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廣東省佛山市順德區2025年中考二模數學試卷
1．（2025·順德模擬）的絕對值是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】A
【知識點】求有理數的絕對值的方法
【解析】【解答】解：的絕對值是，
故答案為：A．
【分析】利用絕對值的定義解答即可．
2．（2025·順德模擬）在平面直角坐標系中，點所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：在平面直角坐標系中，點在第四象限．
故選：D.
【分析】本題考查了平面直角坐標系每一個象限點的坐標特征，其中第四象限的點橫坐標為正，縱坐標為負，據此解答，即可求解．
3．（2025·順德模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】同底數冪的除法；完全平方公式及運用；負整數指數冪；合并同類項法則及應用
【解析】【解答】解：A、，故該選項不符合題意；
B、，故該選項不符合題意；
C、，故該選項符合題意；
D、，故該選項不符合題意.
故答案為：C．
【分析】整式加法的實質就是合并同類項，所謂同類項就是所含字母相同，而且相同字母的指數也分別相同的項，同類項與字母的順序沒有關系，與系數也沒有關系，合并同類項的時候，只需要將系數相加減，字母和字母的指數不變，但不是同類項的一定就不能合并，從而即可判斷A選項；根據同底數冪的除法，底數不變，指數相減即可判斷B選項；由完全平方公式的展開式是一個三項式（首平方、尾平方，積的2倍放中央）可判斷C選項；由負整數指數冪的性質“”可判斷D選項.
4．（2025·順德模擬）如圖，若，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】對頂角及其性質；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：如圖：
∵，
∴，
∴，
故答案為：B．
【分析】根據對頂角相等得到，再由兩直線平行同旁內角互補得到，從而代值計算可得答案.
5．（2025·順德模擬）若點，在一次函數的圖象上，則與的大小關系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】一次函數的性質；比較一次函數值的大小
【解析】【解答】解：∵在一次函數中，自變量系數，
∴在一次函數中，y隨x的增大而減小，
∵點，在一次函數的圖象上，且，
∴，
故答案為：A．
【分析】在一次函數y=kx+b(k、b為常數，且k≠0)中，當k＞0時，函數值y隨x的增大而增大，當k＜0時，y隨x的增大而減小，據此結合題意判斷A、B兩點橫坐標的大小即可判斷出y1與y2的大小關系.
6．（2025·順德模擬）若一個多邊形的內角和為，則這個多邊形的邊數為（　　）
A．5 B．7 C．10 D．12
【答案】D
【知識點】多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，
根據多邊形內角和定理得，
，
解得．
故答案為：D．
【分析】根據n邊形內角和為，列方程解即可．
7．（2025·順德模擬）學校組織研學活動，提供了3處研學地方，小芳和小亮選擇同一個地方研學的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：用A、B、C分別表示3處研學地方，
畫樹狀圖得：
∵共有9種等可能的結果，小芳和小亮選擇同一個地方研學的有3種情況，
∴小芳和小亮選擇同一個地方研學的概率為．
故答案為：C．
【分析】首先用A、B、C分別表示3處研學地方，此題是抽取放回類型，根據題意畫樹狀圖，由樹狀圖可知共有9種等可能的結果，小芳和小亮選擇同一個地方研學的有3種情況，然后利用概率公式求解即可．
8．（2025·順德模擬）如圖，在矩形中，對角線與相交于點O，，垂足為E．若，，則的長為（　　）
A．5 B．6 C． D．9
【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；矩形的性質
【解析】【解答】解：四邊形是矩形，
，，，
，
∵
設，則
∴
∴
∴
，
∵，
，
，
即是等邊三角形，
∴
∵
∴
∴．
故答案為：B．
【分析】由矩形的對角線相等且互相平分可得，，，根據已知可推出BE=EO，由線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，可由三邊相等的三角形是等邊三角形得△OAB是等邊三角形，由等邊三角形的每一個內角都是60°得到，由直角三角形量銳角互余得∠ADB=30°，進而根據含30°角直角三角形的性質得到．
9．（2025·順德模擬）某公司辦公大樓共4層，公司要召開會議，從1層到4層每層參會人數分別為2、2、1、2，每層樓之間爬樓距離相等．如果要使所有參會人員到會議室地點爬樓的距離之和最短，那么會議室地點應設在（　　）
A．4層 B．3層 C．2層 D．1層
【答案】C
【知識點】整式的加減運算
【解析】【解答】解：設每層的距離為x，
∵從1層到4層每層參會人數分別為2、2、1、2，
∴到1層開會的總距離為：，
到2層開會的總距離為：，
到3層開會的總距離為：，
到4層開會的總距離為：，
∵
∴要使所有參會人員到會議地點爬樓的距離之和最短，會議應設在2層．
故答案為：C.
【分析】設每層的距離為x，每個樓層的參會人數不同，將每層人數作為權重，需計算每個候選樓層作為會議室時，所有參會者爬樓距離的總和，比較四個選項的總距離，選擇最小值對應的樓層.
