線交于P，則點(diǎn)P即為所求；
由折疊的性質(zhì)可得，則平分；
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)G作于T，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∵平分，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴.
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；尺規(guī)作圖-作角的平分線；解直角三角形—邊角關(guān)系
【解析】【分析】（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法，作∠CDE的角平分線交BC于P，則點(diǎn)P即為所求；
（2）過點(diǎn)G作GT⊥CD于T，由矩形的性質(zhì)可得，在Rt△ACD中利用勾股定理算出AC，由正弦與余弦函數(shù)的定義分別求出∠ACD的余弦函數(shù)值及正弦函數(shù)值；在Rt△CDH中，由∠DCH的余弦函數(shù)可求出CH的長(zhǎng)，由角平分線的上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得GH=GT，在Rt△CTG中，由∠TCG的正弦函數(shù)用含CG的式子表示出GT，然后根據(jù)CH=GH+CG，建立方程，進(jìn)而解方程即可求出CG的長(zhǎng).
（1）解：如圖所示，作的角平分線交于P，則點(diǎn)P即為所求；
由折疊的性質(zhì)可得，則平分；
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)G作于T，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∵平分，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴；
23．【答案】（1）解：當(dāng)，時(shí)，，反比例函數(shù)為：
設(shè)其中，
∴AC=，OC=a，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入
∴
∴
令y=x+b中的x=0可得y=b，
∴B（0，）
∴0B=，
∴
解得：（負(fù)值舍去）
∴；
（2）解：如圖，
∵軸，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴，
∴，
將，代入
得
∴，
∴
∴
∴
解得：.
【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由已知易得反比例函數(shù)的解析式及四邊形ABOC的面積，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，設(shè)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可用含a的式子表示出b，進(jìn)而表示出梯形ACOB的面積，建立方程，解方程，即可求解；
（2）由二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出∠OAC=∠AOB=30°，進(jìn)而根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，得出OC=AO，在根據(jù)勾股定理用含OC的式子表示出AC，則可表示出A點(diǎn)坐標(biāo)，同（1）的方法，表示出梯形ACOB的面積，建立方程，解方程，即可求解．
（1）解：當(dāng)，時(shí)，
反比例函數(shù)為：
設(shè)其中，代入
∴
∴
∴
解得：（負(fù)值舍去）
∴
（2）解：如圖，
∵軸，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴，
∴，
將，代入
得
∴，
∴
∴
∴
解得：
24．【答案】（1）證明：∵為的直徑，
∴，
∵∠B=60°，
∴∠BEP=90°-∠B=30°，
∴；
（2）解：設(shè)，
∴，
∵和相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴是的中位線，
∴；
（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，
∴，，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∵，
∴OH∥PE，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，
此時(shí)，，，，，，，
∴，
連接，作于點(diǎn)，
則四邊形為矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形的面積．
【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì)；圓的綜合題；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角得，由直角三角形兩銳角互余，再利用30度角的直角三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）設(shè)，則，由圓的切線垂直經(jīng)過切點(diǎn)的半徑得∠BEG=90°，由直角三角形兩銳角互余求得∠BGE=30°，由含30°角直角三角形的性質(zhì)求得，BC=4，則，根據(jù)用兩個(gè)不同的式子表示同一個(gè)量，則這兩個(gè)式子相等建立方程，求得；從而可得BC=CG=4，BE=4，由三角形中位線定理求解即可；
（3）過點(diǎn)O作OH⊥BG于點(diǎn)H，設(shè)CG=AE=x，則BE=8-x，BG=4+x，由∠BEP的正弦和余弦函數(shù)可表示出BP、EP；由同位角相等，兩直線平行，得OH∥PE，由平行于三角形一邊得直線，截其它兩邊，所截三角形與原三角形相似得△GOH∽△GEP，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程表示出OH，進(jìn)而表示出PG、HG，CH、再利用勾股定理得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時(shí)，有最小值，利用勾股定理求得，連接ON，作OM⊥AC于點(diǎn)M，由三個(gè)內(nèi)角為直角的四邊形是矩形得四邊形OMCH是矩形，由矩形的對(duì)百年相等、利用垂徑定理和勾股定理求得，推出，由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形AEPN是平行四邊形，利用平行四邊形的面積公式即可求解．
（1）證明：∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：設(shè)，
∴，
∵和相切，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴是的中位線，
∴；
（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，
∴，，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，
此時(shí)，，，，，，，
∴，
連接，作于點(diǎn)，
則四邊形為矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形的面積．
25．【答案】（1）解：拋物線，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
即拋物線的對(duì)稱軸為直線．
（2）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在拋物線上，
，
由題意得，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，，
以為直徑的，
點(diǎn)在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
有且只有一個(gè)與軸相切，
軸，
，即，
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
整理得：，
，
解得：，，
當(dāng)，此時(shí)，
當(dāng)，此時(shí)，
點(diǎn)坐標(biāo)為或；
（3）解：令，則，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
在圖象上，
點(diǎn)與點(diǎn)重合，
，
代入到，得，
解得：，
拋物線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在拋物線上，
，
由（2）得，點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
，即，
解得：，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，有最小值；
