資源簡介

江蘇省鎮江市揚中市第二高級中學2024-2025第二學期高三數學考前熱身訓練
姓名
一 單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知集合，，則 （ ）
A. B. C. D.
2．二項式的展開式中只有第11項的二項式系數最大，則展開式中的指數為整數的項的個數為
A.3 B.5 C.6 D.7 （ ）
3．已知向量與的夾角為，，設在上的投影向量為，則 （ ）
A. B. C. D.
4．若，，則 （ ）
A． B． C． D．
5．已知數列是各項及公差都不為0的等差數列，若為數列的前項和，則“成等比數列”是“為常數列”的 （ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
6．已知的圖象上的三點，且軸上，軸，
A． B． C． D． （ ）
7．在平面直角坐標系中，已知直線：與圓：交于兩點，則的最大值為 （ ）
A. B. C. D.
8．在長方體中，已知，，，點為底面內一點，若和底面所成角與二面角的大小相等，點在底面的投影為點，則三棱錐體積的最小值為 （ ）
A B. 2 C. D.
二 多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全
9．下列說法中，正確的命題是 （ ）
A．兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1
B．口袋中有大小相同的7個紅球、2個藍球和1個黑球．從中任取兩個球，記其中紅球的個數為隨機變量，則的數學期望
C．若隨機變量，當不變時，越小，該正態分布對應的正態密度曲線越矮胖
D．對標有不同編號的6件正品和4件次品的產品進行檢測，從中任取2件，已知其中一件為正品，則另一件也為正品的概率是.
10．關于函數，下列結論正確的是 （ ）
A. 函數的最大值是3
B. 若方程在區間有兩個不相等的實根，則
C. 在中，若為銳角且，角的對邊，則面積的最大值為
D. 在中，若為銳角且，面積為，邊的中點為，則中線的最小值為
11．在邊長為2菱形中，，將菱形沿對角線折成四面體，使得分別為棱的中點，則 （ ）
A. 平面平面 B. 直線與所成角的余弦值為
C. 四面體的體積為 D. 四面體外接球的表面積為
三 填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.
12．現要安排6名大四學生（其中4名男生、2名女生）到，，三所學校實習，每所學校2人，若男生甲不安排到學校，2名女生必須安排到不同的學校且不安排到學校，則不同的安排方法共有______種.（用數字作答）
13．已知復數z對應的點在復平面第一象限內，甲、乙、丙、丁四人對復數z的陳述如下(i為虛數單位)：
甲：z＋＝2； 乙：z－＝2i； 丙：z·＝4； 丁：＝．
在甲、乙、丙、丁四人陳述中，有且只有兩個人的陳述正確，則復數z＝________．
14．若直線與圓相切于點，且交橢圓于，兩點．設為坐標原點，射線與橢圓交于點的面積與的面積分別為，，則的最大值為 ；當取得最大值時，的值為 ．
四 解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．已知的內角所對的邊分別為，點
（1）若；（2）若的周長為4，
①求證：；②求面積的最大值.
16．已知函數在區間內有兩個極值點.
（1）求實數的取值范圍；
（2）若的極大值和極小值的差為，求實數的取值范圍.
17．在數列中，．
（1）求數列的通項公式；
（2）已知數列滿足；
①求證：數列是等差數列；
②若，設數列的前n項和為，求證：．
18．某地臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質細嫩化渣、無核少絡，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各職能部門對臍橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持．已知臍橙分類標準：果徑為一級果，果徑為二級果，果徑或以上為三級果．某農產品研究所從種植園采摘的大量該地臍橙中隨機抽取1000個，測量這些臍橙的果徑(單位：)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)試估計這1000個臍橙的果徑的中位數；
(2)在這1000個臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑中抽出9個臍橙，為進一步測量其他指標，在抽取的9個臍橙中再抽出3個，求抽到的一級果個數的分布列和數學期望；
(3)以樣本估計總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機購買100個，其中一級果的個數為，記一級果的個數為的概率為，寫出的表達式，并求出當為何值時，最大
19．已知橢圓的左 右焦點分別為.等軸雙曲線的頂點是的焦點，焦點是的頂點.點在上，且位于第一象限，直線與的交點分別為和，其中在軸上方.
