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建湖縣第二中學 高三第五次模擬測試
數學試卷
一、選擇題:本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一 個選項是正確的. 請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1.若集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知為虛數單位，復數，則（ ）
A. B.的虛部為
C. D.在復平面內對應的點在第四象限
3. 已知等差數列前項和為，公差，若，且，，成等比數列，則的值為（ ）
A. 11 B. 13 C. 19 D. 17
4.若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
5.已知函數，若將的圖象向左平移個單位后所得的函數圖象與曲線關于對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
6.已知正三棱臺的上底面與下底面的面積之比為1:4，當棱臺的高為2，體積為時，則此時正三棱臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
7.已知是拋物線：上一點，且位于第一象限，點到拋物線的焦點的距離為4，過點向拋物線作兩條切線，切點分別為，，則（ ）
A． B．1 C．16 D．
8. 定義在上的函數滿足：都有，，且，則（ ）【答案】B
A. 45 B. 46 C. 91 D. 92
二、選擇題:本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的四個選項中，有多 項符合題目要求. 全部選對得 6 分， 選對但不全的得部分分， 有選錯的得 0 分.
9．若，則下列正確的是（ ）BCD
A． B．
C． D．
10．數學家棣莫弗發現，如果隨機變量X服從二項分布，那么當n比較大時，X近似服從正態分布，其密度函數為，任意正態分布，可通過變換轉化為標準正態分布當時，對任意實數x，記，則（ ）BD
A．當時， B．
C．隨機變量，當，都減小時，概率增大
D．隨機變量，當增大，減小時，概率保持不變
14.雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布 伯努利用來描述他發現的曲線.在平面直角坐標系xOy中，把到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是時的雙紐線上一點，則（ ）
A．關于原點成中心對稱 B．上滿足的點有2個
C．面積的最大值為 D．當直線與有3個交點時，的取值范圍是
三、填空題: 本大題共 3 小題， 每小題 5 分， 共 15 分.
12.已知直線（，），若直線被圓所截得的弦長為，則的最大值為_____
13.已知函數f(x)＝ln x－ax＋1，其中a為實常數.對于函數圖象上任意不同的兩點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，直線AB的斜率為k，若x1＋x2＋k＞0恒成立，a的取值范圍為_____
14.在2024年歐洲杯某小組賽中，共有甲 乙 丙 丁四支隊伍進行單循環比賽，即每兩支隊伍在比賽中都要相遇且僅相遇一次，最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．若每場比賽中兩隊勝 平 負的概率都為，則在比賽結束時甲隊勝兩場且乙隊勝一場的概率為 .
四、解答題:本大題共 5 小題，共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.某企業前8個月月底的盈利金額（萬元）與月份之間的關系如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7 8
1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70
(1)用模擬與的關系，求出回歸方程；
(2)根據（1）的結果計算，在幾月份的月底統計的盈利金額開始超過60萬元？
附：①；
②；
③回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式為：.
16. 在中，角所對的邊分別 ，且 .
（1）求角 的值；
（2）若為銳角三角形，且 ，求面積的取值范圍.
17.（15分）
已知橢圓的左右頂點分別為，點在橢圓上.點為直線上的動點，直線與直線的斜率之比為.
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓的長軸上是否存在定點，使得直線與橢圓交于兩點，當點在直線上運動時，恒構成等差數列？若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.
18．如圖，在三棱柱中，為的重心，平面，記二面角與的大小分別為.
(1)當時，時.
（i）證明：；
（ii）求；
(2)若，求的取值范圍.
19.已知函數．
(1)若，求的單調區間；
(2)定義函數，對于數列，若，則稱為函數的“生成數列”，為函數的一個“源數列”．
①已知為函數的“源數列”，求證：對任意正整數，均有；
②已知為函數的“生成數列”，為函數的“源數列”， 與的公共項按從小到大的順序構成數列，試問在數列中是否存在連續三項構成等比數列？請說明理由．建湖縣第二中學 高三第五次模擬測試
數學試卷
一、選擇題:本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一 個選項是正確的. 請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1.若集合，集合，則（ ）【答案】B
A. B. C. D.
2.已知為虛數單位，復數，則（ ）【答案】D
A. B.的虛部為
C. D.在復平面內對應的點在第四象限
3. 已知等差數列前項和為，公差，若，且，，成等比數列，則的值為（ ）
A. 11 B. 13 C. 19 D. 17
【答案】C
4.若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
5.已知函數，若將的圖象向左平移個單位后所得的函數圖象與曲線關于對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
6.已知正三棱臺的上底面與下底面的面積之比為1:4，當棱臺的高為2，體積為時，則此時正三棱臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】令正三棱臺的上底面積為，則下底面積為，
依題意，，解得，
而，則，同理，
為兩底面的中心，為的中點，過作下底面垂線，垂足為，
則在上.