10．（2025·順德模擬）如圖，正方形的邊長為，點在的延長線上，以為邊，在上方構造正方形，連接與，分別交于點和點．若，則的長是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知識點】勾股定理；矩形的判定與性質；正方形的性質；A字型相似模型；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：延長FG交AB于點H，
∵四邊形和四邊形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
故答案為：B．
【分析】延長FG交AB于點H，由正方形的性質得，，，，由二直線平行，同位角相等得∠AHF=∠ABC=90°，從而由有三個內角為直角的四邊形是矩形得四邊形是矩形，由矩形的對邊相等得，由平行于三角形一邊得直線截其它兩邊，所截三角形與原三角形相似，進而根據相似三角形對應邊上的高之比等于相似比建立方程，求解可得答案.
11．（2025·順德模擬）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是 　 　．
【答案】
【知識點】二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
【分析】二次根式有意義的條件：被開方數為非負數，據此解答即可.
12．（2025·順德模擬）在平面直角坐標系中，把點向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到點N．若點N在反比例函數的圖象上，則　 　．
【答案】
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；用坐標表示平移
【解析】【解答】解：把點向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到點，
∵點N在反比例函數的圖象上，
∴．
故答案為：-1．
【分析】根據點的坐標平移規律“橫坐標左移減右移加，縱坐標上移加下移減”得出點N的坐標，進而將點N的坐標代入即可算出k的值.
13．（2025·順德模擬）新定義：．若，則的值為　 　．
【答案】3或-1
【知識點】直接開平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，，
，即，
，
解得：或，
故答案為：3或-1．
【分析】根據新定義運算法則列出一元二次方程，把“x-1”看成一個整體，此題缺一次項，故利用直接開平方法求解該方程即可得出x的值.
14．（2025·順德模擬）如圖，在中，，，將沿方向平移得到，與交于點G．在不添加字母和輔助線的情況下，寫出三個不同類型的結論　 　．
【答案】，，（答案不唯一）
【知識點】平移的性質；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵將沿方向平移得到，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案為：，，（答案不唯一）．
【分析】由等腰直角三角形的性質得∠A=∠ABC=45°，由平移前后圖形中對應邊相等，對應角相等，對應線段平行或在同一直線上可得結論.
15．（2025·順德模擬）（1）計算：；
（2）先化簡，再求值：，其中．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式，
當時，原式．
【知識點】實數的混合運算（含開方）；分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先算括號內的異分母分數的加法，同時計算開方和乘方，然后計算乘法，最后計算加減法即可；
（2）將除式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用提取公因式法分解因式，同時根據除以一個不為零的數等于乘以這個數的倒數將分式除法轉變為分式乘法，進而計算分式乘法，約分化簡，接著把“1”看成，進行同分母的減法運算，最后將a的值代入化簡后的式子分母合并后再進行分母有理化即可．
16．（2025·順德模擬）解不等式組
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式組的解集為．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】根據解不等式的步驟分別求出每一個不等式的解集，根據口訣“同小取小”確定不等式組的解集即可．
17．（2025·順德模擬）如圖，四邊形是平行四邊形．
（1）尺規作圖：作線段，且點在邊上，作的平分線交延長線于點；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，連接．證明：四邊形是菱形．
【答案】（1）解：如圖，、為所求作；
（2）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，
，
，
，
，
且，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形．
【知識點】平行四邊形的判定與性質；菱形的判定；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交CB于點E，連接AE，再分別以點D、E為圓心，大于DE的長度為半徑畫弧，兩弧在∠DAE內部相交于點，然后過點A及兩弧的交點作射線交BC的延長線于點F，AE、AF就是所求的線段；
（2）由平行四邊形的對邊平行得AD∥BC，由平行線的性質及角平分線的定義可推出∠EAF=∠EFA，由等角對等邊得AE=EF，再根據一組對邊平行且相等得四邊形是平行四邊形得四邊形ADFE是平行四邊形，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明結論成立．
（1）解：如圖，、為所求作；
（2）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，
，
，
，
，
且，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形．
18．（2025·順德模擬）某超市打算購進一批蘋果．現從甲、乙兩個供應商供應的蘋果中各隨機抽取10個，測得它們的直徑（單位：mm）如下：
蘋果編號 供應商 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 76 83 80 77 80 79 81 78 83 83
乙 81 79 83 76 80 75 86 76 88 76
任務：為更好地包裝出售，超市要從甲、乙兩個供應商中挑選一個合作商，根據所學統計知識作出更加合理的選擇，說明理由．
【答案】解：甲供應商的蘋果直徑平均數為：
，
乙供應商的蘋果直徑平均數為：
，
甲供應商的蘋果直徑方差為：
，
乙供應商的蘋果直徑方差為：
，
選擇甲供應商作為合作商，理由如下：
甲和乙的平均數相同，從方差角度上看，甲供應商的方差為5.8，小于乙供應商的方差18.4，所以甲供應商的蘋果大小更整齊，更易于包裝出售，因此選取甲供應商作為合作商．
【知識點】平均數及其計算；方差
【解析】【分析】平均數是指一組數據之和，除以這組數的個數；方差就是一組數據的各個數據與其平均數差的平方和的算術平均數，然后比較平均數的大小及結合“方差是反映一組數據的波動大小的一個量，方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好”進行說明即可.
