資源簡介

2025屆甘肅省高三下學期3月（一模）數學試卷
1．（2025·甘肅模擬）若復數在復平面內對應的點位于第二象限，則實數的取值范圍是（　　）
A． B．或
C． D．
2．（2025·甘肅模擬）設集合，則（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·甘肅模擬）某班研究性小組的同學為了研究活性碳對污水中某種污染物的吸附能力，設計了一種活性碳污水凈化裝置.現污水中該種污染物含量為（單位：），測得污水通過長度為（單位：）的凈化裝置后污染物的含量如下表：
0 1 2 3
研究小組的同學根據表格數據建立了關于的函數模型.則與表格中數據吻合的函數模型是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·甘肅模擬）高一年級400名學生參加數學基礎知識競賽活動，答題后隨機抽取22名男生和18名女生，計算得男生的平均得分為82分，女生的平均得分為80分，則估計本次比賽高一年級的總體均分為（　　）
A．81.8 B．81.5 C．81.1 D．80.8
5．（2025·甘肅模擬）從1-9這9個數字中任意取出3個數，組成一個沒有重復數字的三位數，從百位到個位數字依次增大，則滿足條件的三位數的個數是（　　）
A．84 B．120 C．504 D．720
6．（2025·甘肅模擬）若，，則（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·甘肅模擬）已知梯形中，，點為邊上的動點，若，則的范圍是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·甘肅模擬）已知是拋物線上一點，為拋物線的焦點，直線與軸交于點，，點為線段的中點，則（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·甘肅模擬）已知雙曲線方程為，則（　　）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．雙曲線的離心率是
C．雙曲線的虛軸長是8
D．雙曲線上任意一點到兩焦點的距離之差的絕對值為6
10．（2025·甘肅模擬）函數，則（　　）
A．的最小正周期是
B．的值域是
C．的圖象是軸對稱圖形，其中一條對稱軸是
D．的零點是
11．（2025·甘肅模擬）若自變量表示時間，在長為定值的時間周期中，函數的增長率為，以下判斷正確的是（　　）
A．若，則為減函數
B．若，則為增函數
C．若，則為增函數
D．若，則為減函數
12．（2025·甘肅模擬）用一個平面截正方體，截面形狀為正六邊形，則截出的兩部分幾何體的體積之比是　 　.
13．（2025·甘肅模擬）已知等差數列的前項和為，，，則數列的前項和　 　.
14．（2025·甘肅模擬）如圖，甲、乙兩人在這段弧形路段跑步，該路段的內、外弧線為兩個同心圓的圓周，內弧半徑為米，路寬為米，兩人均從外弧點處跑入該路段，甲沿內弧切線方向跑至切點，又沿內弧跑至點處后跑出該路段，乙沿內弧切線方向直接跑至外弧上點處，再沿外弧跑至點處后跑出該路段，則在該路段跑動距離更短的是　 　（填“甲”或“乙”），兩人跑動距離之差的絕對值約為　 　米.（結果精確到米，參考數據：，）
15．（2025·甘肅模擬）為了解高一學生整理數學錯題與提高數學成績的相關性，某小組通過隨機抽樣，獲得了每天整理錯題和未每天整理錯題的各20名學生3次數學考試成績的平均分，繪制了如圖1，2的頻率分布直方圖，并且已知高一學生3次數學考試成績的總體均分為115分.
（1）依據頻率分布直方圖，完成以下列聯表：
成績不低于總體均分 成績低于總體均分 合計
每天整理錯題
未每天整理錯題
合計
（2）依據小概率值的獨立性檢驗，分析數學成績不低于總體均分是否與每天整理數學錯題有關.
附
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
16．（2025·甘肅模擬）正四面體的三條棱是圓錐的三條母線，點在圓錐的底面內，過且與圓錐底面垂直的平面與圓錐側面交于（不同于）.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值.
17．（2025·甘肅模擬）數列滿足，數列滿足.
（1）求證：數列是等比數列，并求其通項公式；
（2）若數列滿足是數列的前項和，對恒成立，求實數的取值范圍.
18．（2025·甘肅模擬）設為坐標原點，點，、為橢圓上的兩個動點，.
