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高一5月數學試題答案
一、1. A 2. B 3. B 4．D 5. C 6．C 7.B 8．D 9. AD 10. BCD 11. AC
12. 13. 54 14.
15求證：
16．解析：證明：（1）如圖，取中點，連接．分別是和的中點，，且，∵四邊形為矩形，且E為AD的中點，，，且，∴四邊形為平行四邊形，又平面，GD平面，∴平面．
（2）∵底面為矩形，∴．∵平面平面，平面平面，
∴AB⊥平面．而平面， ，又，，平面，
平面，而平面，∴平面平面．
17.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，因為，由余弦定理得：，又，所以．
（2）由，所以，由（1），所以，
因為為邊上的中線，所以，則
，即.故邊上的中線的長為.
18. （1），，
，，因為圖象的相鄰對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，
所以，得，所以．令．
則，所以的單調遞增區間為；【2】由（1）知，將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，再向左平移個單位得的圖象．令，，則，所以，因為在上只有一個解，由的圖象（如圖）可得，或，所以的取值范圍是.
19.【1】在三棱臺中，，，在等腰梯形中，，由余弦定理得：，
則，即，而平面平面，平面平面平面，所以平面.
（2）過，垂足為，因為平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，平面，得 又，平面，則平面，為與平面所在角，，因此，所以與平面所成角為.2024級高一5月聯考
數學試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知a為實數，若復數為純虛數，則=（ ）
A． B． C． D．
2. 設是三個不同平面，且，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3. 如圖所示，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為（ ）
A. B. C. D.
4．在中，內角的對邊分別為，已知，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
5. 已知為所在平面內的一點，為的中點，則（ ）
A. B. C. D.
6．若，則（ ）
A． B． C． D．
7．點在所在平面內，下列說法正確的是（ ）
A．若，則為銳角三角形 B．若點是的重心，則 + =
C．若，則
D．若為邊長為2的正三角形，點在線段BC上運動，則
8．如圖，底面是邊長為2的正方形，半圓面底面，點為圓弧上的動點．當三棱錐的體積最大時，二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．
9. 已知向量，，下列說法正確的是（ ）
A. (+) B.
C. 與向量平行的單位向量是 D. 向量在向量上的投影向量為
10. 若復數，則（ ）
A. B.
C. z在復平面內對應的點位于第四象限 D. 復數滿足，則的最大值為
11. 如圖，正方體的棱長為2，，分別是，的中點，點是底面內一動點，則下列結論正確的為（ ）
A. 存在點，使得平面
B. 過三點的平面截正方體所得截面圖形是平行四邊形
C. 異面直線BA1與EF所成的角的大小為
D. 若//平面，則點P的軌跡的長度為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12.已知圓錐底面半徑為，側面展開圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的母線長為 .
13．圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為 m．
14. 三棱錐的頂點都在球的球面上，且，若三棱錐的體積最大值為，則球的表面積為_____.
四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.（13分）在平面直角坐標系中，已知，，.
（1）若A，B，C三點共線，求實數m的值；
（2）若，以的邊AC所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成一個幾何體，求該幾何體的表面積.
16．(15分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，E，F分別為的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面．
17．(15分）在△中，內角的對邊分別為．
(1)求；
(2)若△的面積為，求邊上的中線的長．
18. (17分）已知函數，圖象的相鄰對稱軸之間的距離為．（1）求的解析式和函數單調遞增區間；；
（2）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標伸長為原來的2倍，再向左平移個單位得的圖象，若關于的方程在上只有一個解，求實數的取值范圍．
19. (17分）如圖，已知三棱臺中，平面平面，是以為直角頂點的等腰直角三角形，且.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的大小；

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