，，，
則斜高，
所以正三棱臺的側面積.
故選A.
7.已知是拋物線：上一點，且位于第一象限，點到拋物線的焦點的距離為4，過點向拋物線作兩條切線，切點分別為，，則（ ）
A． B．1 C．16 D．
【答案】B
8. 定義在上的函數滿足：都有，，且，則（ ）【答案】B
A. 45 B. 46 C. 91 D. 92
二、選擇題:本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的四個選項中，有多 項符合題目要求. 全部選對得 6 分， 選對但不全的得部分分， 有選錯的得 0 分.
9．若，則下列正確的是（ ）BCD
A． B．
C． D．
10．數學家棣莫弗發現，如果隨機變量X服從二項分布，那么當n比較大時，X近似服從正態分布，其密度函數為，任意正態分布，可通過變換轉化為標準正態分布當時，對任意實數x，記，則（ ）BD
A．當時， B．
C．隨機變量，當，都減小時，概率增大
D．隨機變量，當增大，減小時，概率保持不變
14.雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布 伯努利用來描述他發現的曲線.在平面直角坐標系xOy中，把到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是時的雙紐線上一點，則（ ）
A．關于原點成中心對稱 B．上滿足的點有2個
C．面積的最大值為 D．當直線與有3個交點時，的取值范圍是
【答案】ACD
【分析】對于A，設動點，把關于原點對稱的點代入軌跡方程，顯然成立；對于B，易得若|則在軸上再根據的軌跡方程求解即可；對于C，由三角形得面積公式求解判斷即可；對于D，聯立方程組，由判別式分析求解即可.
【詳解】對于A，設動點，由題可得的軌跡方程，
把關于原點對稱的點 代入軌跡方程顯然成立，故A正確；
對于B，時的雙紐線的方程為，
若，則在的中垂線軸上，故此時，
代入得，即，所以只有一個點，故B錯誤；
對于C，因為，是上的一點，
故，
當，即時等號成立，
下面說明垂直時可取到，
，則，
代入，
得，解得，故C正確；
對于D，直線與有3個交點時，
聯立與，
得，當時，適合上述方程，
當時，，
即，則，則，
所以直線與有3個交點時，的取值范圍是，故D正確；
故選：ACD.
三、填空題: 本大題共 3 小題， 每小題 5 分， 共 15 分.
12.已知直線（，），若直線被圓所截得的弦長為，則的最大值為_____【答案】
13.已知函數f(x)＝ln x－ax＋1，其中a為實常數.對于函數圖象上任意不同的兩點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，直線AB的斜率為k，若x1＋x2＋k＞0恒成立，a的取值范圍為_____
【答案】(－∞，2].
14.在2024年歐洲杯某小組賽中，共有甲 乙 丙 丁四支隊伍進行單循環比賽，即每兩支隊伍在比賽中都要相遇且僅相遇一次，最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．若每場比賽中兩隊勝 平 負的概率都為，則在比賽結束時甲隊勝兩場且乙隊勝一場的概率為 .
【答案】
【分析】分（1）甲勝乙丙，且甲平或負丁，（2）甲勝乙丁，平或負丙，（3）甲勝丙丁，三種情況分別分析，由相互獨立事件的概率公式求解，再相加即可.
【詳解】（1）甲勝乙丙，且甲平或負丁：
① 乙勝丙，且乙平或負丁，概率為；
② 乙勝丁，且乙平或負丙，同①，概率為．
因此，（1）概率為．
（2）甲勝乙丁，平或負丙，同（1），概率為．
（3）甲勝丙丁：
① 甲平乙，乙勝丙，且乙平或負丁，此時概率為；
② 甲平乙，乙勝丁，且乙平或負丙，同①，概率為；
③ 甲負乙，乙平或負丙、丁，此時概率為，
因此，（3）概率為．
綜上：甲勝兩場且乙勝一場的概率為．
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：根據題意，甲隊勝兩場且乙隊勝一場，可分為甲勝乙丙，且甲平或負丁；甲勝乙丁，平或負丙；甲勝丙丁三種情況分析，分別由相互獨立事件的概率公式求解，再相加即可.