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為．
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；切線的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【分析】（1）利用拋物線的對(duì)稱軸公式即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點(diǎn)坐標(biāo)為，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)定理得到軸，到，整理得到方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用求出和的值，即可解答；
（3）令拋物線解析式中的x=0算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可得點(diǎn)，得出點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)題意可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，則有，代入得到拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)有，點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)求出的范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
（1）解：拋物線，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
即拋物線的對(duì)稱軸為直線．
（2）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在拋物線上，
，
由題意得，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，，
以為直徑的，
點(diǎn)在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
有且只有一個(gè)與軸相切，
軸，
，即，
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
整理得：，
，
解得：，，
當(dāng)，此時(shí)，
當(dāng)，此時(shí)，
點(diǎn)坐標(biāo)為或．
（3）解：令，則，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
在圖象上，
點(diǎn)與點(diǎn)重合，
，
代入到，得，
解得：，
拋物線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在拋物線上，
，
由（2）得，點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
，即，
解得：，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，有最小值；
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為．
1 / 1廣東省廣州市荔灣區(qū)廣雅中學(xué)2025年中考二模考試數(shù)學(xué)試卷
1．（2025·荔灣模擬）氫、氧、碳、氮是重要的化學(xué)元素，下列選項(xiàng)中分別是它們的元素符號(hào)，其中可以看作是中心對(duì)稱圖形，但不能看作是軸對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形
【解析】【解答】解：A、“H”是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、“O”是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、“C”是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、“N”不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意.
故答案為：D．
【分析】把一個(gè)平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)平面圖形，在平面內(nèi)繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與自身重合的圖形就是中心對(duì)稱圖形，根據(jù)定義即可逐一判斷得出答案.
2．（2025·荔灣模擬）某科研團(tuán)隊(duì)通過電子顯微鏡測(cè)得人體紅細(xì)胞的平均直徑為米，該數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于0且小于1的數(shù)
【解析】【解答】解：米米，
故答案為：D．
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示大于0且小于1的數(shù)，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原數(shù)左邊第一個(gè)非0數(shù)字前面所有0的個(gè)數(shù)，包括小數(shù)點(diǎn)前面的那個(gè)0，據(jù)此解答即可.
3．（2025·荔灣模擬）下列圖形中，由，能得到的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的判定
【解析】【解答】解：A、由得到，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、由不能確定直線平行，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、如圖，由，得到，即可根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到，故此選項(xiàng)符合題意；
D、由不能判定兩直線平行，不符合題意.
故答案為：C．
【分析】∠1與∠2是AD、BC被AC所截的一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，如果∠1=∠2，則AD∥BC，據(jù)此可判斷A選項(xiàng)；∠1與∠2是AB、CD被第三條直線所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，只有當(dāng)∠1+∠2=180°時(shí)，AB與CD才會(huì)平行，據(jù)此可判斷B選項(xiàng)；由對(duì)頂角相等及等量代換可得∠2=∠3，∠2與∠3是AB、CD被第三條直線所截得一對(duì)同位角，當(dāng)∠2=∠3時(shí)，AB∥CD，據(jù)此可判斷C選項(xiàng)；∠2與∠1不是兩條直線被第三條直線所截得一對(duì)角，即使相等，也判斷不出兩直線平行，據(jù)此可判斷D選項(xiàng).
4．（2025·荔灣模擬）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方公式及運(yùn)用；合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用；積的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，原式計(jì)算正確，符合題意；
C、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意.
故答案為：B．
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則“單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加”進(jìn)行計(jì)算可判斷A選項(xiàng)；由積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘即可判斷B選項(xiàng)；整式加法的實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)，所謂同類項(xiàng)就是所含字母相同，而且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，同類項(xiàng)與字母的順序沒有關(guān)系，與系數(shù)也沒有關(guān)系，合并同類項(xiàng)的時(shí)候，只需要將系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變，但不是同類項(xiàng)的一定就不能合并，從而即可判斷C選項(xiàng)；由完全平方公式的展開式是一個(gè)三項(xiàng)式，可判斷D選項(xiàng).
