資源簡介

四川省遂寧市2025年中考數學真題試題
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（2025·遂寧）小明在一條東西向的跑道上進行往返跑訓練，如果向東跑20米記為“米”，那么向西跑20米記為（　?。?br/>A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2025·遂寧）漢字作為中華優秀傳統文化的根脈和重要載體，在發展過程中演變出多種字體，給人以美的享受．下面是“遂寧之美”四個字的篆書，能看作是軸對稱圖形的是（　?。?br/>A． B． C． D．
3．（2025·遂寧）統計數據顯示，截止2025年3月15日電影《哪吒2》全球票房（含預售及海外）超150億元，位列全球影史票房榜第五位．將數據150億用科學記數法表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
4．（2025·遂寧）如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在點C處，沿圓柱的側面爬到點B處，現將圓柱側面沿AC剪開，在側面展開圖上畫出螞蟻爬行的最短路線，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·遂寧）下列運算中，計算正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
6．（2025·遂寧）已知關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·遂寧）已知一個凸多邊形的內角和是外角和的4倍，則該多邊形的邊數為（　?。?br/>A．10 B．11 C．12 D．13
8．（2025·遂寧）若關于的分式方程無解，則的值為（　?。?br/>A．2 B．3 C．0或2 D．或3
9．（2025·遂寧）在中，，結合尺規作圖痕跡提供的信息，求出線段的長為（　?。?br/>A． B． C．6 D．
10．（2025·遂寧）如圖，已知拋物線（為常數，且）的對稱軸是直線，且拋物線與軸的一個交點坐標是，與軸交點坐標是且．有下列結論：①；②；③；④關于的一元二次方程必有兩個不相等實根；⑤若點在拋物線上，
且，當時，則的取值范圍為．
其中正確的有（　?。?br/>A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
11．（2025·遂寧）實數m在數軸上對應點的位置如圖所示，則　 　0．（填“>”“=”或“<”）
12．（2025·遂寧）已知是方程的解，則　 　．
13．（2025·遂寧）某公司要招聘一名職員，根據實際需要，從學歷、經驗、能力和態度四個方面對甲、乙、丙三名應聘者進行了測試，測試成績如下表：
項目 應聘者
甲 乙 丙
學歷 9 8 8
經驗 8 6 9
能力 7 8 8
態度 5 7 5
公司將學歷、經驗、能力和態度得分按的比例確定每人的最終得分，并以此為依據確定錄用者，則　 　將被擇優錄用．（請選擇填寫甲、乙或丙）
14．（2025·遂寧）綜合與實踐——硬幣滾動中的數學
將兩枚半徑為r的硬幣放在桌面上，固定白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖1；將三枚半徑均為r的硬幣連貫的放在桌面上，固定兩枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖2；現將四枚半徑均為r的硬幣按圖3、圖4擺放在桌面上，固定三枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，則在圖3與圖4這兩種情形中深色硬幣的圓心移動路徑長的比值為　 　．
15．（2025·遂寧）如圖，在邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上取一點E，使，連結CE并延長至點F，連結BF，使，CF與AB相交于點H．有下列結論：
①；②；③；④點M是BC邊上一動點，連結HM，將沿HM翻折，點B落在點P處，連結BP交HM于點Q，連結DQ，則DQ的最小值為其中正確的結論有　 ?。ㄌ钚蛱枺?br/>三、解答題（本大題共10個小題，共90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（2025·遂寧）計算：．
17．（2025·遂寧）先化簡，再求值：，其中a滿足．
18．（2025·遂寧）如圖，在四邊形ABCD中，，點E，F在對角線BD上，，且，．
（1）求證：；
（2）連結AE，CF，若，請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
19．（2025·遂寧）在綜合實踐活動中，為了測得摩天輪的高度CF，在A處用高為1.6米的測角儀AD測得摩天輪頂端C的仰角，再向摩天輪方向前進30米至B處，又測得摩天輪頂端C的仰角．求摩天輪CF的高度．（結果精確到0.1米）
（參考數據：，，，，，）
20．（2025·遂寧）我們知道，如果一個四邊形的四個頂點在同一個圓上，那么這個四邊形叫這個圓的內接四邊形．我們規定：若圓的內接四邊形有一組鄰邊相等，則稱這個四邊形是這個圓的“鄰等內接四邊形”．
（1）請同學們判斷下列分別用含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖所示的4個四邊形．其中是鄰等內接四邊形的有　 ?。ㄌ钚蛱枺?br/>（2）如圖，四邊形ABCD是鄰等內接四邊形，且，，，，求四邊形ABCD的面積．
21．（2025·遂寧）為了建設美好家園，提高垃圾分類意識，某社區決定購買A、B兩種型號的新型垃圾桶．現有如下材料：
材料一：已知購買3個A型號的新型垃圾桶和購買2個B型號的新型垃圾桶共380元；購買5個A型號的新型垃圾桶和購買4個B型號的新型垃圾桶共700元．
材料二：據統計該社區需購買A、B兩種型號的新型垃圾桶共200個，但總費用不超過15300元，且B型號的新型垃圾桶數量不少于A型號的新型垃圾桶數量的．
請根據以上材料，完成下列任務：
任務一：求A、B兩種型號的新型垃圾桶的單價？
任務二：有哪幾種購買方案？
任務三：哪種方案更省錢，最低購買費用是多少元？
22．（2025·遂寧） DeepSeek橫空出世，猶如一聲驚雷劈開壟斷，躋身世界最強大模型行列，開啟中國人工智能嶄新的春天．為激發青少年崇尚科學，探索未知的熱情，某校開展了“逐夢科技強國”為主題的活動．下面是該校某調查小組對活動中模具設計水平的調查報告，請完成報告中相應問題．
模型設計水平調查報告
調查主題 “逐夢科技強國”活動中模具設計水平
調查目的 通過數據分析，獲取信息，能在認識及應用統計圖表和百分數的過程中，形成數據觀念，發展應用意識．
調查對象 某校學生模具設計成績 調查方式 抽樣調查
數據收集與表示 隨機抽取全校部分學生的模具設計成績（成績為百分制，用x表示），并整理，將其分成如下四組： A：，B：，C：，D：． 下面給出了部分信息： 其中C組的成績為：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
數據分析與應用 根據以上信息解決下列問題： （1）本次共抽取了 ▲ 名學生的模具設計成績，成績的中位數是 ▲ 分，在扇形統計圖中，C組對應圓心角的度數為 ▲ ； （2）請補全頻數分布直方圖； （3）請估計全校1200名學生的模具設計成績不低于80分的人數； （4）學校決定從模具設計優秀的甲、乙、丙、丁四位同學中隨機選擇兩名同學作經驗交流，請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選的兩位同學恰為甲和丙的概率．
23．（2025·遂寧）如圖，一次函數（m，n為常數，）的圖像與反比例函數的圖像交于兩點．
（1）求一次函數和反比例函數的關系式．
（2）結合圖形，請直接寫出不等式的解集．
（3）點是y軸上的一點，若是以AB為直角邊的直角三角形，求b的值．
24．（2025·遂寧）如圖，AB是的直徑，C是上的一點，連結AC、BC，延長AB至點D，連結CD，使．
（1）求證：CD是的切線．
（2）點E是的中點，連結BE，交AC于點F，過點E作交于點H，交AB于點G，連結BH，若，，求的值．
25．（2025·遂寧）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數（b、c為常數）的圖像與x軸交于、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線．
（1）求二次函數關系式．
（2）連結AC、BC，拋物線上是否存在點P，使，若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．
（3）在x軸上方的拋物線上找一點Q，作射線AQ，使，點M是線段AQ上的一動點，過點M作軸，垂足為點N，連結BM，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】正數、負數的實際應用
【解析】【解答】解：“正”和“負”相對， 所以， 如果向東跑20米記為“+20米”， 那么向西跑20米記為-20米.