19．（2025·順德模擬）【項目主題】測量距離
【項目背景】在一次數學項目式學習活動中，老師帶領同學們測量池塘兩點間的距離（A、B兩點距離不可直接測得）．
【實踐工具】皮尺，測角儀等工具．
【實踐操作】
方案一：如圖1，一位同學在離池塘邊B點不遠處的C點站立，A、B、C三點在同一條直線上．調整帽子，使得視線通過帽檐正好觀測到池塘對面的A點．該同學保持剛才的姿勢，轉過，這時視線剛好落在點E處．利用皮尺測得，．
同學們還設計了方案二、方案三……
【問題解決】
（1）根據方案一，求、兩點間的距離；
（2）嘗試設計與方案一不同的方案，在圖2中畫出幾何圖形，并求、兩點間的距離（為使表達簡潔，需要測量的角建議用、、等表示）．
【答案】（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如圖，
①在池塘邊上確定點C；
②測量與的長度，取兩邊點D、E，使得，且的長度皮尺可測量；
③測量的長度；
④由，，可得，
∴，
∴．
【知識點】全等三角形的應用；相似三角形的應用
【解析】【分析】（1）由題意可得∠ADC=∠EDC，DC=DC，∠ACD=∠ECD=90°，從而用ASA判斷出△DC≌△EDC，由全等三角形的對應邊相等得CE=AC，最后根據AB=AC-BC可得答案；
（2）利用相似三角形的性質涉及含AB的兩個相似三角形即可.
（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如圖，
①在池塘邊上確定點C；
②測量與的長度，取兩邊點D、E，使得，且的長度皮尺可測量；
③測量的長度；
④由，，可得，
∴，
∴．
20．（2025·順德模擬）線段是的一條弦，動點是上方圓弧上一點，點是的中點．連接、、，且．
（1）如圖，當經過圓心時，證明：；
（2）如圖，當不經過圓心時，是否還成立？說明理由．
【答案】（1）證明：如圖，連接、．
∵點是的中點，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵是的直徑，
∴．
∴．
∴；
（2）解：成立，理由如下：
如圖，連接，，過點作，垂足為點，過點作，交的延長線于點．
由（）得，，
∴．
∵，
∴（）．
∴，．
∴．
∴．
在中，，
．
.
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；解直角三角形—邊角關系
【解析】【分析】（1）連接BD、CD，由等弧所對圓周角相等得∠BAD=∠CAD=30°，由直徑所對圓周角是直角得∠ABD=∠ACD=90°，利用∠BAD的余弦函數及特殊銳角三角函數值可用含AD的式子表示出AB、AC，進而再求AB、AC的和即可；
（2）如圖2，連接BD，CD，過點D作DM⊥AB，垂足為點M，過點D作DN⊥AC，交AC的延長線于點N，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等得DM=DN，從而用HL判斷出Rt△DMN≌Rt△DNC，由全等三角形的對應邊相等得BM=CN，AM=AN，由線段的和差及等量代換得出AB+AC=2AM，在Rt△AMD中由∠MAD的余弦函數用含AD的式子表示出AM，從而即可得解．
（1）解：如圖，連接、．
∵點是的中點，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵是的直徑，
∴．
∴．
∴．
（2）解：成立，理由如下：
如圖，連接，，過點作，垂足為點，過點作，交的延長線于點．
由（）得．，
∴．
∵，
∴（）．
∴，．
∴．
∴．
在中，，
．
21．（2025·順德模擬）現有拋物線．
（1）下表所列的點均在拋物線上．
0 1 2 3
3
①求拋物線的解析式；
②若點在拋物線上，且滿足，直接寫出的取值范圍；
（2）和是拋物線上的兩點．當，時，對于，，均有，求的取值范圍．
【答案】（1）解：①由表格可知，拋物線的頂點為，過點，
設拋物線的解析式為，將點代入得，，
解得，
∴拋物線的解析式為；
②令，
解得，，
∵，
∴若點在拋物線上，且滿足，則；
（2）解：解法1：當，時，，對稱軸，令，得，
解得或，
拋物線與軸的兩個交點為，，
當時，，
，，
，
當時，如圖1，
對于，，均有，
，
解得，
當時，如圖2，點和關于對稱，
對于，，均有，
，
解得，
綜上所述，；
解法2：，
對于，，均有，
，即，
當時，，符合題意；
當時，，
，
，
，
解得；
當時，，
，
，
，
解得，
綜上所述，；
解法3：拋物線的開口向上，對稱軸是，
，，
，
對于，，均有，
點靠近對稱軸，
當，即時，的中點在對稱軸右側，如圖3
，
解得，
，且，
解得；
當，即時，的中點在對稱軸左側，如圖4，
，
解得，
，且，
解得，且，
滿足條件的不存在，
綜上所述，；
解法4：拋物線的對稱軸是，
當時，如圖5，點和關于對稱，
∵對于，，均有，
∴，
解得；
當時，如圖6，點和關于對稱，
∵對于，，均有，
∴，
解得，且，
滿足條件的不存在，
綜上所述，；
解法5：，，
∵對于，，均有，
∴，即對所有成立，
令（），對稱軸是，
當，即時，當時，隨的增大而增大，
所以，
由，解得，
當，即時，
，
所以不符合要求；
當，即時，
當時，隨的增大而減小，
所以，
由，解得，不符合要求．
綜上所述，．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c的性質
【解析】【分析】（1）①由表格可知，根據拋物線的對稱性可得拋物線的頂點為（1，-1），過點（3，3），故求拋物線的解析式時，設出其頂點式，然后代入頂點坐標及點（3，3）求解即可；
②令①所求函數解析式中的y=3，算出對應的x的值，再由已知條件結合二次函數的開口方向求解即可；
（2）解法1：由已知得對稱軸，拋物線與軸的兩個交點為，，根據b與0的大小關系，分別討論求解即可；
解法2：求出y1-y2的差，結合已知條件可得y1-y2＜0，根據b與0的大小關系，分別討論求解即可；
解法3：根據不等式性質得，由于拋物線開口向上，故拋物線上點離對稱軸越近，其函數值越小，據此判斷出點靠近對稱軸，然后根據x1與x2的大小關系，分類討論求解即可；
解法4：當時，如圖5，點和關于對稱，當時，如圖6，點和關于對稱，結合已知分別列出不等式，求解即可；
解法5：易得，，結合已知得，即對所有成立，然后分當，當，當，三種情況，根據函數的增減性，求解即可.