5．（2025·荔灣模擬）對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義一種運(yùn)算“”：，那么不等式組，的解在數(shù)軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：由題意得，不等式組即為不等式組，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式組的解集為，
數(shù)軸表示如下所示：
，
故答案為：A．
【分析】根據(jù)新定義可得不等式組，根據(jù)解不等式的步驟分別求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，進(jìn)而根據(jù)數(shù)軸上表示不等式組的解集的方法“大向右，小向左，實(shí)心等于，空心不等”將該不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來即可.
6．（2025·荔灣模擬）下列命題是真命題的是（　　）
A．若中，，則
B．二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)
C．與是同類二次根式
D．已知，則
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；同類二次根式；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；含30°角的直角三角形；真命題與假命題
【解析】【解答】解：A、若中，，則或，原命題是假命題，不符合題意；
B、對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，，故二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，與軸有一個(gè)交點(diǎn)，故原命題為假命題，不符合題意；
C、與是同類二次根式，是真命題，符合題意；
D、∵，∴，原命題為假命題，不符合題意.
故答案為：C．
【分析】直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，由于沒有明確告知直角，故可能存在兩種情況，據(jù)此可判斷A選項(xiàng)；函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，且a≠0)，當(dāng)△=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，據(jù)此判斷出拋物線y=x2+3ax-1與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而再找出其與y軸交點(diǎn)，即可判斷B選項(xiàng)；將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)完全相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式，據(jù)此可判斷C選項(xiàng)；將已知等式兩邊同時(shí)平方，再展開整理即可判斷D選項(xiàng).
7．（2025·荔灣模擬）為弘揚(yáng)廣府飲食文化，某校開展“廣東點(diǎn)心制作”實(shí)踐活動(dòng)．已知甲組同學(xué)平均每小時(shí)比乙組多做個(gè)蝦餃，甲組制作個(gè)蝦餃所用的時(shí)間與乙組制作個(gè)蝦餃所用的時(shí)間相同．求甲、乙兩組同學(xué)平均每小時(shí)各做多少個(gè)蝦餃．若設(shè)乙組每小時(shí)做個(gè)蝦餃，可列出關(guān)于的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】列分式方程
【解析】【解答】解：設(shè)乙組每小時(shí)做x個(gè)蝦餃，則甲組同學(xué)平均每小時(shí)做(x+15)個(gè)蝦餃，
根據(jù)題意，得，
故答案為： A．
【分析】設(shè)乙組每小時(shí)做x個(gè)蝦餃，則甲組同學(xué)平均每小時(shí)做(x+15)個(gè)蝦餃，根據(jù)工作總量除以工作效率等于工作時(shí)間及“ 甲組制作180個(gè)蝦餃所用的時(shí)間與乙組制作150個(gè)蝦餃所用的時(shí)間相同 ”列出方程即可.
8．（2025·荔灣模擬）在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：作于點(diǎn)，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴；
故答案為：B．
【分析】利用方格紙的特點(diǎn)及勾股定理求出AB、AC的長(zhǎng)，作CD⊥AB于點(diǎn)D，利用割補(bǔ)法由△ABC所在直角梯形的面積分別減去△ABC周圍兩個(gè)直角三角形的面積可算出△ABC，根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求出CD，再利用正弦函數(shù)的定義，進(jìn)行求解即可．
9．（2025·荔灣模擬）在建筑設(shè)計(jì)的實(shí)踐中，常常會(huì)遇到四邊形結(jié)構(gòu)的建筑框架．現(xiàn)有一個(gè)四邊形建筑框架，其中和是兩條相互平行的建筑邊線，、作為兩條交叉的支撐結(jié)構(gòu)線，于點(diǎn)交匯，為整個(gè)建筑框架提供穩(wěn)固的支撐．設(shè)計(jì)師在進(jìn)行建筑材料分配以及裝飾設(shè)計(jì)規(guī)劃時(shí)，需要精準(zhǔn)把握各個(gè)三角形區(qū)域的面積比例．已知，則當(dāng)（　　）時(shí)，才能使與的面積之比為，以便為后續(xù)的建筑設(shè)計(jì)工作提供精確的數(shù)據(jù)支持．
A． B． C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)面積
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵與的面積之比為，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案為：A．
【分析】由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊的延長(zhǎng)線，所截三角形與原三角形相似得△AOD∽△COB，由相似三角形面積之比等于相似比的平方得出，再根據(jù)同高三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)底之比得，設(shè)S△AOD=k，則，，由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得△ODC∽△CDB，進(jìn)而再根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方求解即可.