故答案為：B.
【分析】在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正， 則另一個就用負表示.
2．【答案】D
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A，B，C選項文字均無法找到一條直線，使圖形沿直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，不是軸對稱圖形；
D選項的文字能找到一條直線，使圖形沿直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，為軸對稱圖形；
故答案為：D.
【分析】根據軸對稱圖形的定義“一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形”逐項判斷即可.
3．【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解： 150億用科學記數法表示為，
故答案為：C.
【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中 n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值 時， n是正數；當原數的絕對值 時， n是負數.
4．【答案】B
【知識點】圓柱的展開圖
【解析】【解答】解：
將圓柱側面沿AC“剪開”，側面展開圖為矩形，
∵圓柱的底面直徑為AB，
∴點B是展開圖的一邊的中點，
∵螞蟻爬行的最近路線為線段，
∴B選項符合題意，
故答案為：B.
【分析】利用圓柱的側面展開圖是矩形，而點B是展開圖的一邊的中點，再利用螞蟻爬行的最近路線為線段可以得出結論.
5．【答案】C
【知識點】同底數冪的乘法；完全平方公式及運用；合并同類項法則及應用；積的乘方運算
【解析】【解答】解：則A不符合題意，
則B不符合題意，
則C符合題意，
則D不符合題意，
故答案為：C.
【分析】利用完全平方公式，合并同類項，同底數冪乘法，積的乘方法則逐項判斷即可.
6．【答案】D
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有實數根，
∴，
解得 ，
故答案為：D.
【分析】利用根的判別式計算解答即可.
7．【答案】A
【知識點】多邊形的內角和公式
【解析】【解答】解：設多邊形的邊數為n，
根據題意，得(
解得
則該多邊形的邊數為10.
故答案為：A.
【分析】任何多邊形的外角和是 即這個多邊形的內角和是 n邊形的內角和是 如果已知多邊形的邊數，就可以得到一個關于邊數的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數.
8．【答案】D
【知識點】分式方程的無解問題
【解析】【解答】解：
因為關于x的分式方程無解，
所以有 或
解得： 或
故答案為：D.
【分析】去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，求出x，根據方程無解，可得 或 ， 據此求出a.
9．【答案】A
【知識點】勾股定理；幾何圖形的面積計算-割補法；尺規作圖-垂線；尺規作圖-作角的平分線；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在 中，
由題意可得：BG平分. 即 ，
設BG， AC交于點M， 作 于點N，如圖，
則
設
即
解得： 即
則
由作圖痕跡可知：
即
解得：
故答案為：A.
【分析】先根據勾股定理求出AC，設BG，AC交于點M，作 于點N，如圖，利用角平分線的性質可得 利用等積法求出CM，進而可得BM， 證明 再根據相似三角形的性質求解即可.
10．【答案】B
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數y=a（x-h）²+k的性質；利用二次函數圖象判斷一元二次方程根的情況
【解析】【解答】解：根據函數圖象可得拋物線開口向下，則a<0，對稱軸為直線x=1，則
∴b=-2a>0，
又∵拋物線與y軸交點坐標是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正確；
∵拋物線與x軸的一個交點坐標是(4，0)，對稱軸為直線x=1，
∴另一個交點坐標為(-2，0)，
∴當x=﹣3時， y=9a﹣3b+c<0，故②錯誤；
∵(-2，0)， (4，0)在拋物線 的圖象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
當 時，y取得最大值，最大值為
故③正確；
即
，
對稱軸為直線 當 時，
Δ的值隨a的增大而增大，
又∵
∴當 時，
∴當 時， 恒成立，即
有兩個不相等實根，故④正確；
若點在拋物線 上， 且
即
解得： 且
故⑤錯誤；
故正確的有①③④，共3個.
故答案為：B.
【分析】根據函數圖象結合二次函數的性質，先判斷a，b，c的符號即可判斷①；進而根據對稱性得出另一個交點坐標為 則當 時，即可判斷②；根據 ， ，結合拋物線的頂點坐標，即可判斷③；求得a的范圍進而根據一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程的解情況即可判斷④；根據 結合函數圖象分析，即可得出 進而判斷⑤， 即可求解.
11．【答案】<
【知識點】判斷數軸上未知數的數量關系
【解析】【解答】解：觀察數軸可知， 且
故答案為：<.
【分析】觀察數軸可知， 且 即可得出 的范圍.
12．【答案】2
【知識點】已知一元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：
把 代入方程 得 ， 即
移項、合并同類項， 得
將系數化為1，得
故答案為： 2.
【分析】把 代入方程 可得 解一元一次方程即可得出答案.
13．【答案】乙
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：
∴乙將被錄用.
故答案為：乙.
【分析】根據加權平均數的定義列式計算得出三人的平均成績，再比較大小即可得出答案.