（1）解：①由表格可知，拋物線的頂點為，過點，
設拋物線的解析式為，將點代入得，，
解得，
∴拋物線的解析式為；
②令，
解得，，
∵，
∴若點在拋物線上，且滿足，則；
（2）解：解法1：當，時，，對稱軸，
令，得，
解得或，
拋物線與軸的兩個交點為，，
當時，，
，，
，
當時，如圖1，
對于，，均有，
，
解得，
當時，如圖2，點和關于對稱，
對于，，均有，
，
解得，
綜上所述，；
解法2：，
對于，，均有，
，即，
當時，，符合題意；
當時，，
，
，
，
解得；
當時，，
，
，
，
解得，
綜上所述，；
解法3：拋物線的開口向上，對稱軸是，
，，
，
對于，，均有，
點靠近對稱軸，
當，即時，的中點在對稱軸右側，如圖3
，
解得，
，且，
解得；
當，即時，的中點在對稱軸左側，如圖4，
，
解得，
，且，
解得，且，
滿足條件的不存在，
綜上所述，；
解法4：拋物線的對稱軸是，
當時，如圖5，點和關于對稱，
∵對于，，均有，
∴，
解得；
當時，如圖6，點和關于對稱，
∵對于，，均有，
∴，
解得，且，
滿足條件的不存在，
綜上所述，；
解法5：，，
∵對于，，均有，
∴，即對所有成立，
令（），對稱軸是，
當，即時，當時，隨的增大而增大，
所以，
由，解得，
當，即時，
，
所以不符合要求；
當，即時，
當時，隨的增大而減小，
所以，
由，解得，不符合要求．
綜上所述，．
22．（2025·順德模擬）如圖1，在中，，，點是邊上一點，過點作，垂足為點．連接，點是的中點，連接，．
（1）探究與的關系，并證明；
（2）將圖1中的繞點逆時針旋轉，如圖2，題（1）中的結論是否還成立？說明理由；
（3）在（2）的條件下，若，求的最小值．
【答案】（1）解：，且．理由如下：
，點是的中點，
．
同理．
．
，
．
．
同理．
，，
．
．
；
（2）解：，且，理由如下：
如圖，延長至點，使得，連接，，，交于點，記交于點．
，，，
．
，．
，．
．
，，
．
，，
．
．
，．
．
，且；
（3）解：如圖，分別過點B，G作的平行線，兩平行線交于點M，連接，則四邊形是平行四邊形，．
∴．
∴．
當C，G，M三點共線時，最小．
此時．
∴的最小值為．
【知識點】三角形全等及其性質；平行四邊形的判定與性質；旋轉的性質；等腰直角三角形；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，則，由等邊對等角及三角形的外角性質得到，，由等腰直角三角形的性質可得，進而根據角的構成及等量代換即可得出∠CFE=90°，從而根據垂直定義得CF⊥EF；
（2）延長CF至點G，使得FG=CF，連接CE，EG，DG，DG交BC于點H，記DE交BC于點K，利用SAS判斷出△AFC≌△DFG，由全等三角形的對應邊相等（對應角相等）可得AC=DG，∠CAF=∠GDF，則BC=DG，由內錯角相等，兩直線平行，得AC∥DG，由二直線平行，同位角相等得∠GHB=∠ACB=90°，由三角形的內角和定理推出∠KDH=∠KBE，由等腰直角三角形的性質得BE=DE，從而由AAS判斷出△BCE≌△DGE，由全等三角形的對應邊相等（對應角相等）得出CE=GE，∠CEB=∠GED，根據角的構成由等式性質推出∠CEG=∠DEB=90°，從而即可得出結論；
（3）分別過點B，G作BG、BD的平行線，兩平行線交于點M，連接CM，則四邊形BDGM是平行四邊形，∠CBG=90°，由平行四邊形的對邊相等得BM=DG=BC，BD=GM，可得2CF+BD=CG+GM，從而得到當C，G，M三點共線時，CG+GM=CM最小，進而根據等腰直角是哪些的性質可得最小值.