10．（2025·荔灣模擬）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形中，、為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且，小明用信息技術(shù)軟件開展研究，當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)線段與線段、、和之間存在相互變化關(guān)系，設(shè)長(zhǎng)度為，、、和的長(zhǎng)度分別為、、、，在平面直角坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)、、和的軌跡，則平面直角坐標(biāo)系中這四個(gè)軌跡分別對(duì)應(yīng)的圖象是（　　）．
A．④③①② B．③④①② C．③④②① D．④③②①
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)；動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四邊形為正方形，
∴，，
設(shè)長(zhǎng)度為，則，
∵、、和的長(zhǎng)度分別為、、、，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值1，
∴圖象③為點(diǎn)的軌跡；
∵，
當(dāng)時(shí)，取最小值1，當(dāng)時(shí)，取最大值，
延長(zhǎng)，取，連接，如圖所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
根據(jù)勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴圖象④為點(diǎn)的軌跡；
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取最小值1，當(dāng)時(shí)，取最大值，
∵，，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡在點(diǎn)的軌跡上面，
∴圖象②為點(diǎn)的軌跡；圖象①為點(diǎn)的軌跡；
綜上分析可知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、和的軌跡分別對(duì)應(yīng)的圖象是③④②①．
故答案為：C．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，設(shè)長(zhǎng)度為，則，利用勾股定理表示出，求出y1的最大與最小值可得圖象③為點(diǎn)的軌跡；延長(zhǎng)BA，取AG=CF，連接DG，首先利用SAS判斷出△ADG≌△CDF，得DG=DF，∠CDF=∠ADG，進(jìn)而可推出∠GDE=∠FDE，再用SAS判斷出△GDE≌△FDE，得EF=GE=AE+AG=AE+FC，設(shè)FC=m，則BF=1-m（0≤m≤1），EF=x+m，利用勾股定理建立方程可用含x的式子表示出m，從而可得，求出y2的最大與最小值可得圖象④為點(diǎn)的軌跡；用勾股定理表示出，，分別求出其最大最小值，然后比較出EB與CF的大小，即可得出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡在點(diǎn)的軌跡上面，故圖象②為點(diǎn)的軌跡；圖象①為點(diǎn)的軌跡.
11．（2025·荔灣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則點(diǎn)在第　 　象限．
【答案】四
【知識(shí)點(diǎn)】偶次方的非負(fù)性；點(diǎn)的坐標(biāo)與象限的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)，
∴點(diǎn)P在第四象限，
故答案為：四．
【分析】由偶數(shù)次冪的非負(fù)性可判斷出a2+2＞0，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與象限的關(guān)系：第一象限的點(diǎn)（+，+），第二象限的點(diǎn)（-，+），第三象限的點(diǎn)（-，-），第四象限的點(diǎn)（+，-）即可判斷得出答案.
12．（2025·荔灣模擬）因式分解：　 　
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法
【解析】【解答】解；
，
故答案為：．
【分析】先提取各項(xiàng)的公因式2b，再利用完全平方公式繼續(xù)分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止.
13．（2025·荔灣模擬）如圖，在中，平分，且于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．那么的周長(zhǎng)為　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的概念；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：平分，
，
于，
，
，
，
又，
，，
，
，，
，，
，，
，
的周長(zhǎng)，
故答案為：．
【分析】由角平分線定義、垂直定義及三角形內(nèi)角和定理可推出∠A=∠B，由等角對(duì)等邊得BC=AC=4cm，由等腰三角形的三線合一得AD=1.5cm，由二直線平行，同位角相等（內(nèi)錯(cuò)角相等）得出∠EDC=∠BCD，∠ADE=∠B，則∠EDC=∠ACD，∠A=∠ADE，由等角對(duì)等邊得CE=AE=DE=2cm，從而根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算方法可算出答案.