14．【答案】
【知識點】等邊三角形的判定與性質；弧長的計算
【解析】【解答】解：依題意，
則 是等邊三角形；
則
同理得 是等邊三角形，則
；
依題意，
是等邊三角形；
則
同理得∠ 8是等邊三角形，
則
則
∴則
故答案為：
【分析】先理解題意，把深色硬幣的圓心移動路徑都畫出來，根據三邊都等于2r，證明 是等邊三角形，同理得出其他三角形都是等邊三角形，再求出每條弧長，再加起來得出圖3與圖4這兩種情形中深色硬幣的圓心移動路徑長，再進行求解，即可作答.
15．【答案】①②④
【知識點】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性質；解直角三角形—邊角關系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，點E是正方形ABCD的對角線BD上的點，
故①正確；
如圖，在FC上取一點G， 使得
∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，
∴∠ADE=45°， ∠BAD=90°， AD=CD，
∵∠BAE=15°，
∴∠DAE = 90°-15°= 75°，
∴∠AED =180°-45°-75°= 60°，
∵△ADE≌△CDE，
∴∠AED=∠CED=60°，
∠DAE=∠DCE=75°，
∴∠HEB=∠CED=60°，
∠BCE=∠BAE=15°，
∴△GEB是等邊三角形，
∴∠EBG =60°， EG = BE，
又∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=15°，
∴∠FBC = 180°-15°-15°= 150°，
∴∠DBC =45°，
∴∠FBG=∠FBC-∠GBE-∠CBE=150°-60°-45°=45°=∠CBE
∴△FBG≌△CBE(SAS)，
∴FG=CE，
∴EF=EG+FG=EC+BE=AE+BE， 即BE+AE = EF， 故②正確；
如圖，連接AC交BD于點O，則. 過點A，B分別作FC的垂線，垂足分別為K，N，
∵在正方形ABCD中，
在 中，
，
故③錯誤；如圖，
即
∵點M是BC邊上一動點， 連結HM， 將 沿HM翻折，點B落在點P處，
∴Q在以HB為直徑的圓上運動，
取HB的中點T， 連接TD，
∴當Q在TD上時，DQ取得最小值，最小值為DT的長，
， 故④正確.
故答案為： ①②④.
【分析】證明 )即可判斷①，在FC上取一點G， 使得. 證明 △CBE(SAS)，進而判斷②； 過點A， B分別作FC的垂線，垂足分別為K，N， 則 ，根據相似三角形的性質即可判斷③，取HB的中點T，連接TD，根據題意得出O在以HB為直徑的圓上運動，進而得出當O在TD上時，DQ取得最小值，最小值為DT的長，勾股定理求得TD的長，即可求解.
16．【答案】解：原式
.
【知識點】負整數指數冪；實數的絕對值；實數的混合運算（含開方）；解直角三角形—邊角關系
【解析】【分析】利用負整數指數冪，絕對值的性質，特殊銳角三角函數值，二次根式的性質計算，然后加減解題即可.
17．【答案】解：原式
原式

【知識點】分式的化簡求值-擇值代入
【解析】【分析】先算括號里面的，再算除法并約分，然后將已知數值代入計算即可.
18．【答案】（1）)證明： ∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF= FD，
∴BF =DE=2EF，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
（2）解：四邊形AECF是菱形，
連接AE， CF，
由(1)得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE， ∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠BAF=90°， BE = EF，
∵∠ABD=30°，
∴AE=AF，
∴四邊形AECF是菱形.
【知識點】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由AB∥CD，得∠ABF =∠CDE， 由BE =EF=FD， 得BF = DE =2EF， 而BAF =∠DCE， 即可根據“AAS”證明△ABF≌△CDE；
(2)由全等三角形的性質得AF=CE，∠AFB=∠CED， 則AF∥CE，所以四邊形AECF是平行四邊形， 由∠BAF =90°， BE= EF，∠ABD=30°， 可證明 則四邊形AECF是菱形.
19．【答案】解： 連接DE，延長線交CF于點G，
∴DG⊥CF，
∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF，
∴四邊形DEBA和四邊形EGFB是矩形，
設CG = xm， 在Rt△CEG中，
在Rt△CDG中，
解得x≈60.85，
經檢驗x是方程的解，
∴CF=CG+GF=60.85+1.6=62.45≈62.5(m)，
答：摩天輪CF的高度約為62.5米.
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題
【解析】【分析】連接DE，延長線交CF于點G，設 在Rt△CEG中， 利用 求出EG，然后在Rt△CDG中， 利用 求出x即可解答.
20．【答案】（1）③
（2）解：
∵四邊形ABCD是鄰等內接四邊形，
∴A， B， C， D四點共圓， 且BC為直徑，把BC的中點記為點O， 即A， B， C， D四點在⊙O上，
連接BD， AO， 相交于點H，
設
則在 中，
在 中，
即
解得
則
即
∵BC是直徑，
∴OH是 的中位線，
則
∴四邊形ABCD的面積
【知識點】勾股定理；三角形的中位線定理；四點共圓模型；多邊形的面積
【解析】【解答】(1)解：依題意，圖①、圖②和圖④沒有對角互補，不是鄰等對補四邊形，
圖③對角互補且有一組鄰邊相等，是鄰等對補四邊形，
故答案為：③；
【分析】(1)根據鄰等對補四邊形的定義進行逐個分析，即可作答；
(2)先根據勾股定理算出， 設 結合勾股定理整理得 代入數值得 ，再證明OH是 的中位線，則 分別算出 和 即可作答.
21．【答案】解：任務一：設A型號的新型垃圾桶的單價是x元，B型號的新型垃圾桶的單價是y元，
根據題意得：
解得：
答：A型號的新型垃圾桶的單價是60元，B型號的新型垃圾桶的單價是100元；
任務二：設購買m個A型號的新型垃圾桶，則購買 個B型號的新型垃圾桶，
根據題意得：
解得：
又∵m為正整數，
∴m可以為118， 119， 120，
∴共3種購買方案，
方案1：購買118個A型號的新型垃圾桶，82個B型號的新型垃圾桶；
方案2：購買119個A型號的新型垃圾桶，81個B型號的新型垃圾桶；
方案3：購買120個A型號的新型垃圾桶，80個B型號的新型垃圾桶；
任務三：選擇方案1所需費用為
)(元)；
選擇方案2所需費用為
(元)；
選擇方案3所需費用為
(元)，
∴方案3更省錢，最低購買費用是15200元.