（1）解：，且．理由：
，點是的中點，
．
同理．
．
，
．
．
同理．
，，
．
．
；
（2）解：，且．理由：
如圖，延長至點，使得，連接，，，交于點，記交于點．
，，，
．
，．
，．
．
，，
．
，，
．
．
，．
．
，且．
（3）解：如圖，分別過點B，G作的平行線，兩平行線交于點M，連接，則四邊形是平行四邊形，．
∴．
∴．
當C，G，M三點共線時，最小．
此時．
∴的最小值為．
1 / 1廣東省佛山市順德區2025年中考二模數學試卷
1．（2025·順德模擬）的絕對值是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·順德模擬）在平面直角坐標系中，點所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·順德模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·順德模擬）如圖，若，則（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·順德模擬）若點，在一次函數的圖象上，則與的大小關系是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·順德模擬）若一個多邊形的內角和為，則這個多邊形的邊數為（　　）
A．5 B．7 C．10 D．12
7．（2025·順德模擬）學校組織研學活動，提供了3處研學地方，小芳和小亮選擇同一個地方研學的概率為（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·順德模擬）如圖，在矩形中，對角線與相交于點O，，垂足為E．若，，則的長為（　　）
A．5 B．6 C． D．9
9．（2025·順德模擬）某公司辦公大樓共4層，公司要召開會議，從1層到4層每層參會人數分別為2、2、1、2，每層樓之間爬樓距離相等．如果要使所有參會人員到會議室地點爬樓的距離之和最短，那么會議室地點應設在（　　）
A．4層 B．3層 C．2層 D．1層
10．（2025·順德模擬）如圖，正方形的邊長為，點在的延長線上，以為邊，在上方構造正方形，連接與，分別交于點和點．若，則的長是（　　）
A． B． C．1 D．
11．（2025·順德模擬）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是 　 　．
12．（2025·順德模擬）在平面直角坐標系中，把點向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到點N．若點N在反比例函數的圖象上，則　 　．
13．（2025·順德模擬）新定義：．若，則的值為　 　．
14．（2025·順德模擬）如圖，在中，，，將沿方向平移得到，與交于點G．在不添加字母和輔助線的情況下，寫出三個不同類型的結論　 　．
15．（2025·順德模擬）（1）計算：；
（2）先化簡，再求值：，其中．
16．（2025·順德模擬）解不等式組
17．（2025·順德模擬）如圖，四邊形是平行四邊形．
（1）尺規作圖：作線段，且點在邊上，作的平分線交延長線于點；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，連接．證明：四邊形是菱形．
18．（2025·順德模擬）某超市打算購進一批蘋果．現從甲、乙兩個供應商供應的蘋果中各隨機抽取10個，測得它們的直徑（單位：mm）如下：
蘋果編號 供應商 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 76 83 80 77 80 79 81 78 83 83
乙 81 79 83 76 80 75 86 76 88 76
任務：為更好地包裝出售，超市要從甲、乙兩個供應商中挑選一個合作商，根據所學統計知識作出更加合理的選擇，說明理由．
19．（2025·順德模擬）【項目主題】測量距離
【項目背景】在一次數學項目式學習活動中，老師帶領同學們測量池塘兩點間的距離（A、B兩點距離不可直接測得）．
【實踐工具】皮尺，測角儀等工具．
【實踐操作】
方案一：如圖1，一位同學在離池塘邊B點不遠處的C點站立，A、B、C三點在同一條直線上．調整帽子，使得視線通過帽檐正好觀測到池塘對面的A點．該同學保持剛才的姿勢，轉過，這時視線剛好落在點E處．利用皮尺測得，．
同學們還設計了方案二、方案三……
【問題解決】
（1）根據方案一，求、兩點間的距離；
（2）嘗試設計與方案一不同的方案，在圖2中畫出幾何圖形，并求、兩點間的距離（為使表達簡潔，需要測量的角建議用、、等表示）．
20．（2025·順德模擬）線段是的一條弦，動點是上方圓弧上一點，點是的中點．連接、、，且．
（1）如圖，當經過圓心時，證明：；
（2）如圖，當不經過圓心時，是否還成立？說明理由．
21．（2025·順德模擬）現有拋物線．
（1）下表所列的點均在拋物線上．
0 1 2 3
3
①求拋物線的解析式；
②若點在拋物線上，且滿足，直接寫出的取值范圍；
（2）和是拋物線上的兩點．當，時，對于，，均有，求的取值范圍．
22．（2025·順德模擬）如圖1，在中，，，點是邊上一點，過點作，垂足為點．連接，點是的中點，連接，．
（1）探究與的關系，并證明；
（2）將圖1中的繞點逆時針旋轉，如圖2，題（1）中的結論是否還成立？說明理由；
（3）在（2）的條件下，若，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】求有理數的絕對值的方法
【解析】【解答】解：的絕對值是，
故答案為：A．
【分析】利用絕對值的定義解答即可．
2．【答案】D
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：在平面直角坐標系中，點在第四象限．
故選：D.
【分析】本題考查了平面直角坐標系每一個象限點的坐標特征，其中第四象限的點橫坐標為正，縱坐標為負，據此解答，即可求解．
3．【答案】C
【知識點】同底數冪的除法；完全平方公式及運用；負整數指數冪；合并同類項法則及應用
【解析】【解答】解：A、，故該選項不符合題意；
B、，故該選項不符合題意；
C、，故該選項符合題意；
D、，故該選項不符合題意.
故答案為：C．
【分析】整式加法的實質就是合并同類項，所謂同類項就是所含字母相同，而且相同字母的指數也分別相同的項，同類項與字母的順序沒有關系，與系數也沒有關系，合并同類項的時候，只需要將系數相加減，字母和字母的指數不變，但不是同類項的一定就不能合并，從而即可判斷A選項；根據同底數冪的除法，底數不變，指數相減即可判斷B選項；由完全平方公式的展開式是一個三項式（首平方、尾平方，積的2倍放中央）可判斷C選項；由負整數指數冪的性質“”可判斷D選項.