14．（2025·荔灣模擬）受臺(tái)風(fēng)“摩羯”外圍環(huán)流影響，珠江口某大型水庫(kù)水位持續(xù)上升，防汛部門監(jiān)測(cè)到近小時(shí)內(nèi)水位將保持上漲趨勢(shì)．下表記錄了臺(tái)風(fēng)影響初期3小時(shí)內(nèi)5個(gè)時(shí)間點(diǎn)的水位數(shù)據(jù)，其中表示時(shí)間（單位：小時(shí)），表示水位高度（單位：米）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，寫出關(guān)于的函數(shù)解析式　 　，用于合理預(yù)估臺(tái)風(fēng)影響下的水位變化規(guī)律（不寫自變量取值范圍）．
（小時(shí)） 0 1 3
（米）
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】用表格表示變量間的關(guān)系；用關(guān)系式表示變量間的關(guān)系
【解析】【解答】解：由表格可知，x每增加，y就增加，
，
故答案為：．
【分析】根據(jù)表格提供的x與y之間的變化關(guān)系可得：x每增加0.5，y就增加0.2，從而根據(jù)最終水位等于原來水位加上增加的水位，即可寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
15．（2025·荔灣模擬）如圖，的直徑為4，、、在上，與交于點(diǎn)，若，，則劣弧的長(zhǎng)為　 　（結(jié)果保留π）．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算；等腰三角形的性質(zhì)-等邊對(duì)等角
【解析】【解答】解：連接，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
的直徑為4，
劣弧的長(zhǎng)，
故答案為：．
【分析】連接OD、OE、BD，由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出，由等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOD=70°，由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求出，進(jìn)而再根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和定理得出，由角的和差算出∠DOE=105°，最后根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式“”計(jì)算即可．
16．（2025·荔灣模擬）直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，以為底作頂角為的等腰三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為　 　．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—邊角關(guān)系
【解析】【解答】解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
，
如下圖：①當(dāng)點(diǎn)C在直線左側(cè)時(shí)，作軸于點(diǎn)E，作軸于點(diǎn)F，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
在中，設(shè)，
，
，
，
解得：，
，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
②當(dāng)點(diǎn)C在直線右側(cè)時(shí)，作C'I⊥x軸，作BI⊥c'i于點(diǎn)I，作C'H⊥y軸，作AH⊥C'H軸于點(diǎn)H，
同理，
，
在中，設(shè)，
，
，
，
，
解得：，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
故答案為：或．
【分析】 根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，分別令直線y=x+2中的x=0與y=0算出對(duì)應(yīng)的y與x的值，得點(diǎn)A(-2，0)，B(0，2)，則OA=OB=2，由等邊對(duì)對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和定理得出∠OAB=∠OBA=45°；分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在直線AB左側(cè)時(shí)，作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作CF⊥y軸于點(diǎn)F；由等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理可推出∠CAB=∠CBA=75°，由平角定義得出∠CAE=∠CBF=45°，從而用AAS判斷出△CAE≌△CBF，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得CE=CF；設(shè)AE=a，在Rt△ACE中，由∠CAE的正切函數(shù)及特殊銳角三角函數(shù)值表示出CE=a，則CF=a，然后根據(jù)OE=a+2建立方程可求出a的值，進(jìn)而即可得出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)C在直線AB右側(cè)時(shí)，作C'I⊥x軸，作BI⊥c'i于點(diǎn)I，作C'H⊥y軸，作AH⊥C'H軸于點(diǎn)H，同理求解即可.
17．（2025·荔灣模擬）解方程組：．
【答案】解：，
由①，得：③；
把③代入②，得：，解得：；
把代入③，得：；
∴方程組的解為：．
【知識(shí)點(diǎn)】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】由于①方程未知數(shù)y的系數(shù)為“-1”，故此方程利用代入消元法求解較為簡(jiǎn)單；首先由①方程變形為用含x的式子表示y的形式得到③方程，然后將方程③代入②方程消去y求出x的值，進(jìn)而將x的值代入③方程求出y的值，從而得出原方程組的解.
18．（2025·荔灣模擬）如圖， 在中，，為的中點(diǎn)，，．求證：四邊形是菱形．
【答案】證明：，，
四邊形是平行四邊形，
，為的中點(diǎn)，
，
四邊形是菱形 ．
【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定；菱形的判定；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【分析】由“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得出四邊形BCDE是平行四邊形，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BE=ED，從而根據(jù)“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”可得結(jié)論.
19．（2025·荔灣模擬）已知為整式，，化簡(jiǎn)后，．
（1）求整式；
（2）若是方程的根，求的值．
【答案】（1）解：
，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
∵分式有意義，
∴，，，，
當(dāng)時(shí)，
原式.
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程；分式的化簡(jiǎn)求值-擇值代入
【解析】【分析】（1）將第一個(gè)等式右邊第一個(gè)分式的分子利用提取公因式法分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，同時(shí)根據(jù)除以一個(gè)不為零的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ǎ缓笥?jì)算分式乘法，約分化簡(jiǎn)，最后再與題干給出的結(jié)果比較可得A的結(jié)果；
（2）先解一元二次方程求出x的值（把x-2看成一個(gè)整體，將方程右邊利用提取公因式法分解因式后整體移到方程的左邊，然后將方程的左邊合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)兩個(gè)因式的乘積等于零，則至少有一個(gè)因式為零，從而將方程降次為兩個(gè)一元一次方程，解兩個(gè)一元一次方程求出x的值，即可得到原方程的解），再結(jié)合分式有意義的條件把x=2代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式計(jì)算即可.