【知識點】二元一次方程組的實際應用-銷售問題；一元一次不等式組的實際應用-方案問題
【解析】【分析】任務一：設A型號的新型垃圾桶的單價是x元，B型號的新型垃圾桶的單價是y元，根據“購買3個A型號的新型垃圾桶和購買2個B型號的新型垃圾桶共380元；購買5個A型號的新型垃圾桶和購買4個B型號的新型垃圾桶共700元”，可列出關于x， y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
任務二：設購買m個A型號的新型垃圾桶，則購買 個B型號的新型垃圾桶，根據“總費用不超過15300元，且B型號的新型垃圾桶數量不少于A型號的新型垃圾桶數量的 可列出關于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，再結合m為正整數，即可得出各購買方案；
任務三：利用總價=單價×數量，可求出選擇各方案所需費用， 比較后， 即可得出結論.
22．【答案】（），，；
（）B組的人數為 (人)。
補全頻數分布直方圖如圖所示.
模型設計成績的頻數分布直方圖
(人)。
∴估計全校1200名學生的模具設計成績不低于80分的人數約720人.
(4)列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 (甲， 乙) (甲， 丙) (甲， 丁)
乙 (乙， 甲) (乙， 丙) (乙， 丁)
丙 (丙， 甲) (丙， 乙) (丙， 丁)
丁 (丁， 甲) (丁， 乙) (丁， 丙)
共有12種等可能的結果，其中所選的兩位同學恰為甲和丙的結果有：(甲，丙)，(丙， 甲)，共2種，∴所選的兩位同學恰為甲和丙的概率為
【知識點】頻數（率）分布直方圖；扇形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】(1)本次共抽取了 (名)學生的模具設計成績.
將50名學生的模具設計成績按照從小到大的順序排列，排在第25和26名的成績分別為83，84，
∴成績的中位數是( (分)。
在扇形統計圖中，C組對應圓心角的度數為
故答案為： 50， 83.5，
【分析】(1)用條形統計圖中D的人數除以扇形統計圖中D的百分比可得本次共抽取的學生人數；根據中位數的定義可得答案；用 乘以C的人數所占的百分比， 即可得出答案.
(2)求出B組的人數，補全頻數分布直方圖即可.
(3)根據用樣本估計總體，用1200乘以C，D組人數所占的百分比之和，即可得出答案.
(4)列表可得出所有等可能的結果數以及所選的兩位同學恰為甲和丙的結果數，再利用概率公式可得出答案.
23．【答案】（1）解：在反比例函數 的圖象上，
∴反比例函數的解析式為
又∵B(a，1)在反比例函數 的圖象上，
∴B(4，1)，
把 B(4，1)代入 得：
解得
∴一次函數解析式為
（2）不等式 的解集為 或
（3）解：若AP是斜邊，則AB2+BP2=AP2，
即(-2-4)2+(-2-1)2+(4-0)2+(1-b)2=(-2-0)2+(-2-b)2，
解得b=9；
若PB是斜邊，則AB2+AP2=BP2，
即(-2-4)2+(-2-1)2+(-2-0)2+(-2-b)2=(4-0)2+(1-b)2，
解得b=-6，
綜上所述， b的值 為9或-6.

【知識點】待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；勾股定理；分類討論
【解析】【解答】（2）解：解方程組 得
∴不等式 的解集為 或
【分析】(1)根據待定系數法即可得到答案；
(2)根據圖象和A，B兩點坐標可得出不等式 的x的取值范圍；
(3)分AP是斜邊或PB是斜邊兩種情況，利用勾股定理求出b值即可.
24．【答案】（1）證明： 連接OC，
∵AB是直徑，
即
即
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連接EC，
，
設 則
∵點E是 的中點，
，
即
∴AB垂直平分EH，

【知識點】切線的判定與性質；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)連接OC， 由圓周角定理得∠1+∠2=90°， 又由等腰三角形的性質及已知可得∠BCD=∠1，即得∠BCD+∠2 = 90°， 進而即可求證；
(2)連接EC， 由△BCD∽△CAD得 即得 即得到AB=AD-BD=6， 設BC =a， 則AC=2a， 由勾股定理得( 解得 再證明△CEB∽△FAB， 得 即得BE·BF = AB·BC， 進而由BE=BH得BE·BF=BH·BF =AB·BC，代入計算即可求解.
25．【答案】（1）解：∵對稱軸為直線 ，且二次函數
(b、c為常數)的圖象與x軸交于
B兩點，
∴B(3，0)，
（2）解： 可知
即，
第一種情況：當點P在直線BC上方時，
如圖，記BP與y軸交于點K，
則.
又∵
即
由B(3，0)， K(0，-1)可得直線BP解析式為
聯立
解得 (與B點重合)或
第二種情況：當點P在直線BC下方時，作點A關于y軸對稱點K，連接CL，則
∴BP∥CL，
由C(0，-3)， L(1，0)可得直線CL的解析式為
∴設直線
將B(3，0)代入得
∴直線
聯立 解得 (與B點重合)或
綜上，點P的坐標為 或

（3）解：如圖， 在OC上取點D， 使. 則
∴∠BAQ=∠ADO，
設OD =m， 則CD=AD=3--m，
在Rt△AOD中，
解得
作點B關于直線AQ對稱點E，連接BE交AQ于點F
， 過E作EG⊥x軸于點G，
則BM = EM， BF = EF，
∴BM +MN = EM +MN≥EG，
當且僅當E、M、G三點共線時，
∵∠BAQ=∠ADO，
∴sin∠BAQ =sin∠ADO，
即
∵∠AGE =∠AFE=90°，
即

【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c的性質；解直角三角形—邊角關系；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】(1)根據對稱關系可得點B坐標，進而得到交點式，化簡即可；
(2)分類討論：點P在直線BC上方時，易得 此時利用相似或者三角函數求出OK長度，進而得到直線BK解析式，即可求解；當點P在BC下方時，可以作A關于y軸對稱點L，則易得 進而求解即可；也可以做點K關于直線BC的對稱點G，求出點G坐標，進而求出直線BG解析式，聯立求交點坐標即可；
(3)在二次函數中，一般處理二倍角問題可以構造等腰三角形利用外角性質找小角的二倍，在OC上取點D， 使 則 先求出OD長度，進而作點B關于直線AQ對稱點E，連接BE交AQ于點F，過E作 軸于點G，易得
所以解 即可得解.
