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江西省部分學校2025屆高三下學期5月高考適應性測試數學試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數，則( )
A. B. C. D.
2.已知全集，，則( )
A. B. C. D.
3.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則( )
A. B. C. D.
4.若，則( )
A. B. C. D. 4
5.已知奇函數的定義域為R，且，則( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
6.已知O為坐標原點，橢圓的右頂點為A，以OA為直徑的圓與橢圓C的三個公共點分別為A，M，N，若以O，M，A，N為頂點的四邊形是正方形，則橢圓C的離心率為( )
A. B. C. D.
7.設且，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
8.在正方體中，P為線段上的動點，則直線與所成角的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.下列函數中，以為周期且在上單調遞增的是( )
A. B.
C. D.
10.已知O為坐標原點，若直線l上存在點P，使得，則稱該直線為“1距直線”，下列直線是“1距直線”的是( )
A. B. C. D.
11.某比賽共進行局，每局比賽沒有平局，2n局比賽結束后贏得n局以上的一方獲勝.甲、乙進行該比賽，已知甲每局比賽獲勝的概率為p，每局比賽的結果相互獨立，記甲在該比賽中獲勝的概率為，下列結論正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則當時，最大
C. 若，則當時，最大 D. 若，則當時，最大
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知隨機變量X服從正態分布，且，則 .
13.已知邊長為6的等邊三角形ABC的內心為O，則 .
14.已知函數，若，則的最大值為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題13分
某農業研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量單位：并整理如下表.
畝產量
頻數 10 11 22 30 20 7
記這100塊稻田畝產量的平均值的估計值為，標準差的估計值為同一組中的數據用該組區間的中點值為代表
求，
判斷該新型水稻能否推廣種植在這100塊稻田中，若超過90塊稻田的畝產量在內，則認為該新型水稻能推廣種植
16.本小題15分
已知雙曲線的離心率為，點在雙曲線C上.
求雙曲線C的標準方程.
直線與雙曲線C交于點M，N，其中點M在第二象限.
①求
②已知雙曲線C的左、右頂點分別為A，B，設直線AM，BN的斜率分別為，，求
17.本小題15分
已知數列的前n項和為，且，t為常數，記
若數列為等差數列，求的公差.
設
①求的通項公式;
②記數列的前n項和為，證明：
18.本小題17分
如圖，該幾何體由兩個相同的正四棱臺組合而成.
證明：
已知M，N，O分別是棱FG，AB，DC的中點，過點M，N，O的平面截該幾何體所得的截面是邊長為2的正六邊形，求棱BG的長度.
已知，該幾何體的體積為，平面ABGF與平面CBGH夾角的余弦值為，求棱AB的長度.
19.本小題17分
證明：在上恒成立.
若，證明：函數在上恰有1個零點.
試討論函數在上的零點個數.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】，
2.【答案】B
【解析】解：因為全集，，
所以
3.【答案】C
【解析】解：由，，可得，
根據正弦定理，
可得，所以.
4.【答案】C
【解析】解：
=
=
5.【答案】A
【解析】解：因為是定義在R上的奇函數，所以
令，得
6.【答案】B
【解析】不妨設點M在第一象限，則，
代入橢圓，得，
即，解得
7.【答案】B
【解析】若，則，即
令，則
當時，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
，所以方程有唯一解，即，所以方程的解為
若，則，解得或，所以或
故“”是“”的必要不充分條件.
8.【答案】D
【解析】解：在正方體中，，
所以為等邊三角形.
因為，所以或其補角為直線與所成的角.
當點P與線段的端點重合時，直線與所成的角取得最小值
當點P與線段的中點重合時，直線與所成的角取得最大值
故直線與所成角的取值范圍是
9.【答案】BCD
【解析】不是周期函數，A不符合題意.
以為周期且在上單調遞增，B符合題意.
，以為周期且在上單調遞增，C符合題意.
，以為周期且在上單調遞增，D符合題意.