（1）解：
，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
∵分式有意義，
∴，，，，
當(dāng)時(shí)，
原式.
20．（2025·荔灣模擬）為了豐富校園文化生活，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，學(xué)校舉辦了一場(chǎng)精彩紛呈的校園科技節(jié)．在科技節(jié)中，設(shè)置了多個(gè)比賽項(xiàng)目，每個(gè)學(xué)生需要參與四個(gè)項(xiàng)目的角逐，其中項(xiàng)目、、為固定必選項(xiàng)目，項(xiàng)目和中隨機(jī)抽取一個(gè)．
（1）在參與科技節(jié)的眾多學(xué)生中，有一個(gè)小組的8名同學(xué)抽到了項(xiàng)目．他們?cè)谠擁?xiàng)目中的表現(xiàn)成績(jī)?nèi)缦拢?，6，8，9，10，5，8，7．這組成績(jī)的中位數(shù)是________，平均數(shù)是________；
（2）某班有50名學(xué)生，下表是各項(xiàng)目成績(jī)統(tǒng)計(jì)，則該班此次科技節(jié)的平均成績(jī)?yōu)開_______；
項(xiàng)目
測(cè)試人數(shù)（人） 50 50 50 30 20
單科平均成績(jī)（分） 9 8 7 8 9
（3）詩(shī)詩(shī)和妍妍是該班級(jí)的兩位同學(xué)，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的概率．
【答案】（1），
（2）
（3）解：設(shè)項(xiàng)目D、E，詩(shī)詩(shī)選項(xiàng)目有2種可能（選D或選E），妍妍選項(xiàng)目也有2種可能（選D或選E）．用列表法：
詩(shī)詩(shī) 妍妍 D E
D
E
總情況數(shù)種，她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的情況有、，共種．
∴她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的概率
【知識(shí)點(diǎn)】用列表法或樹狀圖法求概率；平均數(shù)及其計(jì)算；加權(quán)平均數(shù)及其計(jì)算；中位數(shù)
【解析】【解答】（1）解：將成績(jī)5，6，7，7，8，8，9，10從小到大排序．
∵數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，
∴中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)7和8的平均數(shù)，即
根據(jù)平均數(shù)公式
故答案為：，；
（2）解：總?cè)藬?shù)為50人． 項(xiàng)目A的加權(quán)分為；
項(xiàng)目B的加權(quán)分為；
項(xiàng)目C的加權(quán)分為；
項(xiàng)目D的加權(quán)分為；
項(xiàng)目E的加權(quán)分為
∴平均成績(jī)
故答案為：32.4；
【分析】（1）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或者從大到小）的順序排列后，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，則處在最中間的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，則處在最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；據(jù)此結(jié)合題意求解即可；運(yùn)用平均數(shù)公式，將所有數(shù)據(jù)相加再除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可；
（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式（其中是第i組數(shù)據(jù)的數(shù)值，是第i組數(shù)據(jù)的頻數(shù)）來計(jì)算；
（3）用列表法列出詩(shī)詩(shī)和妍妍選擇項(xiàng)目的所有可能情況，由表可知，所有等可能的情況數(shù)共有4種，其中她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的情況有，最后根據(jù)概率公式（n是總情況數(shù)，m是事件A發(fā)生的情況數(shù)）計(jì)算概率．
（1）解：將成績(jī)5，6，7，7，8，8，9，10從小到大排序．
∵數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，
∴中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)7和8的平均數(shù)，即
根據(jù)平均數(shù)公式
故答案為：，；
（2）解：總?cè)藬?shù)為50人． 項(xiàng)目A的加權(quán)分為；項(xiàng)目B的加權(quán)分為；項(xiàng)目C的加權(quán)分為；項(xiàng)目D的加權(quán)分為；項(xiàng)目E的加權(quán)分為
∴平均成績(jī)
（3）解：設(shè)項(xiàng)目D、E，詩(shī)詩(shī)選項(xiàng)目有2種可能（選D或選E），妍妍選項(xiàng)目也有2種可能（選D或選E）．
用列表法：
詩(shī)詩(shī) 妍妍 D E
D
E
總情況數(shù)種，她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的情況有、，共種．
∴她倆參賽的四個(gè)項(xiàng)目不完全相同的概率
21．（2025·荔灣模擬）某中學(xué)開展“蓮韻文化”手工實(shí)踐活動(dòng)，同學(xué)們制作不同工藝等級(jí)的蓮花燈．基礎(chǔ)款為第1級(jí)，每盞利潤(rùn)10元，每天可制作50盞．每提升1個(gè)工藝等級(jí)，單盞利潤(rùn)增加2元，日產(chǎn)量減少4盞．
（1）若某天手工社團(tuán)獲得總利潤(rùn)588元請(qǐng)問他們制作的是第幾個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈（工藝等級(jí)從第1級(jí)開始依次遞增）？