4．【答案】B
【知識點】對頂角及其性質；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：如圖：
∵，
∴，
∴，
故答案為：B．
【分析】根據對頂角相等得到，再由兩直線平行同旁內角互補得到，從而代值計算可得答案.
5．【答案】A
【知識點】一次函數的性質；比較一次函數值的大小
【解析】【解答】解：∵在一次函數中，自變量系數，
∴在一次函數中，y隨x的增大而減小，
∵點，在一次函數的圖象上，且，
∴，
故答案為：A．
【分析】在一次函數y=kx+b(k、b為常數，且k≠0)中，當k＞0時，函數值y隨x的增大而增大，當k＜0時，y隨x的增大而減小，據此結合題意判斷A、B兩點橫坐標的大小即可判斷出y1與y2的大小關系.
6．【答案】D
【知識點】多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，
根據多邊形內角和定理得，
，
解得．
故答案為：D．
【分析】根據n邊形內角和為，列方程解即可．
7．【答案】C
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：用A、B、C分別表示3處研學地方，
畫樹狀圖得：
∵共有9種等可能的結果，小芳和小亮選擇同一個地方研學的有3種情況，
∴小芳和小亮選擇同一個地方研學的概率為．
故答案為：C．
【分析】首先用A、B、C分別表示3處研學地方，此題是抽取放回類型，根據題意畫樹狀圖，由樹狀圖可知共有9種等可能的結果，小芳和小亮選擇同一個地方研學的有3種情況，然后利用概率公式求解即可．
8．【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；矩形的性質
【解析】【解答】解：四邊形是矩形，
，，，
，
∵
設，則
∴
∴
∴
，
∵，
，
，
即是等邊三角形，
∴
∵
∴
∴．
故答案為：B．
【分析】由矩形的對角線相等且互相平分可得，，，根據已知可推出BE=EO，由線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，可由三邊相等的三角形是等邊三角形得△OAB是等邊三角形，由等邊三角形的每一個內角都是60°得到，由直角三角形量銳角互余得∠ADB=30°，進而根據含30°角直角三角形的性質得到．
9．【答案】C
【知識點】整式的加減運算
【解析】【解答】解：設每層的距離為x，
∵從1層到4層每層參會人數分別為2、2、1、2，
∴到1層開會的總距離為：，
到2層開會的總距離為：，
到3層開會的總距離為：，
到4層開會的總距離為：，
∵
∴要使所有參會人員到會議地點爬樓的距離之和最短，會議應設在2層．
故答案為：C.
【分析】設每層的距離為x，每個樓層的參會人數不同，將每層人數作為權重，需計算每個候選樓層作為會議室時，所有參會者爬樓距離的總和，比較四個選項的總距離，選擇最小值對應的樓層.
10．【答案】B
【知識點】勾股定理；矩形的判定與性質；正方形的性質；A字型相似模型；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：延長FG交AB于點H，
∵四邊形和四邊形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
故答案為：B．
【分析】延長FG交AB于點H，由正方形的性質得，，，，由二直線平行，同位角相等得∠AHF=∠ABC=90°，從而由有三個內角為直角的四邊形是矩形得四邊形是矩形，由矩形的對邊相等得，由平行于三角形一邊得直線截其它兩邊，所截三角形與原三角形相似，進而根據相似三角形對應邊上的高之比等于相似比建立方程，求解可得答案.
11．【答案】
【知識點】二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
【分析】二次根式有意義的條件：被開方數為非負數，據此解答即可.
12．【答案】
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；用坐標表示平移
【解析】【解答】解：把點向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到點，
∵點N在反比例函數的圖象上，
∴．
故答案為：-1．
【分析】根據點的坐標平移規律“橫坐標左移減右移加，縱坐標上移加下移減”得出點N的坐標，進而將點N的坐標代入即可算出k的值.
13．【答案】3或-1
【知識點】直接開平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，，
，即，
，
解得：或，
故答案為：3或-1．
【分析】根據新定義運算法則列出一元二次方程，把“x-1”看成一個整體，此題缺一次項，故利用直接開平方法求解該方程即可得出x的值.
14．【答案】，，（答案不唯一）
【知識點】平移的性質；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵將沿方向平移得到，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案為：，，（答案不唯一）．
【分析】由等腰直角三角形的性質得∠A=∠ABC=45°，由平移前后圖形中對應邊相等，對應角相等，對應線段平行或在同一直線上可得結論.