1 / 1四川省遂寧市2025年中考數學真題試題
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（2025·遂寧）小明在一條東西向的跑道上進行往返跑訓練，如果向東跑20米記為“米”，那么向西跑20米記為（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知識點】正數、負數的實際應用
【解析】【解答】解：“正”和“負”相對， 所以， 如果向東跑20米記為“+20米”， 那么向西跑20米記為-20米.
故答案為：B.
【分析】在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正， 則另一個就用負表示.
2．（2025·遂寧）漢字作為中華優秀傳統文化的根脈和重要載體，在發展過程中演變出多種字體，給人以美的享受．下面是“遂寧之美”四個字的篆書，能看作是軸對稱圖形的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A，B，C選項文字均無法找到一條直線，使圖形沿直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，不是軸對稱圖形；
D選項的文字能找到一條直線，使圖形沿直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，為軸對稱圖形；
故答案為：D.
【分析】根據軸對稱圖形的定義“一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形”逐項判斷即可.
3．（2025·遂寧）統計數據顯示，截止2025年3月15日電影《哪吒2》全球票房（含預售及海外）超150億元，位列全球影史票房榜第五位．將數據150億用科學記數法表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解： 150億用科學記數法表示為，
故答案為：C.
【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中 n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值 時， n是正數；當原數的絕對值 時， n是負數.
4．（2025·遂寧）如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在點C處，沿圓柱的側面爬到點B處，現將圓柱側面沿AC剪開，在側面展開圖上畫出螞蟻爬行的最短路線，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】圓柱的展開圖
【解析】【解答】解：
將圓柱側面沿AC“剪開”，側面展開圖為矩形，
∵圓柱的底面直徑為AB，
∴點B是展開圖的一邊的中點，
∵螞蟻爬行的最近路線為線段，
∴B選項符合題意，
故答案為：B.
【分析】利用圓柱的側面展開圖是矩形，而點B是展開圖的一邊的中點，再利用螞蟻爬行的最近路線為線段可以得出結論.
5．（2025·遂寧）下列運算中，計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】同底數冪的乘法；完全平方公式及運用；合并同類項法則及應用；積的乘方運算
【解析】【解答】解：則A不符合題意，
則B不符合題意，
則C符合題意，
則D不符合題意，
故答案為：C.
【分析】利用完全平方公式，合并同類項，同底數冪乘法，積的乘方法則逐項判斷即可.
6．（2025·遂寧）已知關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有實數根，
∴，
解得 ，
故答案為：D.
【分析】利用根的判別式計算解答即可.
7．（2025·遂寧）已知一個凸多邊形的內角和是外角和的4倍，則該多邊形的邊數為（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【知識點】多邊形的內角和公式
【解析】【解答】解：設多邊形的邊數為n，
根據題意，得(
解得
則該多邊形的邊數為10.
故答案為：A.
【分析】任何多邊形的外角和是 即這個多邊形的內角和是 n邊形的內角和是 如果已知多邊形的邊數，就可以得到一個關于邊數的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數.
8．（2025·遂寧）若關于的分式方程無解，則的值為（　?。?br/>A．2 B．3 C．0或2 D．或3
【答案】D
【知識點】分式方程的無解問題
【解析】【解答】解：
因為關于x的分式方程無解，
所以有 或
解得： 或
故答案為：D.
【分析】去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，求出x，根據方程無解，可得 或 ， 據此求出a.
9．（2025·遂寧）在中，，結合尺規作圖痕跡提供的信息，求出線段的長為（　?。?br/>A． B． C．6 D．
【答案】A
【知識點】勾股定理；幾何圖形的面積計算-割補法；尺規作圖-垂線；尺規作圖-作角的平分線；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在 中，
由題意可得：BG平分. 即 ，
設BG， AC交于點M， 作 于點N，如圖，
則
設
即
解得： 即
則
由作圖痕跡可知：
即
解得：
故答案為：A.
【分析】先根據勾股定理求出AC，設BG，AC交于點M，作 于點N，如圖，利用角平分線的性質可得 利用等積法求出CM，進而可得BM， 證明 再根據相似三角形的性質求解即可.
10．（2025·遂寧）如圖，已知拋物線（為常數，且）的對稱軸是直線，且拋物線與軸的一個交點坐標是，與軸交點坐標是且．有下列結論：①；②；③；④關于的一元二次方程必有兩個不相等實根；⑤若點在拋物線上，
且，當時，則的取值范圍為．
其中正確的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數y=a（x-h）²+k的性質；利用二次函數圖象判斷一元二次方程根的情況
【解析】【解答】解：根據函數圖象可得拋物線開口向下，則a<0，對稱軸為直線x=1，則
∴b=-2a>0，
又∵拋物線與y軸交點坐標是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正確；
∵拋物線與x軸的一個交點坐標是(4，0)，對稱軸為直線x=1，
∴另一個交點坐標為(-2，0)，
∴當x=﹣3時， y=9a﹣3b+c<0，故②錯誤；
∵(-2，0)， (4，0)在拋物線 的圖象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
當 時，y取得最大值，最大值為
故③正確；
即
，
對稱軸為直線 當 時，
Δ的值隨a的增大而增大，
又∵
∴當 時，
∴當 時， 恒成立，即
有兩個不相等實根，故④正確；
若點在拋物線 上， 且
即
解得： 且
故⑤錯誤；
故正確的有①③④，共3個.
故答案為：B.
【分析】根據函數圖象結合二次函數的性質，先判斷a，b，c的符號即可判斷①；進而根據對稱性得出另一個交點坐標為 則當 時，即可判斷②；根據 ， ，結合拋物線的頂點坐標，即可判斷③；求得a的范圍進而根據一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程的解情況即可判斷④；根據 結合函數圖象分析，即可得出 進而判斷⑤， 即可求解.
二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
11．（2025·遂寧）實數m在數軸上對應點的位置如圖所示，則　 　0．（填“>”“=”或“<”）
【答案】<
【知識點】判斷數軸上未知數的數量關系
【解析】【解答】解：觀察數軸可知， 且
故答案為：<.
【分析】觀察數軸可知， 且 即可得出 的范圍.