10.【答案】ABC
【解析】解：由題意可得原點O到直線l的距離小于或等于
選項化為，，是"距直線"；
選項化為，，是"距直線"；
選項化為，，是“1距直線”；
選項，，不是"距直線"；
A，B，C符合題意.
故選
11.【答案】ABD
【解析】對于A，，，所以，A正確.
當時，記事件“甲在該比賽中獲勝”，“第一局甲贏”，“第二局甲贏”.
當事件和發生時，要使得甲在該比賽中獲勝，則在后續的局比賽中至少要贏n局，所以
當事件BC發生時，要使得甲在該比賽中獲勝，則在后續的局比賽中贏的局數大于或恰好贏了局，所以
當事件發生時，要使得甲在該比賽中獲勝，則在后續的局比賽中贏的局數大于n，可看成事件“在后續的局比賽中贏的局數大于”與事件“在后續的局比賽中恰好贏了n局”的差事件，所以所以，即
對于B，若，則，當時，，即，所以當時，最大，B正確.
對于C，若，則，當時，，即0，所以當時，最小，C錯誤.
對于D，若，則，當時，，當時，，即當時，，當時，，所以當時，最大，D正確.
12.【答案】
【解析】解：因為，
所以，
13.【答案】
【解析】解：記AB的中點為D，
則
14.【答案】2
【解析】為增函數，不妨設，
則，
即，
整理得，
解得舍去，當且僅當，時，等號成立，所以的最大值為
15.【答案】解：由頻數分布表可得
因為，
所以，
，
所以
畝產量在內的稻田有10塊，
所以畝產量在內的稻田不超過90塊，
即畝產量在內的稻田不超過90塊.
故該新型水稻不能推廣種植.
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
16.【答案】解：因為點在雙曲線C上，所以
離心率為，，解得，
故雙曲線C的標準方程為
①設，
聯立得，
則，，
故
②，
由題意得點M，N都在雙曲線C的左支上，且點M在第二象限，所以，
則，
故
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
17.【答案】解：因為，所以，
則，，
因為數列為等差數列，所以，即，解得，
所以的公差為
①解：當時，，
當時，，
故的通項公式為
②證明：當時，，滿足
當時，，
則
綜上，
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
18.【答案】證明：如圖，分別延長兩個正四棱臺的側棱，
得到正四棱錐及正四棱錐，
所以
連接EG，FH，記，連接PR，
在正四棱錐及正四棱錐中，平面EFGH，平面EFGH，
所以直線PR與QR是同一條直線.
因為，所以P，E，G，Q四點共面，
所以四邊形PEQG為菱形，所以
解：連接ON，因為過點M，N，O的平面截該幾何體所得的截面是邊長為2的正六邊形，
所以，
故
解：記正方形ABCD的中心為S，連接SB，
以R為坐標原點，RM所在直線為x軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，，
所以，
記平面CBGH的法向量為，則即
取，則
同理可得平面ABGF的一個法向量為
，，解得，
所以正四棱錐的體積
因為該幾何體的體積為，所以正四棱臺的體積，
則正四棱錐的體積
設，則
因為∽，所以，所以，
則，解得
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
19.【答案】證明：令函數，，
則，所以在上單調遞增，
則，即在上恒成立.
證明：因為，所以在上單調遞增.
由得在上恒成立，
所以
令，解得，
所以存在，使得
因為，所以在上有1個零點，
即在上恰有1個零點.
解：令，即，
等價于
記，
在上的零點個數即在上的零點個數.
是的1個零點.
因為，
所以是奇函數，則在和上的零點個數相同.
，在上單調遞增.
當時，，在上單調遞增.
因為，所以在上恒成立，
即在上沒有零點，
所以在上只有1個零點.
當時，由可得在上恰有1個零點，記該零點為
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
令，解得
因為，
所以存在，使得，
即，
因為，所以，，所以，
所以在上有1個零點，即在上有1個零點，
所以在上有3個零點.
綜上，當時，在上只有1個零點;
當時，在上有3個零點.
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

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