15．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式，
當時，原式．
【知識點】實數的混合運算（含開方）；分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先算括號內的異分母分數的加法，同時計算開方和乘方，然后計算乘法，最后計算加減法即可；
（2）將除式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用提取公因式法分解因式，同時根據除以一個不為零的數等于乘以這個數的倒數將分式除法轉變為分式乘法，進而計算分式乘法，約分化簡，接著把“1”看成，進行同分母的減法運算，最后將a的值代入化簡后的式子分母合并后再進行分母有理化即可．
16．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式組的解集為．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】根據解不等式的步驟分別求出每一個不等式的解集，根據口訣“同小取小”確定不等式組的解集即可．
17．【答案】（1）解：如圖，、為所求作；
（2）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，
，
，
，
，
且，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形．
【知識點】平行四邊形的判定與性質；菱形的判定；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交CB于點E，連接AE，再分別以點D、E為圓心，大于DE的長度為半徑畫弧，兩弧在∠DAE內部相交于點，然后過點A及兩弧的交點作射線交BC的延長線于點F，AE、AF就是所求的線段；
（2）由平行四邊形的對邊平行得AD∥BC，由平行線的性質及角平分線的定義可推出∠EAF=∠EFA，由等角對等邊得AE=EF，再根據一組對邊平行且相等得四邊形是平行四邊形得四邊形ADFE是平行四邊形，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明結論成立．
（1）解：如圖，、為所求作；
（2）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，
，
，
，
，
且，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形．
18．【答案】解：甲供應商的蘋果直徑平均數為：
，
乙供應商的蘋果直徑平均數為：
，
甲供應商的蘋果直徑方差為：
，
乙供應商的蘋果直徑方差為：
，
選擇甲供應商作為合作商，理由如下：
甲和乙的平均數相同，從方差角度上看，甲供應商的方差為5.8，小于乙供應商的方差18.4，所以甲供應商的蘋果大小更整齊，更易于包裝出售，因此選取甲供應商作為合作商．
【知識點】平均數及其計算；方差
【解析】【分析】平均數是指一組數據之和，除以這組數的個數；方差就是一組數據的各個數據與其平均數差的平方和的算術平均數，然后比較平均數的大小及結合“方差是反映一組數據的波動大小的一個量，方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好”進行說明即可.
19．【答案】（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如圖，
①在池塘邊上確定點C；
②測量與的長度，取兩邊點D、E，使得，且的長度皮尺可測量；
③測量的長度；
④由，，可得，
∴，
∴．
【知識點】全等三角形的應用；相似三角形的應用
【解析】【分析】（1）由題意可得∠ADC=∠EDC，DC=DC，∠ACD=∠ECD=90°，從而用ASA判斷出△DC≌△EDC，由全等三角形的對應邊相等得CE=AC，最后根據AB=AC-BC可得答案；
（2）利用相似三角形的性質涉及含AB的兩個相似三角形即可.
（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如圖，
①在池塘邊上確定點C；
②測量與的長度，取兩邊點D、E，使得，且的長度皮尺可測量；
③測量的長度；
④由，，可得，
∴，
∴．
20．【答案】（1）證明：如圖，連接、．
∵點是的中點，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵是的直徑，
∴．
∴．
∴；
（2）解：成立，理由如下：
如圖，連接，，過點作，垂足為點，過點作，交的延長線于點．
由（）得，，
∴．
∵，
∴（）．
∴，．
∴．
∴．
在中，，
．
.
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；解直角三角形—邊角關系
【解析】【分析】（1）連接BD、CD，由等弧所對圓周角相等得∠BAD=∠CAD=30°，由直徑所對圓周角是直角得∠ABD=∠ACD=90°，利用∠BAD的余弦函數及特殊銳角三角函數值可用含AD的式子表示出AB、AC，進而再求AB、AC的和即可；
（2）如圖2，連接BD，CD，過點D作DM⊥AB，垂足為點M，過點D作DN⊥AC，交AC的延長線于點N，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等得DM=DN，從而用HL判斷出Rt△DMN≌Rt△DNC，由全等三角形的對應邊相等得BM=CN，AM=AN，由線段的和差及等量代換得出AB+AC=2AM，在Rt△AMD中由∠MAD的余弦函數用含AD的式子表示出AM，從而即可得解．
（1）解：如圖，連接、．
∵點是的中點，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵是的直徑，
∴．
∴．
∴．
（2）解：成立，理由如下：
如圖，連接，，過點作，垂足為點，過點作，交的延長線于點．
由（）得．，
∴．
∵，
∴（）．
∴，．
∴．
∴．
在中，，
．
21．【答案】（1）解：①由表格可知，拋物線的頂點為，過點，
設拋物線的解析式為，將點代入得，，
解得，
∴拋物線的解析式為；
②令，
解得，，
∵，
∴若點在拋物線上，且滿足，則；
（2）解：解法1：當，時，，對稱軸，令，得，
解得或，
拋物線與軸的兩個交點為，，
當時，，
，，
，
當時，如圖1，
對于，，均有，
，
解得，
當時，如圖2，點和關于對稱，
對于，，均有，
，
解得，
綜上所述，；
解法2：，
對于，，均有，
，即，
當時，，符合題意；
當時，，
，
，
，
解得；
當時，，
，
，
，
解得，
綜上所述，；
解法3：拋物線的開口向上，對稱軸是，
，，
，
對于，，均有，
點靠近對稱軸，
當，即時，的中點在對稱軸右側，如圖3
，
解得，
，且，
解得；
當，即時，的中點在對稱軸左側，如圖4，
，
解得，
，且，
解得，且，
滿足條件的不存在，
綜上所述，；
解法4：拋物線的對稱軸是，
當時，如圖5，點和關于對稱，
∵對于，，均有，
∴，
解得；
當時，如圖6，點和關于對稱，
∵對于，，均有，
∴，
解得，且，
滿足條件的不存在，
綜上所述，；
解法5：，，
∵對于，，均有，
∴，即對所有成立，
令（），對稱軸是，
當，即時，當時，隨的增大而增大，
所以，
由，解得，
當，即時，
，
所以不符合要求；
當，即時，
當時，隨的增大而減小，
所以，
由，解得，不符合要求．
綜上所述，．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c的性質
【解析】【分析】（1）①由表格可知，根據拋物線的對稱性可得拋物線的頂點為（1，-1），過點（3，3），故求拋物線的解析式時，設出其頂點式，然后代入頂點坐標及點（3，3）求解即可；
②令①所求函數解析式中的y=3，算出對應的x的值，再由已知條件結合二次函數的開口方向求解即可；
（2）解法1：由已知得對稱軸，拋物線與軸的兩個交點為，，根據b與0的大小關系，分別討論求解即可；
解法2：求出y1-y2的差，結合已知條件可得y1-y2＜0，根據b與0的大小關系，分別討論求解即可；
解法3：根據不等式性質得，由于拋物線開口向上，故拋物線上點離對稱軸越近，其函數值越小，據此判斷出點靠近對稱軸，然后根據x1與x2的大小關系，分類討論求解即可；
解法4：當時，如圖5，點和關于對稱，當時，如圖6，點和關于對稱，結合已知分別列出不等式，求解即可；
解法5：易得，，結合已知得，即對所有成立，然后分當，當，當，三種情況，根據函數的增減性，求解即可.