12．（2025·遂寧）已知是方程的解，則　 　．
【答案】2
【知識點】已知一元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：
把 代入方程 得 ， 即
移項、合并同類項， 得
將系數化為1，得
故答案為： 2.
【分析】把 代入方程 可得 解一元一次方程即可得出答案.
13．（2025·遂寧）某公司要招聘一名職員，根據實際需要，從學歷、經驗、能力和態度四個方面對甲、乙、丙三名應聘者進行了測試，測試成績如下表：
項目 應聘者
甲 乙 丙
學歷 9 8 8
經驗 8 6 9
能力 7 8 8
態度 5 7 5
公司將學歷、經驗、能力和態度得分按的比例確定每人的最終得分，并以此為依據確定錄用者，則　 　將被擇優錄用．（請選擇填寫甲、乙或丙）
【答案】乙
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：
∴乙將被錄用.
故答案為：乙.
【分析】根據加權平均數的定義列式計算得出三人的平均成績，再比較大小即可得出答案.
14．（2025·遂寧）綜合與實踐——硬幣滾動中的數學
將兩枚半徑為r的硬幣放在桌面上，固定白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖1；將三枚半徑均為r的硬幣連貫的放在桌面上，固定兩枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖2；現將四枚半徑均為r的硬幣按圖3、圖4擺放在桌面上，固定三枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，則在圖3與圖4這兩種情形中深色硬幣的圓心移動路徑長的比值為　 　．
【答案】
【知識點】等邊三角形的判定與性質；弧長的計算
【解析】【解答】解：依題意，
則 是等邊三角形；
則
同理得 是等邊三角形，則
；
依題意，
是等邊三角形；
則
同理得∠ 8是等邊三角形，
則
則
∴則
故答案為：
【分析】先理解題意，把深色硬幣的圓心移動路徑都畫出來，根據三邊都等于2r，證明 是等邊三角形，同理得出其他三角形都是等邊三角形，再求出每條弧長，再加起來得出圖3與圖4這兩種情形中深色硬幣的圓心移動路徑長，再進行求解，即可作答.
15．（2025·遂寧）如圖，在邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上取一點E，使，連結CE并延長至點F，連結BF，使，CF與AB相交于點H．有下列結論：
①；②；③；④點M是BC邊上一動點，連結HM，將沿HM翻折，點B落在點P處，連結BP交HM于點Q，連結DQ，則DQ的最小值為其中正確的結論有　 ?。ㄌ钚蛱枺?br/>【答案】①②④
【知識點】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性質；解直角三角形—邊角關系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，點E是正方形ABCD的對角線BD上的點，
故①正確；
如圖，在FC上取一點G， 使得
∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，
∴∠ADE=45°， ∠BAD=90°， AD=CD，
∵∠BAE=15°，
∴∠DAE = 90°-15°= 75°，
∴∠AED =180°-45°-75°= 60°，
∵△ADE≌△CDE，
∴∠AED=∠CED=60°，
∠DAE=∠DCE=75°，
∴∠HEB=∠CED=60°，
∠BCE=∠BAE=15°，
∴△GEB是等邊三角形，
∴∠EBG =60°， EG = BE，
又∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=15°，
∴∠FBC = 180°-15°-15°= 150°，
∴∠DBC =45°，
∴∠FBG=∠FBC-∠GBE-∠CBE=150°-60°-45°=45°=∠CBE
∴△FBG≌△CBE(SAS)，
∴FG=CE，
∴EF=EG+FG=EC+BE=AE+BE， 即BE+AE = EF， 故②正確；
如圖，連接AC交BD于點O，則. 過點A，B分別作FC的垂線，垂足分別為K，N，
∵在正方形ABCD中，
在 中，
，
故③錯誤；如圖，
即
∵點M是BC邊上一動點， 連結HM， 將 沿HM翻折，點B落在點P處，
∴Q在以HB為直徑的圓上運動，
取HB的中點T， 連接TD，
∴當Q在TD上時，DQ取得最小值，最小值為DT的長，
， 故④正確.
故答案為： ①②④.
【分析】證明 )即可判斷①，在FC上取一點G， 使得. 證明 △CBE(SAS)，進而判斷②； 過點A， B分別作FC的垂線，垂足分別為K，N， 則 ，根據相似三角形的性質即可判斷③，取HB的中點T，連接TD，根據題意得出O在以HB為直徑的圓上運動，進而得出當O在TD上時，DQ取得最小值，最小值為DT的長，勾股定理求得TD的長，即可求解.
三、解答題（本大題共10個小題，共90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（2025·遂寧）計算：．
【答案】解：原式
.
【知識點】負整數指數冪；實數的絕對值；實數的混合運算（含開方）；解直角三角形—邊角關系
【解析】【分析】利用負整數指數冪，絕對值的性質，特殊銳角三角函數值，二次根式的性質計算，然后加減解題即可.
17．（2025·遂寧）先化簡，再求值：，其中a滿足．
【答案】解：原式
原式

【知識點】分式的化簡求值-擇值代入
【解析】【分析】先算括號里面的，再算除法并約分，然后將已知數值代入計算即可.
18．（2025·遂寧）如圖，在四邊形ABCD中，，點E，F在對角線BD上，，且，．
（1）求證：；
（2）連結AE，CF，若，請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
【答案】（1）)證明： ∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF= FD，
∴BF =DE=2EF，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
（2）解：四邊形AECF是菱形，
連接AE， CF，
由(1)得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE， ∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠BAF=90°， BE = EF，
∵∠ABD=30°，
∴AE=AF，
∴四邊形AECF是菱形.
【知識點】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由AB∥CD，得∠ABF =∠CDE， 由BE =EF=FD， 得BF = DE =2EF， 而BAF =∠DCE， 即可根據“AAS”證明△ABF≌△CDE；
(2)由全等三角形的性質得AF=CE，∠AFB=∠CED， 則AF∥CE，所以四邊形AECF是平行四邊形， 由∠BAF =90°， BE= EF，∠ABD=30°， 可證明 則四邊形AECF是菱形.