（1）證明：向量是直線的一個法向量；
（2）若線段與橢圓交于點，求面積的最大值.
19．（2025·甘肅模擬）函數，且.
（1）時，判斷的單調性；
（2）若，判斷與的大小，且，并說明理由；
（3）證明：對于任意的，有.
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】復數在復平面中的表示
【解析】【解答】解：因為復數在復平面內對應的點為，
若其在第二象限，則，
解得.
故答案為：C.
【分析】根據復數的幾何意義結合題意，從而列出不等式，進而解不等式得出實數a的取值范圍.
2．【答案】B
【知識點】交集及其運算
【解析】【解答】解：因為函數中，，
所以集合，
又因為，
所以.
故答案為：B.
【分析】利用奇次根式函數求定義域的方法，從而求出集合A，再利用已知條件和交集的運算法則，從而得出集合.
3．【答案】D
【知識點】“指數爆炸”模型
【解析】【解答】解：由圖表中數據可知函數模型滿足：
第一，定義域為；第二，在定義域單調遞減且單位減少率變慢；第三，函數圖象過，
則函數和圖象不過，不符合條件，
故選項B、選項C錯誤；
因為函數單調遞增，故A錯誤；
因為滿足上述條件，故D正確.
故答案為：D.
【分析】先分析表中數據，再結合函數的單調性和函數圖象過點的性質，從而判斷出最符合實際的函數模型．
4．【答案】C
【知識點】眾數、中位數、平均數
【解析】【解答】解：因為，
所以，估計本次比賽高一年級的總體均分為分.
故答案為：C.
【分析】利用分層抽樣的均值公式，從而估計出本次比賽高一年級的總體均分.
5．【答案】A
【知識點】排列、組合的實際應用
【解析】【解答】解：從9個數字中選擇3個不同的數，無需再排序，
所以.
故答案為：A.
【分析】從9個數字中選擇3個不同的數，只需選出，無需排序，再利用組合數公式得出滿足條件的三位數的個數.
6．【答案】C
【知識點】兩角和與差的余弦公式；同角三角函數間的基本關系
【解析】【解答】解：因為，所以，
又因為，所以，
則
.
故答案為：C.
【分析】先根據的范圍確定的范圍，再利用同角三角函數的基本關系求出的值，最后利用兩角差的余弦公式求的值即可.
7．【答案】D
【知識點】函數的最大（小）值；平面向量數量積的坐標表示、模、夾角
【解析】【解答】解：如圖所示建立平面直角坐標系，
則，，
設，
則，，
所以，
令，則，
則，
可得.
故答案為：D.
【分析】先建立平面直角坐標系，則得出點的坐標，設，從而得出向量的坐標，再利用數量積求向量夾角的余弦值的坐標表示結合換元法，令，則，則，再由函數求值域的方法，從而得出的取值范圍.
8．【答案】B
【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【解答】解：依題意，可知，
設為坐標原點，
則，
，得，
則，
軸，
，
因為，
.
故答案為：B.
【分析】利用點參法，設點坐標，再利用得出點的坐標，再利用轉化的思想，將轉化為，再結合誘導公式和正弦函數的定義，從而得出的值.
9．【答案】C,D
【知識點】雙曲線的簡單性質
【解析】【解答】解：因為雙曲線，
所以.
對于A：因為雙曲線的漸近線方程為，故A錯誤；
對于B：因為離心率為，故B錯誤；
對于C：因為雙曲線的虛軸長是，故C正確；
對于D：因為雙曲線上任意一點到兩焦點的距離之差的絕對值為，故D正確.
故答案為：CD.
【分析】先根據題意結合雙曲線方程和雙曲線中a，b，c三者的關系式，從而求出a、b、c的值，再利用雙曲線的漸近線方程、離心率公式、虛軸長、兩點距離公式，從而逐項判斷找出正確的選項.
