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2025 新海協(xié)作體高一數(shù)學(xué)參考答案
具體評分標準參考教研群
題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
號
答 B D B C D A B B BCD ACD
案
題 11
號
答 CD
案
12．4
．
．
． （ ） 因 為 ，所 以 ，所 以 ，
因為 ，則 ，所 以 ， ；
（ ） 因 為 ，
，
所以 ，
設(shè) 與 量 的夾 角 為 ，則
，
因為 ，所 以 ，即 與 的夾 角 為
（ ） 由 正 弦 定 理 得 ， ，
又 ， ，
，
， ，
，
， ，
（ ） 面積 為 ，
，
，
由 得
即 ， ，
.
． （ ） 在 直 三 棱 柱 中 設(shè) 點 到 平 面 的距 離 為 ，
解得 ，
則所以 點 到 平 面 的距 離 為 ； ，
． （ ） 由 已 知 當(dāng) 時， ，
所以 ， ，
所以 ，
因為 ，所 ，
（ ） 當(dāng) 時， ，即 為 的中 點 ，
因為 三點 共 線 ，
設(shè) ，則
，
因為 三點 共 線 ，
設(shè) ，則
又 不共 線 ， ，
由（ ） ，又 ，
所以
，
因為 ，所 以 當(dāng) 時，
． （ ） 記 水 面 與 棱 分別 交 于 點
根據(jù) 平 面 向 量 基 本 定 理 得 解得
所以 ，又 ，則
所以
（ ） 因 為
，
所以
，
，取得最小值，且
最小值為 .
，
當(dāng)側(cè)面 水平放置時，水是以 為底，高為 8 的直棱柱，因為
， 分別 為 棱 的中 點 ，
所以，所以水的體積為
，
當(dāng)?shù)?面 水 平 放 置 時 ， 設(shè) 水 面 高 為 ，
則 ，解得 ，
即當(dāng)?shù)酌?ABC 水平放置時，水面高為 6.
（ ） 因 為 三 棱 柱 體積 為 ，
所以 三 棱 錐 的體 積 為 ，
空氣 部 分 的 體 積 為 ，
因為 ，所 以 當(dāng) 水 面 經(jīng) 過 段 時， 水 面 與 棱 交于點 ，如
圖，
記
由 ，
的中 點 為 ，連 接 ，則 ，因為
，所 以 ，
又 平面 ， 平面 ，所 以 ， ，
因為 ， 平面 ，所 以 平面 ，因為
平面 ，所以平面 平面 ，所以直線 在平面 內(nèi)的投影為 ，所以
為直線 與水平面所成角，又
，所 以
所以 ，
，
因為 ，所以水面到地面的距 離為
（3）由上可知，水面第一次過頂點 C 之前，水
面與棱 相交，如圖：
記 的中 點 分 別 為 ， 在 上， 且 ， ，
易知 ， 為正 三 角 形 ， 設(shè) ，
，所 以 ，
整理 得 ①，
又因 為 平面 ， 平面 ，平 面 平面
則
，所以 與 的交點必在 上，所以 為棱臺，
所以 ，
整理 得 ②，
聯(lián)立 ① 可 得 ， ，
因為 ，所 以 為平 行 四 邊 形 ，
所以 ，
易知 為等 腰 梯 形 ， 所 以 為等 腰 梯 形 的高 ，
所以 水 面 面 積 ，
則
當(dāng)水 面 剛 好 過 點 時， ，解 得 ，
則 ， ，
由題 意 可 知 ， 則 ，
記 ， ，
由二 次 函 數(shù) 性 質(zhì) 可 知 ， ，即
所以 ，所 以 ，
即水 面 面 積 的 取 值 范 圍 為 ，2024-2025學(xué)年度連云港市新海協(xié)作體第二學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測
高一數(shù)學(xué)試題
注意事項
1.本試卷共4頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘。考試結(jié)束后,請將答題卡交回。
2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、考試號等用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置。
3.請認真核對答題卡表頭規(guī)定填寫或填涂的項目是否準確。
4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。作答非選擇題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。
一、單選題（共8小題 滿分40分）
1．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
3．設(shè)向量，若，則（ ）
A． B． C． D．0
4．如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，則平面圖形的面積為（ ）
A． B．2 C．3 D．
5．正四棱臺的上、下底面邊長分別為，，側(cè)棱長為，則棱臺的側(cè)面積為（ ）
A． B．
C． D．
6．在中， 若， 則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
7．若，且，則（ ）
A． B． C． D．
8．在正四棱錐中，底面四邊形是邊長為的正方形，當(dāng)該正四棱錐的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比最小時，則該正四棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（共3小題 滿分18分）
9．已知中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列命題中，正確的命題是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，則；反之，若，則
C．，，，要使此三角形的解有兩個，則的取值范圍為
D．，角的平分線交邊于，且，則的最小值為12
10．在底面是菱形的四棱錐中，，，，點在上，且，點是棱的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．三棱錐的體積為
C．當(dāng)是棱的中點時，平面
D．直線與平面所成的角的正切值最大為
11．如圖，已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為2和6，側(cè)棱長為4，點P在側(cè)面內(nèi)運動（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，點Q為上一點，且，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．正三棱臺的高為
B．點P的軌跡長度為
C．高為，底面半徑為的圓柱可以放進棱臺內(nèi)
D．過點A，B，Q的平面截該棱臺內(nèi)最大的球所得的截面面積為
三、填空題（共3小題 滿分15分）
12．已知為一單位向量，與之間的夾角是120°，而在方向上的投影向量為，則 ．
13．已知，且，則 .
14．在銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，，點是線段的中點，則線段長的取值范圍為 ．
四、解答題（共5大題 滿分77分）
15．（13分；已知向量，，，且，
(1)求與；
(2)若，，求向量，夾角的大小.
16．（15分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)若，面積為，求的值.
17．（15分）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．
(1)求A到平面的距離；
(2)設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．
18．（17分）在平行四邊形中，是線段的中點，點在直線上，且.
(1)當(dāng)時，求的值；
(2)當(dāng)時，與交于點，求的值；
(3)求的最小值.
19．（17分）如圖1，一個正三棱柱形容器中盛有水，底面邊長為4，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時，水面恰好過AC，BC，，的中點．現(xiàn)在固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜．隨著傾斜程度不同，水面的形狀也不同．
(1)如圖2，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水面高為多少
(2)當(dāng)水面經(jīng)過線段時，水面與地面的距離為多少
(3)試分析容器圍繞AB從圖1的放置狀態(tài)旋轉(zhuǎn)至水面第一次過頂點C的過程中（不包括起始和終止位置），水面面積S的取值范圍．（假設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中水面始終呈水平狀態(tài)，不考慮水面的波動）
高一數(shù)學(xué)試題 第1頁 共3頁

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