19．（2025·遂寧）在綜合實踐活動中，為了測得摩天輪的高度CF，在A處用高為1.6米的測角儀AD測得摩天輪頂端C的仰角，再向摩天輪方向前進30米至B處，又測得摩天輪頂端C的仰角．求摩天輪CF的高度．（結果精確到0.1米）
（參考數據：，，，，，）
【答案】解： 連接DE，延長線交CF于點G，
∴DG⊥CF，
∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF，
∴四邊形DEBA和四邊形EGFB是矩形，
設CG = xm， 在Rt△CEG中，
在Rt△CDG中，
解得x≈60.85，
經檢驗x是方程的解，
∴CF=CG+GF=60.85+1.6=62.45≈62.5(m)，
答：摩天輪CF的高度約為62.5米.
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題
【解析】【分析】連接DE，延長線交CF于點G，設 在Rt△CEG中， 利用 求出EG，然后在Rt△CDG中， 利用 求出x即可解答.
20．（2025·遂寧）我們知道，如果一個四邊形的四個頂點在同一個圓上，那么這個四邊形叫這個圓的內接四邊形．我們規定：若圓的內接四邊形有一組鄰邊相等，則稱這個四邊形是這個圓的“鄰等內接四邊形”．
（1）請同學們判斷下列分別用含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖所示的4個四邊形．其中是鄰等內接四邊形的有　 　（填序號）
（2）如圖，四邊形ABCD是鄰等內接四邊形，且，，，，求四邊形ABCD的面積．
【答案】（1）③
（2）解：
∵四邊形ABCD是鄰等內接四邊形，
∴A， B， C， D四點共圓， 且BC為直徑，把BC的中點記為點O， 即A， B， C， D四點在⊙O上，
連接BD， AO， 相交于點H，
設
則在 中，
在 中，
即
解得
則
即
∵BC是直徑，
∴OH是 的中位線，
則
∴四邊形ABCD的面積
【知識點】勾股定理；三角形的中位線定理；四點共圓模型；多邊形的面積
【解析】【解答】(1)解：依題意，圖①、圖②和圖④沒有對角互補，不是鄰等對補四邊形，
圖③對角互補且有一組鄰邊相等，是鄰等對補四邊形，
故答案為：③；
【分析】(1)根據鄰等對補四邊形的定義進行逐個分析，即可作答；
(2)先根據勾股定理算出， 設 結合勾股定理整理得 代入數值得 ，再證明OH是 的中位線，則 分別算出 和 即可作答.
21．（2025·遂寧）為了建設美好家園，提高垃圾分類意識，某社區決定購買A、B兩種型號的新型垃圾桶．現有如下材料：
材料一：已知購買3個A型號的新型垃圾桶和購買2個B型號的新型垃圾桶共380元；購買5個A型號的新型垃圾桶和購買4個B型號的新型垃圾桶共700元．
材料二：據統計該社區需購買A、B兩種型號的新型垃圾桶共200個，但總費用不超過15300元，且B型號的新型垃圾桶數量不少于A型號的新型垃圾桶數量的．
請根據以上材料，完成下列任務：
任務一：求A、B兩種型號的新型垃圾桶的單價？
任務二：有哪幾種購買方案？
任務三：哪種方案更省錢，最低購買費用是多少元？
【答案】解：任務一：設A型號的新型垃圾桶的單價是x元，B型號的新型垃圾桶的單價是y元，
根據題意得：
解得：
答：A型號的新型垃圾桶的單價是60元，B型號的新型垃圾桶的單價是100元；
任務二：設購買m個A型號的新型垃圾桶，則購買 個B型號的新型垃圾桶，
根據題意得：
解得：
又∵m為正整數，
∴m可以為118， 119， 120，
∴共3種購買方案，
方案1：購買118個A型號的新型垃圾桶，82個B型號的新型垃圾桶；
方案2：購買119個A型號的新型垃圾桶，81個B型號的新型垃圾桶；
方案3：購買120個A型號的新型垃圾桶，80個B型號的新型垃圾桶；
任務三：選擇方案1所需費用為
)(元)；
選擇方案2所需費用為
(元)；
選擇方案3所需費用為
(元)，
∴方案3更省錢，最低購買費用是15200元.
【知識點】二元一次方程組的實際應用-銷售問題；一元一次不等式組的實際應用-方案問題
【解析】【分析】任務一：設A型號的新型垃圾桶的單價是x元，B型號的新型垃圾桶的單價是y元，根據“購買3個A型號的新型垃圾桶和購買2個B型號的新型垃圾桶共380元；購買5個A型號的新型垃圾桶和購買4個B型號的新型垃圾桶共700元”，可列出關于x， y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
任務二：設購買m個A型號的新型垃圾桶，則購買 個B型號的新型垃圾桶，根據“總費用不超過15300元，且B型號的新型垃圾桶數量不少于A型號的新型垃圾桶數量的 可列出關于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，再結合m為正整數，即可得出各購買方案；
任務三：利用總價=單價×數量，可求出選擇各方案所需費用， 比較后， 即可得出結論.
22．（2025·遂寧） DeepSeek橫空出世，猶如一聲驚雷劈開壟斷，躋身世界最強大模型行列，開啟中國人工智能嶄新的春天．為激發青少年崇尚科學，探索未知的熱情，某校開展了“逐夢科技強國”為主題的活動．下面是該校某調查小組對活動中模具設計水平的調查報告，請完成報告中相應問題．
模型設計水平調查報告
調查主題 “逐夢科技強國”活動中模具設計水平
調查目的 通過數據分析，獲取信息，能在認識及應用統計圖表和百分數的過程中，形成數據觀念，發展應用意識．
調查對象 某校學生模具設計成績 調查方式 抽樣調查
數據收集與表示 隨機抽取全校部分學生的模具設計成績（成績為百分制，用x表示），并整理，將其分成如下四組： A：，B：，C：，D：． 下面給出了部分信息： 其中C組的成績為：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
數據分析與應用 根據以上信息解決下列問題： （1）本次共抽取了 ▲ 名學生的模具設計成績，成績的中位數是 ▲ 分，在扇形統計圖中，C組對應圓心角的度數為 ▲ ； （2）請補全頻數分布直方圖； （3）請估計全校1200名學生的模具設計成績不低于80分的人數； （4）學校決定從模具設計優秀的甲、乙、丙、丁四位同學中隨機選擇兩名同學作經驗交流，請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選的兩位同學恰為甲和丙的概率．
【答案】（），，；
（）B組的人數為 (人)。
補全頻數分布直方圖如圖所示.
模型設計成績的頻數分布直方圖
(人)。
∴估計全校1200名學生的模具設計成績不低于80分的人數約720人.