（1）求和的方程；
（2）求證：為定值；
（3）設點滿足直線的斜率為1，記的面積分別為.從下面兩個條件中選一個，求的取值范圍.①；②.江蘇省鎮江市揚中市第二高級中學2024-2025第二學期高三數學考前熱身訓練
姓名
一 單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知集合，，則 （ D ）
A. B. C. D.
2．二項式的展開式中只有第11項的二項式系數最大，則展開式中的指數為整數的項的個數為
A.3 B.5 C.6 D.7 （ D ）
3．已知向量與的夾角為，，設在上的投影向量為，則 （ A ）
A. B. C. D.
4．若，，則 （ B ）
A． B． C． D．
5．已知數列是各項及公差都不為0的等差數列，若為數列的前項和，則“成等比數列”是“為常數列”的 （ C ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【詳解】因為數列是公差不為0的等差數列，設其公差為，所以，若成等比數列，則，解得，此時，為常數，充分性成立；反之，若為常數列，則，則，得 ，則，易知，故必要性成立，故“成等比數列”是“為常數列”的充要條件.故選:C．
6．已知的圖象上的三點，且軸上，軸，
A． B． C． D． （ C ）
7．在平面直角坐標系中，已知直線：與圓：交于兩點，則的最大值為 （ A ）
A. B. C. D.
【詳解】由題意可知：直線：過定點，圓：，即，可知圓心為，半徑，取線段的中點，則，
可知點的軌跡為以的中點為圓心，半徑的圓，
可得，
當且僅當在的延長線上時，等號成立，
所以的最大值為.故選：A.
8．在長方體中，已知，，，點為底面內一點，若和底面所成角與二面角的大小相等，點在底面的投影為點，則三棱錐體積的最小值為 （ D ）
A B. 2 C. D.
【詳解】由題意，平面，所以和底面所成角為，過Q作，垂足為M，連接，由于平面，平面，故，平面，故平面，平面，故，
則為二面角的平面角，即，故，故，則Q點在平面內的軌跡為以為焦點，為準線的拋物線，
如圖以為原點所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則拋物線方程為，直線的方程為，
設拋物線的和平行的切線方程為，
聯立，得，
令，解得，
即得和之間的距離為，即Q點到的最短距離為，
而的長為，則面積的最小值為，
P點到平面的距離為4，故三棱錐體積的最小值為，故選：D
【點睛】關鍵點點睛：注意到三棱錐的高為定值，因此要求三棱錐體積的最小值，即求面積的最小值，因此可判斷Q點的軌跡，結合拋物線知識求解.
二 多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全
9．下列說法中，正確的命題是 （ ABD ）
A．兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1
B．口袋中有大小相同的7個紅球、2個藍球和1個黑球．從中任取兩個球，記其中紅球的個數為隨機變量，則的數學期望
C．若隨機變量，當不變時，越小，該正態分布對應的正態密度曲線越矮胖
D．對標有不同編號的6件正品和4件次品的產品進行檢測，從中任取2件，已知其中一件為正品，則另一件也為正品的概率是.
10．關于函數，下列結論正確的是 （ BCD ）
A. 函數的最大值是3
B. 若方程在區間有兩個不相等的實根，則
C. 在中，若為銳角且，角的對邊，則面積的最大值為
D. 在中，若為銳角且，面積為，邊的中點為，則中線的最小值為
【詳解】因為
，對于A：因為，所以，的最大值為，故A錯誤；對于B：，，
令，解得，令，解得，
所以在上單調遞增，，在上單調遞減，，
又方程在區間有兩個不相等的實根，即與在區間有兩個交點，，，故B正確；對于C：，為銳角，則，，，，，
，可得，當且僅當時等號成立，面積為，當且僅當時等號成立，的面積最大值為，故C正確；
對于D：，為銳角，則，，，
面積為，，
又，所以
，當且僅當時等號成立，
即，當且僅當時等號成立，最小值為，故D正確．故選：BCD ．
11．在邊長為2菱形中，，將菱形沿對角線折成四面體，使得分別為棱的中點，則 （ AC ）
A. 平面平面 B. 直線與所成角的余弦值為
C. 四面體的體積為 D. 四面體外接球的表面積為
【詳解】對于A，由題意，得，又平面,
從而平面，又平面，故平面平面，故A正確．
對于B，取的中點，連接，所以,則就是直線與所成的角（或其補角），因為邊長為的菱形中,而,易得，因為平面，所以,所以，所以，所以，故B錯誤．
對于C，在中，，可得的面積為，
因為平面 ，所以四面體 ,故C正確．
對于D，設和的中心分別為點，分別過點，作平面和平面的垂線交于點，則點即為四面體外接球的球心，四點共圓，且，
利用正弦定理可得，因此，
所以四面體外接球的半徑，
所以四面體外接球的表面積為，故D錯誤．
故選：AC．
三 填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.
12．現要安排6名大四學生（其中4名男生、2名女生）到，，三所學校實習，每所學校2人，若男生甲不安排到學校，2名女生必須安排到不同的學校且不安排到學校，則不同的安排方法共有___18___種.（用數字作答）
【詳解】第一步2名女生分配到兩個學校，方法數為，第二步學校選1名男生，方法數為（不含男生甲），第三步學校從剩下的3名男生中選1名，方法數為，最后還有2名男生到學校，方法數為，所以總方法數為．故答案為：18.