四、解答題:本大題共 5 小題，共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.某企業前8個月月底的盈利金額（萬元）與月份之間的關系如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7 8
1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70
(1)用模擬與的關系，求出回歸方程；
(2)根據（1）的結果計算，在幾月份的月底統計的盈利金額開始超過60萬元？
附：①；
②；
③回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式為：.
16.【答案】(1)
(2)10月
【詳解】（1）令，則，
，，故.
（2）令，
故，故10月開始超過.
15. 在中，角所對的邊分別 ，且 .
（1）求角 的值；
（2）若為銳角三角形，且 ，求面積的取值范圍.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）根據正弦定理可得，進而可得，可得；
（2）由為銳角三角形可得，根據正弦定理可得，進而可得，，進而可得.
【小問1詳解】
由及正弦定理可得，
得，
得，
得，
因，故，故，即，
又，故.
【小問2詳解】
由得，
由為銳角三角形可得得，
由正弦定理可得，故，
即，
因，故，故，
故，，故，
故面積的取值范圍為
17.（15分）
已知橢圓的左右頂點分別為，點在橢圓上.點為直線上的動點，直線與直線的斜率之比為.
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓的長軸上是否存在定點，使得直線與橢圓交于兩點，當點在直線上運動時，恒構成等差數列？若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.
17.（15分）
解：（1）設，且點，得，.
由直線與直線的斜率之比為，得：
又因為點在上，所以，，
將代入，解得，所以，的方程為.
（2）當直線斜率為0時，分別為軸上兩個端點，
此時，若滿足，則
當直線斜率不為0時，設
由得
也成立
綜上，橢圓的長軸上存在定點，使得直線與橢圓交于兩點時，恰好成等差數列.
18．如圖，在三棱柱中，為的重心，平面，記二面角與的大小分別為.
(1)當時，時.
（i）證明：；
（ii）求；
(2)若，求的取值范圍.
18．【答案】(1)（i）證明見解析；（ii）
(2)
【詳解】（1）（i）延長交于，則是的中點；
，，平面，平面，，
，平面，平面，平面，
，.
（ii）為的重心，，所以，
由平面得，故，
如圖，過作，以分別為軸建立空間直角坐標系，
因為二面角與的大小分別為，知即二面角，，
故，設平面的一個法向量，
則，取
平面的一個法向量，
設平面的一個法向量，，
則，取，
所以平面的一個法向量，
.
（2）如圖，過作，過作，以分別為軸建立空間直角坐標系，
因為，設，則，
故，
設平面的一個法向量，
則，
取，平面的一個法向量為，
平面的一個法向量為，
設平面的一個法向量，，
則，
取，所以平面的一個法向量為，
由得二面角與相等，
，即，
整理得，所以，，
所以.
19.已知函數．
(1)若，求的單調區間；
(2)定義函數，對于數列，若，則稱為函數的“生成數列”，為函數的一個“源數列”．
①已知為函數的“源數列”，求證：對任意正整數，均有；
②已知為函數的“生成數列”，為函數的“源數列”， 與的公共項按從小到大的順序構成數列，試問在數列中是否存在連續三項構成等比數列？請說明理由．
【答案】(1)單調遞增區間為和，單調遞減區間為．
(2)①證明見解析；②假設不成立，即不存在連續三項構成等比數列，理由見解析．
【分析】（1）求導得，即可得到結果；
（2）①根據題意，構造函數，求導可得在恒成立，即可證明；②根據題意，結合“源數列”以及“生成數列”的概念，然后假設存在，代入計算，即可得到方程無解，故不存在.
【解析】（1）當時，，，
令，則，解得或，
當時，；
當時，；
所以的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．
（2）①，，故，
構造函數，
，則
函數在上單調遞增，，故在恒成立，單調遞增，
故，即，，
當時，，
綜上所述：恒成立，即．
②，則，，
設，即，則，
設函數，函數單調遞增，對于任意，有唯一的與之對應，
即數列中每一項，都有中的項與之相等，單調遞增，
故，
假設數列中存在連續三項構成等比數列，，，，
故，整理得到，無正整數解．
故假設不成立，即不存在連續三項構成等比數列．
【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，利用導數研究不等式恒成立問題以及導數與數列的結合，難度較大，解答本題的關鍵在于理解題中“源數列”以及“生成數列”的概念，再由導數與數列的知識進行解答.

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