（1）解：①由表格可知，拋物線的頂點為，過點，
設拋物線的解析式為，將點代入得，，
解得，
∴拋物線的解析式為；
②令，
解得，，
∵，
∴若點在拋物線上，且滿足，則；
（2）解：解法1：當，時，，對稱軸，
令，得，
解得或，
拋物線與軸的兩個交點為，，
當時，，
，，
，
當時，如圖1，
對于，，均有，
，
解得，
當時，如圖2，點和關于對稱，
對于，，均有，
，
解得，
綜上所述，；
解法2：，
對于，，均有，
，即，
當時，，符合題意；
當時，，
，
，
，
解得；
當時，，
，
，
，
解得，
綜上所述，；
解法3：拋物線的開口向上，對稱軸是，
，，
，
對于，，均有，
點靠近對稱軸，
當，即時，的中點在對稱軸右側，如圖3
，
解得，
，且，
解得；
當，即時，的中點在對稱軸左側，如圖4，
，
解得，
，且，
解得，且，
滿足條件的不存在，
綜上所述，；
解法4：拋物線的對稱軸是，
當時，如圖5，點和關于對稱，
∵對于，，均有，
∴，
解得；
當時，如圖6，點和關于對稱，
∵對于，，均有，
∴，
解得，且，
滿足條件的不存在，
綜上所述，；
解法5：，，
∵對于，，均有，
∴，即對所有成立，
令（），對稱軸是，
當，即時，當時，隨的增大而增大，
所以，
由，解得，
當，即時，
，
所以不符合要求；
當，即時，
當時，隨的增大而減小，
所以，
由，解得，不符合要求．
綜上所述，．
22．【答案】（1）解：，且．理由如下：
，點是的中點，
．
同理．
．
，
．
．
同理．
，，
．
．
；
（2）解：，且，理由如下：
如圖，延長至點，使得，連接，，，交于點，記交于點．
，，，
．
，．
，．
．
，，
．
，，
．
．
，．
．
，且；
（3）解：如圖，分別過點B，G作的平行線，兩平行線交于點M，連接，則四邊形是平行四邊形，．
∴．
∴．
當C，G，M三點共線時，最小．
此時．
∴的最小值為．
【知識點】三角形全等及其性質；平行四邊形的判定與性質；旋轉的性質；等腰直角三角形；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，則，由等邊對等角及三角形的外角性質得到，，由等腰直角三角形的性質可得，進而根據角的構成及等量代換即可得出∠CFE=90°，從而根據垂直定義得CF⊥EF；
（2）延長CF至點G，使得FG=CF，連接CE，EG，DG，DG交BC于點H，記DE交BC于點K，利用SAS判斷出△AFC≌△DFG，由全等三角形的對應邊相等（對應角相等）可得AC=DG，∠CAF=∠GDF，則BC=DG，由內錯角相等，兩直線平行，得AC∥DG，由二直線平行，同位角相等得∠GHB=∠ACB=90°，由三角形的內角和定理推出∠KDH=∠KBE，由等腰直角三角形的性質得BE=DE，從而由AAS判斷出△BCE≌△DGE，由全等三角形的對應邊相等（對應角相等）得出CE=GE，∠CEB=∠GED，根據角的構成由等式性質推出∠CEG=∠DEB=90°，從而即可得出結論；
（3）分別過點B，G作BG、BD的平行線，兩平行線交于點M，連接CM，則四邊形BDGM是平行四邊形，∠CBG=90°，由平行四邊形的對邊相等得BM=DG=BC，BD=GM，可得2CF+BD=CG+GM，從而得到當C，G，M三點共線時，CG+GM=CM最小，進而根據等腰直角是哪些的性質可得最小值.
（1）解：，且．理由：
，點是的中點，
．
同理．
．
，
．
．
同理．
，，
．
．
；
（2）解：，且．理由：
如圖，延長至點，使得，連接，，，交于點，記交于點．
，，，
．
，．
，．
．
，，
．
，，
．
．
，．
．
，且．
（3）解：如圖，分別過點B，G作的平行線，兩平行線交于點M，連接，則四邊形是平行四邊形，．
∴．
∴．
當C，G，M三點共線時，最小．
此時．
∴的最小值為．
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