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鎮江市揚中市第二高級中學2024-2025高一數學第二學期期末模擬試卷3
姓名
一 單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.復數滿足，則的虛部為 （ ）
A. B. C. D.
2．的值為 （ ）
A． B． C． D．
3．已知菱形的邊長為2，則 ( )
A． B． C． D．
4．設是兩個平面，是兩條直線，則的一個充分條件是 （ ）
A． B．
C．與相交 D．
5．在中，上一點，且，則 （ ）
A． B． C． D．
6.已知正三棱臺的下底面邊長為，側棱長為2，側棱與底面所成的角為，則該三棱臺的體積為 （ ）
A． B． C． D．
7． 在中，三個內角所對的邊分別為是的三等分點，且.若
的面積時，則的長為 （ ）
A. B. C. D.
8．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
二 多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全
9．如圖，設軸和軸是平面內相交成角的兩條數軸，其中分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數對叫做向量在夾角為的坐標系中的坐標，記為，則下列結論正確的是 （ ）
A. 若，則
B. 若，則在上的投影向量為
C. 若的最小值為，則
D. 若對任意的，恒有，則
10.如圖所示，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，則下列說法中正確的是 （ ）
A．存在點，，使得
B．異面直線與所成的角為60°
C．三棱錐的體積為
D．點到平面的距離為
11．關于函數，下列結論正確的是 （ ）
A. 函數的最大值是3
B. 若方程在區間有兩個不相等的實根，則
C. 在中，若為銳角且，角的對邊，則面積的最大值為
D. 在中，若為銳角且，面積為，邊的中點為，則中線的最小值為
三 填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.
12．已知，且，則 .
13．在平行四邊形中，分別為邊的中點，若,則 .
14．在三棱錐P－ABC中，已知△ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥平面ABC，M，N分別是AB，PC的中點，若異面直線MN，PB所成角的余弦值為，則PA的長為_____；三棱錐P－ABC的外接球表面積為__ ___．
四 解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．已知復數，，.
（1）當時，求的值.
（2）若是純虛數，求的值.
（3）若在復平面上對應的點在第二象限，求的取值范圍.
16．已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，與的夾角為銳角，求實數m的取值范圍.
17．記的內角的對邊分別為，已知，點上，
（1）證明：；
（2）若
18．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面是正三角形，側面底面是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求側面與底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在點使平面平面成立？如果存在，求出，如果不存在，說明理由.
19．如圖所示，是在沿海海面上相距海里的兩個哨所，的正南方向，哨所在凌晨1點時發現其南偏東方向的點處有一膄走私船，同時，哨所也發現走私船在其東北方向上，兩哨所立即聯系緝私艇前往攔截，緝私艇位于點南偏西的點，且與相距海里.
（1）求剛發現走私船時，走私船與哨所的距離；（2）剛發現走私船時，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度方向上？（3）若緝私艇得知走私船以海里/小時的速度從向北偏東方向逃竄，立即以30海里/小時的速度進行追截，緝私艇至少需要多長時間才能追上走私船？鎮江市揚中市第二高級中學2024-2025高一數學第二學期期末模擬試卷3
姓名
一 單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.復數滿足，則的虛部為 （ C ）
A. B. C. D.
2．的值為 （ A ）
A． B． C． D．
3．已知菱形的邊長為2，則 ( B )
A． B． C． D．
4．設是兩個平面，是兩條直線，則的一個充分條件是 （ D ）
A． B．
C．與相交 D．
5．在中，上一點，且，則 （ C ）
A． B． C． D．
6.已知正三棱臺的下底面邊長為，側棱長為2，側棱與底面所成的角為，則該三棱臺的體積為 （ D ）
A． B． C． D．
【詳解】將正棱臺補全為一個棱錐，為底面中心，如圖所示，所以
，則，
而棱臺的高，
所以，則該三棱臺的體積為.故選D.
7． 在中，三個內角所對的邊分別為是的三等分點，且.若
的面積時，則的長為 （ A ）
A. B. C. D.
8．已知，，則（ A ）
A． B． C． D．
【詳解】，.
，，，，，
又因為，所以，
則，所以
.
.故選：A
二 多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全
9．如圖，設軸和軸是平面內相交成角的兩條數軸，其中分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數對叫做向量在夾角為的坐標系中的坐標，記為，則下列結論正確的是 （ ABD ）
A. 若，則
B. 若，則在上的投影向量為
C. 若的最小值為，則
D. 若對任意的，恒有，則
【詳解】由題意，所以，故A正確；
因為，所以在上的投影向量為，故B正確；
，即，所以或，故C錯誤；由，兩邊平方得.即任意，，若，上式恒成立，即，若，所以，得，故D正確.故選:ABD.
10.如圖所示，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，則下列說法中正確的是（ BCD ）
A．存在點，，使得
B．異面直線與所成的角為60°
C．三棱錐的體積為
D．點到平面的距離為
【詳解】連接.對于A選項，平面，平面，，
所以與是異面直線，所以A選項錯誤；對于B選項，，所以異面直線與所成的角為，由于三角形是等邊三角形，所以，所以B選項正確；
對于C選項，設，根據正方體的性質可知，
由于平面，所以平面，
所以到平面的距離為.