（2）若社團(tuán)希望獲得最大日利潤(rùn)，應(yīng)選擇第幾工藝等級(jí)？此時(shí)最大日利潤(rùn)是多少元？
【答案】（1）解：設(shè)他們制作的是第個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈，由題意，得：
，
解得：或（不合題意，舍去）；
答：他們制作的是第個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈；
（2）解：設(shè)總利潤(rùn)為，選擇第個(gè)工藝等級(jí)，
由題意，得：，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取的最大值，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
∵為整數(shù)，
∴時(shí)，；
時(shí)，；
故社團(tuán)希望獲得最大日利潤(rùn)，應(yīng)選擇第5工藝等級(jí)，最大利潤(rùn)為612元．
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設(shè)他們制作的是第x個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈，則每天制作的蓮花燈得數(shù)量為{50-4x-1)}盞，每個(gè)蓮花燈的利潤(rùn)為{10+2(x-1)]元，根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷量，列出方程進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)總利潤(rùn)為w，選擇第m個(gè)工藝等級(jí)，根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷量，列出二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合m為整數(shù)，求最值即可．
（1）解：設(shè)他們制作的是第個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈，由題意，得：
，
解得：或（不合題意，舍去）；
答：他們制作的是第個(gè)工藝等級(jí)的蓮花燈；
（2）設(shè)總利潤(rùn)為，選擇第個(gè)工藝等級(jí)，由題意，得：
，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取的最大值，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
∵為整數(shù)，
∴時(shí)，；
時(shí)，；
故社團(tuán)希望獲得最大日利潤(rùn)，應(yīng)選擇第5工藝等級(jí)，最大利潤(rùn)為612元．
22．（2025·荔灣模擬）如圖，矩形中，，，連接，為線段上一點(diǎn)，于點(diǎn)．
（1）利用尺規(guī)在上作一點(diǎn)，使得沿翻折后點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)剛好落在射線上（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）連接，與線段交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．
【答案】（1）解：如圖所示，作的角平分線交于P，則點(diǎn)P即為所求；
由折疊的性質(zhì)可得，則平分；
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)G作于T，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∵平分，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴.
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；尺規(guī)作圖-作角的平分線；解直角三角形—邊角關(guān)系
【解析】【分析】（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法，作∠CDE的角平分線交BC于P，則點(diǎn)P即為所求；
（2）過點(diǎn)G作GT⊥CD于T，由矩形的性質(zhì)可得，在Rt△ACD中利用勾股定理算出AC，由正弦與余弦函數(shù)的定義分別求出∠ACD的余弦函數(shù)值及正弦函數(shù)值；在Rt△CDH中，由∠DCH的余弦函數(shù)可求出CH的長(zhǎng)，由角平分線的上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得GH=GT，在Rt△CTG中，由∠TCG的正弦函數(shù)用含CG的式子表示出GT，然后根據(jù)CH=GH+CG，建立方程，進(jìn)而解方程即可求出CG的長(zhǎng).
（1）解：如圖所示，作的角平分線交于P，則點(diǎn)P即為所求；
由折疊的性質(zhì)可得，則平分；
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)G作于T，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∵平分，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴；
23．（2025·荔灣模擬）如圖，雙曲線與直線在第一象限交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，．
（1）當(dāng)，時(shí)，求的值；
（2）連接，若時(shí)，求的值．
【答案】（1）解：當(dāng)，時(shí)，，反比例函數(shù)為：
設(shè)其中，
∴AC=，OC=a，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入
∴
∴
令y=x+b中的x=0可得y=b，
∴B（0，）
∴0B=，
∴
解得：（負(fù)值舍去）
∴；
（2）解：如圖，
∵軸，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴，
∴，
將，代入
得
∴，
∴
∴
∴
解得：.