13．已知復數z對應的點在復平面第一象限內，甲、乙、丙、丁四人對復數z的陳述如下(i為虛數單位)：
甲：z＋＝2； 乙：z－＝2i； 丙：z·＝4； 丁：＝．
在甲、乙、丙、丁四人陳述中，有且只有兩個人的陳述正確，則復數z＝____1＋i ____．
【詳解】由題意可設z＝a＋bi，a＞0，b＞0，＝a－bi，z＋＝2a，z－＝2bi，z·＝a2＋b2，
＝，則乙丁與丙丁不能同時成立，且甲，乙，丙可以知二推一，所以甲丁正確，
所以a＝b＝1，此時z＝1＋i．
14．若直線與圓相切于點，且交橢圓于，兩點．設為坐標原點，射線與橢圓交于點的面積與的面積分別為，，則的最大值為 ；當取得最大值時，的值為 ．
【詳解】由直線與圓相切得，
所以．設，將直線代人橢圓的方程得，。因為，所以且，
則，
故．設點到直線的距離為，
故的面積為，
當，即時等號成立，故的最大值為1。
如圖所示，設，直線與圓相切于點，可得，則可得，
所以．
因為，所以
故
四 解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．已知的內角所對的邊分別為，點
（1）若；（2）若的周長為4，
①求證：；②求面積的最大值.
15．解：（1）方法一：因為，所以為等邊三角形，
因為，所以,
所以,
所以，所以；
方法二：在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
所以；
（2）①證明：因為，
在中，，
所以，
從而；
②因為。
解得時，取等號，
又，
整理得；
在中，由余弦定理，得
，
，
令，所以單調遞增，
所以的最大值為，故
16．已知函數在區間內有兩個極值點.
（1）求實數的取值范圍；
（2）若的極大值和極小值的差為，求實數的取值范圍.
16．解：（1）因為，則，
令，則，
令，
設函數在區間內的兩個極值點為，，
由韋達定理得，所以，
顯然，，所以，
所以，即，解得.
此時，，列表如下：
＋ 0 － 0 ＋
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
所以.
（2）因為，所以
.
由，得，且，
所以.
設，，令，，
則，所以在上單調遞減，
從而，即，
所以實數的取值范圍是.
17．在數列中，．
（1）求數列的通項公式；
（2）已知數列滿足；
①求證：數列是等差數列；
②若，設數列的前n項和為，求證：．
17．解：（1）因為，
所以，
所以，
所以，
因為，所以n=1時，，
所以數列是各項為0的常數列，即，
所以．
（分奇偶項做每做出一種情況得2分，得出統一通項公式得1分）
（2）①由得
所以①
所以②
②-①得：③
所以④
④-③得，所以
即
所以數列是等差數列．
②當時，由得，所以，
又，所以，
所以，
即
．
18．某地臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質細嫩化渣、無核少絡，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各職能部門對臍橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持．已知臍橙分類標準：果徑為一級果，果徑為二級果，果徑或以上為三級果．某農產品研究所從種植園采摘的大量該地臍橙中隨機抽取1000個，測量這些臍橙的果徑(單位：)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)試估計這1000個臍橙的果徑的中位數；
(2)在這1000個臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑中抽出9個臍橙，為進一步測量其他指標，在抽取的9個臍橙中再抽出3個，求抽到的一級果個數的分布列和數學期望；
(3)以樣本估計總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機購買100個，其中一級果的個數為，記一級果的個數為的概率為，寫出的表達式，并求出當為何值時，最大
18．解：（1）果徑的頻率為，
果徑的頻率為。故果徑的中位數在，不妨設為，則，解得中位數。
（2）果徑的頻率之比為，所以分層抽樣過程中，一級果、二級果、三級果個數分別為個，故隨機變量，
；
所以的分布列為
期望。
（3）這批果實中一級果的概率，每個果實相互獨立，則，
則
題目即求為何值時，最大，令，
解得。
故當時，，即；當時，，即，
所以，即一級果的個數最有可能為30個。
19．已知橢圓的左 右焦點分別為.等軸雙曲線的頂點是的焦點，焦點是的頂點.點在上，且位于第一象限，直線與的交點分別為和，其中在軸上方.
（1）求和的方程；
（2）求證：為定值；
（3）設點滿足直線的斜率為1，記的面積分別為.從下面兩個條件中選一個，求的取值范圍.①；②.
19．解：（1）設的方程為，
則，所以.所以的方程為.
所以的頂點為，則，所以.
所以的方程為.
（2）設，則，直線的斜率為，直線的斜率為，所以.
設直線的方程為，則直線的方程為，
聯立消去并整理得，，
設，則.
所以.
同理可求得，.
所以，
故為定值.
（3）因為，所以.
因此直線平分.
所以點到直線與的距離相等.
所以.（注：選擇條件①或②均可得此結果）
由（2）知，.
因為且，
所以.
所以.
故的取值范圍為.

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