，所以C選項正確.
對于D選項，設點到平面的距離為，
，
，
解得，所以D選項正確.故選BCD.
11．關于函數，下列結論正確的是 （ BCD ）
A. 函數的最大值是3
B. 若方程在區間有兩個不相等的實根，則
C. 在中，若為銳角且，角的對邊，則面積的最大值為
D. 在中，若為銳角且，面積為，邊的中點為，則中線的最小值為
【詳解】因為
，對于A：因為，所以，的最大值為，故A錯誤；對于B：，，
令，解得，令，解得，
所以在上單調遞增，，在上單調遞減，，
又方程在區間有兩個不相等的實根，即與在區間有兩個交點，，，故B正確；對于C：，為銳角，則，，，，，
，可得，當且僅當時等號成立，面積為，當且僅當時等號成立，的面積最大值為，故C正確；
對于D：，為銳角，則，，，
面積為，，
又，所以
，當且僅當時等號成立，
即，當且僅當時等號成立，最小值為，故D正確．故選：BCD ．
三 填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.
12．已知，且，則 .
13．在平行四邊形中，分別為邊的中點，若,則 .
14．在三棱錐P－ABC中，已知△ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥平面ABC，M，N分別是AB，PC的中點，若異面直線MN，PB所成角的余弦值為，則PA的長為___. 2 __；三棱錐P－ABC的外接球表面積為__ ##___．
【詳解】取BC中點E，連接NE，ME，
設，∴．
取AC中點F，連接NF、MF，則，因為PA⊥平面ABC，所以NF⊥平面ABC，由MF平面ABC，所以，所以
∴，∴
設底面△ABC外心為，由正弦定理得，過作⊥平面ABC，則三棱錐P—ABC外接球球心O一定在O1Q上，由，取PA中點R，則，∴
∴外接球半徑故答案為：2，
四 解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．已知復數，，.
（1）當時，求的值.
（2）若是純虛數，求的值.
（3）若在復平面上對應的點在第二象限，求的取值范圍.
15．解：（1）當時，可得；
（2）由復數為純虛數，可得，解得；
（3）由，
可得在復平面上復數對應點，
因為點位于第二象限點，可得，解得，所以的范圍是.
16．已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，與的夾角為銳角，求實數m的取值范圍.
16．解：（1）解：因為向量，，且，
則，，則，可得，
所以，，解得.
（2）解：當時，，則，
因為與的夾角為銳角，則，
解得，
且與不共線，則，可得，
綜上所述，實數的取值范圍是.
17．記的內角的對邊分別為，已知，點上，
（1）證明：；（2）若
17．（1）證明：由正弦定理知：
，
，
即；
（2）由（1）知，
在中，由余弦定理知，
，
在中，由余弦定理知，
，
，
化簡得，
，
在中，由余弦定理知，
，
當
當，
綜上所述，
18．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面是正三角形，側面底面是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求側面與底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在點使平面平面成立？如果存在，求出，如果不存在，說明理由.
18．解：（1）因為側面是正三角形，是的中點，
所以，
因為，面面，面面面，
所以面，
又面，所以，
又平面，
所以平面；
（2）取的中點的中點，連接，
則且，
故，
因為面面，面面面，
所以面，
因為面，所以，
又平面，所以平面，
又平面所以，
則即為側面與底面所成二面角的平面角，
設，則，故，
所以，
即側面與底面所成二面角的余弦值為；
（3）當面時，平面平面，證明如下：
如圖，連接交于點，連接，
因為底面是正方形，所以，
由（2）得面，
因為面，所以，
因為面時，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因為，所以，
因為，所以，
所以在棱上是否存在點，當時，平面平面.
【點睛】方法點睛：求二面角常用的方法：
（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：
①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質；
（2）空間向量法：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.
19．如圖所示，是在沿海海面上相距海里的兩個哨所，的正南方向，哨所在凌晨1點時發現其南偏東方向的點處有一膄走私船，同時，哨所也發現走私船在其東北方向上，兩哨所立即聯系緝私艇前往攔截，緝私艇位于點南偏西的點，且與相距海里.
（1）求剛發現走私船時，走私船與哨所的距離；（2）剛發現走私船時，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度方向上？（3）若緝私艇得知走私船以海里/小時的速度從向北偏東方向逃竄，立即以30海里/小時的速度進行追截，緝私艇至少需要多長時間才能追上走私船？
19．解：（1）根據點點的南偏東，在點的東北方向，可得
,
由正弦定理
結合，
可得,
即走私船與觀測點的距離為海里；
（2）由（1）的結論，，
，
由余弦定理，
，可知
剛發現走私船時，走私船距緝私艇30海里，在緝私艇的北偏東方向上；
（3）設小時緝私艇處追上走私船，則
，
在中，由余弦定理得
，
即化簡得
，
因此，緝私艇至少需要小時追上走私船.

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