【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由已知易得反比例函數(shù)的解析式及四邊形ABOC的面積，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，設(shè)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可用含a的式子表示出b，進(jìn)而表示出梯形ACOB的面積，建立方程，解方程，即可求解；
（2）由二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出∠OAC=∠AOB=30°，進(jìn)而根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，得出OC=AO，在根據(jù)勾股定理用含OC的式子表示出AC，則可表示出A點(diǎn)坐標(biāo)，同（1）的方法，表示出梯形ACOB的面積，建立方程，解方程，即可求解．
（1）解：當(dāng)，時(shí)，
反比例函數(shù)為：
設(shè)其中，代入
∴
∴
∴
解得：（負(fù)值舍去）
∴
（2）解：如圖，
∵軸，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴，
∴，
將，代入
得
∴，
∴
∴
∴
解得：
24．（2025·荔灣模擬）如圖，中，，，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且滿足連接，以為直徑作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）連接，若和相切，求線段的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)線段長(zhǎng)度最小時(shí)，求四邊形的面積．
【答案】（1）證明：∵為的直徑，
∴，
∵∠B=60°，
∴∠BEP=90°-∠B=30°，
∴；
（2）解：設(shè)，
∴，
∵和相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴是的中位線，
∴；
（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，
∴，，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∵，
∴OH∥PE，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，
此時(shí)，，，，，，，
∴，
連接，作于點(diǎn)，
則四邊形為矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形的面積．
【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì)；圓的綜合題；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角得，由直角三角形兩銳角互余，再利用30度角的直角三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）設(shè)，則，由圓的切線垂直經(jīng)過切點(diǎn)的半徑得∠BEG=90°，由直角三角形兩銳角互余求得∠BGE=30°，由含30°角直角三角形的性質(zhì)求得，BC=4，則，根據(jù)用兩個(gè)不同的式子表示同一個(gè)量，則這兩個(gè)式子相等建立方程，求得；從而可得BC=CG=4，BE=4，由三角形中位線定理求解即可；
（3）過點(diǎn)O作OH⊥BG于點(diǎn)H，設(shè)CG=AE=x，則BE=8-x，BG=4+x，由∠BEP的正弦和余弦函數(shù)可表示出BP、EP；由同位角相等，兩直線平行，得OH∥PE，由平行于三角形一邊得直線，截其它兩邊，所截三角形與原三角形相似得△GOH∽△GEP，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程表示出OH，進(jìn)而表示出PG、HG，CH、再利用勾股定理得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時(shí)，有最小值，利用勾股定理求得，連接ON，作OM⊥AC于點(diǎn)M，由三個(gè)內(nèi)角為直角的四邊形是矩形得四邊形OMCH是矩形，由矩形的對(duì)百年相等、利用垂徑定理和勾股定理求得，推出，由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形AEPN是平行四邊形，利用平行四邊形的面積公式即可求解．
（1）證明：∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：設(shè)，
∴，
∵和相切，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴是的中位線，
∴；
（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，
∴，，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，
此時(shí)，，，，，，，
∴，
連接，作于點(diǎn)，
則四邊形為矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形的面積．
25．（2025·荔灣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，把拋物線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到新的圖象，點(diǎn)在圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）當(dāng)以為直徑的有且只有一個(gè)與軸相切時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）已知，原拋物線圖象與旋轉(zhuǎn)后圖象的其中一個(gè)公共點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍．
【答案】（1）解：拋物線，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
即拋物線的對(duì)稱軸為直線．
（2）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在拋物線上，
，
由題意得，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，，
以為直徑的，
點(diǎn)在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
有且只有一個(gè)與軸相切，
軸，
，即，
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
整理得：，
，
解得：，，
當(dāng)，此時(shí)，
當(dāng)，此時(shí)，
點(diǎn)坐標(biāo)為或；
（3）解：令，則，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
在圖象上，
點(diǎn)與點(diǎn)重合，
，
代入到，得，
解得：，
拋物線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在拋物線上，
，
由（2）得，點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
，即，
解得：，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，有最小值；
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為．
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；切線的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【分析】（1）利用拋物線的對(duì)稱軸公式即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點(diǎn)坐標(biāo)為，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)定理得到軸，到，整理得到方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用求出和的值，即可解答；
（3）令拋物線解析式中的x=0算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可得點(diǎn)，得出點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)題意可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，則有，代入得到拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)有，點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)求出的范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
（1）解：拋物線，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
即拋物線的對(duì)稱軸為直線．
（2）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在拋物線上，
，
由題意得，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，，
以為直徑的，
點(diǎn)在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
有且只有一個(gè)與軸相切，
軸，
，即，
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
整理得：，
，
解得：，，
當(dāng)，此時(shí)，
當(dāng)，此時(shí)，
點(diǎn)坐標(biāo)為或．
（3）解：令，則，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
在圖象上，
點(diǎn)與點(diǎn)重合，
，
代入到，得，
解得：，
拋物線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在拋物線上，
，
由（2）得，點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
，即，
解得：，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，有最小值；
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為．
1 / 1

展開更多......

收起↑