(4)列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 (甲， 乙) (甲， 丙) (甲， 丁)
乙 (乙， 甲) (乙， 丙) (乙， 丁)
丙 (丙， 甲) (丙， 乙) (丙， 丁)
丁 (丁， 甲) (丁， 乙) (丁， 丙)
共有12種等可能的結果，其中所選的兩位同學恰為甲和丙的結果有：(甲，丙)，(丙， 甲)，共2種，∴所選的兩位同學恰為甲和丙的概率為
【知識點】頻數（率）分布直方圖；扇形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】(1)本次共抽取了 (名)學生的模具設計成績.
將50名學生的模具設計成績按照從小到大的順序排列，排在第25和26名的成績分別為83，84，
∴成績的中位數是( (分)。
在扇形統計圖中，C組對應圓心角的度數為
故答案為： 50， 83.5，
【分析】(1)用條形統計圖中D的人數除以扇形統計圖中D的百分比可得本次共抽取的學生人數；根據中位數的定義可得答案；用 乘以C的人數所占的百分比， 即可得出答案.
(2)求出B組的人數，補全頻數分布直方圖即可.
(3)根據用樣本估計總體，用1200乘以C，D組人數所占的百分比之和，即可得出答案.
(4)列表可得出所有等可能的結果數以及所選的兩位同學恰為甲和丙的結果數，再利用概率公式可得出答案.
23．（2025·遂寧）如圖，一次函數（m，n為常數，）的圖像與反比例函數的圖像交于兩點．
（1）求一次函數和反比例函數的關系式．
（2）結合圖形，請直接寫出不等式的解集．
（3）點是y軸上的一點，若是以AB為直角邊的直角三角形，求b的值．
【答案】（1）解：在反比例函數 的圖象上，
∴反比例函數的解析式為
又∵B(a，1)在反比例函數 的圖象上，
∴B(4，1)，
把 B(4，1)代入 得：
解得
∴一次函數解析式為
（2）不等式 的解集為 或
（3）解：若AP是斜邊，則AB2+BP2=AP2，
即(-2-4)2+(-2-1)2+(4-0)2+(1-b)2=(-2-0)2+(-2-b)2，
解得b=9；
若PB是斜邊，則AB2+AP2=BP2，
即(-2-4)2+(-2-1)2+(-2-0)2+(-2-b)2=(4-0)2+(1-b)2，
解得b=-6，
綜上所述， b的值 為9或-6.

【知識點】待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；勾股定理；分類討論
【解析】【解答】（2）解：解方程組 得
∴不等式 的解集為 或
【分析】(1)根據待定系數法即可得到答案；
(2)根據圖象和A，B兩點坐標可得出不等式 的x的取值范圍；
(3)分AP是斜邊或PB是斜邊兩種情況，利用勾股定理求出b值即可.
24．（2025·遂寧）如圖，AB是的直徑，C是上的一點，連結AC、BC，延長AB至點D，連結CD，使．
（1）求證：CD是的切線．
（2）點E是的中點，連結BE，交AC于點F，過點E作交于點H，交AB于點G，連結BH，若，，求的值．
【答案】（1）證明： 連接OC，
∵AB是直徑，
即
即
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連接EC，
，
設 則
∵點E是 的中點，
，
即
∴AB垂直平分EH，

【知識點】切線的判定與性質；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)連接OC， 由圓周角定理得∠1+∠2=90°， 又由等腰三角形的性質及已知可得∠BCD=∠1，即得∠BCD+∠2 = 90°， 進而即可求證；
(2)連接EC， 由△BCD∽△CAD得 即得 即得到AB=AD-BD=6， 設BC =a， 則AC=2a， 由勾股定理得( 解得 再證明△CEB∽△FAB， 得 即得BE·BF = AB·BC， 進而由BE=BH得BE·BF=BH·BF =AB·BC，代入計算即可求解.
25．（2025·遂寧）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數（b、c為常數）的圖像與x軸交于、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線．
（1）求二次函數關系式．
（2）連結AC、BC，拋物線上是否存在點P，使，若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．
（3）在x軸上方的拋物線上找一點Q，作射線AQ，使，點M是線段AQ上的一動點，過點M作軸，垂足為點N，連結BM，求的最小值．
【答案】（1）解：∵對稱軸為直線 ，且二次函數
(b、c為常數)的圖象與x軸交于
B兩點，
∴B(3，0)，
（2）解： 可知
即，
第一種情況：當點P在直線BC上方時，
如圖，記BP與y軸交于點K，
則.
又∵
即
由B(3，0)， K(0，-1)可得直線BP解析式為
聯立
解得 (與B點重合)或
第二種情況：當點P在直線BC下方時，作點A關于y軸對稱點K，連接CL，則
∴BP∥CL，
由C(0，-3)， L(1，0)可得直線CL的解析式為
∴設直線
將B(3，0)代入得
∴直線
聯立 解得 (與B點重合)或
綜上，點P的坐標為 或

（3）解：如圖， 在OC上取點D， 使. 則
∴∠BAQ=∠ADO，
設OD =m， 則CD=AD=3--m，
在Rt△AOD中，
解得
作點B關于直線AQ對稱點E，連接BE交AQ于點F
， 過E作EG⊥x軸于點G，
則BM = EM， BF = EF，
∴BM +MN = EM +MN≥EG，
當且僅當E、M、G三點共線時，
∵∠BAQ=∠ADO，
∴sin∠BAQ =sin∠ADO，
即
∵∠AGE =∠AFE=90°，
即

【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c的性質；解直角三角形—邊角關系；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】(1)根據對稱關系可得點B坐標，進而得到交點式，化簡即可；
(2)分類討論：點P在直線BC上方時，易得 此時利用相似或者三角函數求出OK長度，進而得到直線BK解析式，即可求解；當點P在BC下方時，可以作A關于y軸對稱點L，則易得 進而求解即可；也可以做點K關于直線BC的對稱點G，求出點G坐標，進而求出直線BG解析式，聯立求交點坐標即可；
(3)在二次函數中，一般處理二倍角問題可以構造等腰三角形利用外角性質找小角的二倍，在OC上取點D， 使 則 先求出OD長度，進而作點B關于直線AQ對稱點E，連接BE交AQ于點F，過E作 軸于點G，易得
所以解 即可得解.
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