10．【答案】A,B,D
【知識點】利用導數研究函數最大（小）值；簡單的三角恒等變換；含三角函數的復合函數的周期；函數的零點與方程根的關系；含三角函數的復合函數的對稱性
【解析】【解答】解：對于A：因為，故為的周期，
顯然，沒有比更小的正周期，
所以的最小正周期為，故A正確；
對于B：考慮到的最小正周期為，
故只需考慮在的值域；
則，，
故 ，
則，
因為，所以，
則當時，，
則，此時，單調遞減；
當時，，
則，此時，單調遞增，
又因為，，
，
所以的值域為，故B正確；
對于C：因為
則，
所以，
則不是的對稱軸，故C錯誤；
對于D：令，則，，
所以，
則或，
解得或，，
又因為，，
所以，函數的零點為，故D正確.
故答案為：ABD.
【分析】檢驗，則可判斷選項A；利用導數判斷函數的單調性，從而得出函數的值域，則判斷出選項B；檢驗的結果是否為零，則可判斷選項C；令，從而得出函數的零點，則判斷出選項D，從而找出正確的選項.
11．【答案】A,D
【知識點】函數單調性的判斷與證明；利用導數研究函數的單調性
【解析】【解答】解：對于函數，
因為為正常數，
所以為上的減函數，故A正確：
對于函數，
因為為正常數，
所以為常函數，故B錯誤；
對于函數，
則，
因為為正常數，
所以為減函數，故C錯誤；
對于函數，
，
令，
則，
當時，為增函數，
因為為正常數，
所以，
則，
所以為減函數，故D正確.
故答案為：AD.
【分析】將四個選項中的函數代入 中化簡，從而得出關于的函數，再判斷其單調性，從而逐項判斷找出正確的選項.
12．【答案】
【知識點】組合幾何體的面積、表面積、體積問題；棱柱的結構特征
【解析】【解答】解：如圖所示，
在正方體中，
分別是的中點，
連接，
則六邊形是正六邊形，
根據對稱性可知，截出的兩部分幾何體的體積之比是.
故答案為：.
【分析】先畫出正六邊形截面，再根據圖形的對稱性得出截出的兩部分幾何體的體積比.
13．【答案】
【知識點】等差數列概念與表示；等差數列的前n項和
【解析】【解答】解：設等差數列的公差為，
則，
解得，
所以，，
所以，，
所以，，
則數列為等差數列，
所以，.
故答案為：.
【分析】設等差數列的公差為，根據已知條件可得關于、的方程組，從而解出這兩個量的值，進而可得的表達式，則可得的表達式，再利用等差數列的求和公式得出數列的前項和.
14．【答案】甲；
【知識點】扇形的弧長與面積
【解析】【解答】解：連接、，
可知，，
則，，
在中，，
所以，，
所以，，，
所以，，
則甲跑步的距離約為米，
因為，，
則乙跑步的距離約為米，
所以甲跑動的距離更短，少跑米.
故答案為：甲；.
【分析】連接、，求出的值，從而求出、的長，進而求出甲、乙兩人的跑動的距離，則得出在該路段跑動距離更短的人；再結合作差法得出兩人跑動距離之差的絕對值.
15．【答案】（1）解：根據頻率分布直方圖，可得：
成績不低于總體均分 成績低于總體均分 合計
每天整理錯題 14 6 20
未每天整理錯題 5 15 20
合計 19 21 40
（2）解：假設：數學成績不低于總體均分與每天整理數學錯題無關，
計算可得，
根據小概率值的獨立性檢驗，可推斷不成立，
即認為數學成績不低于總體均分與每天整理錯題有關.
【知識點】頻率分布直方圖；獨立性檢驗的應用；2×2列聯表
【解析】【分析】（1）根據數表分析計算，從而完善列聯表.
（2）利用卡方計算公式和與表中數據比較，再利用獨立性檢驗思想，從而認為數學成績不低于總體均分與每天整理錯題有關.
（1）根據頻率分布直方圖，可得
　 成績不低于總體均分 成績低于總體均分 合計
每天整理錯題 14 6 20
未每天整理錯題 5 15 20
合計 19 21 40
（2）假設：數學成績不低于總體均分與每天整理數學錯題無關.
計算可得
根據小概率值的獨立性檢驗，可推斷不成立，
即認為數學成績不低于總體均分與每天整理錯題有關.
16．【答案】（1）證明：平面平面平面，平面，
平面，且，
又平面，
為正三角形，為中心，
，
，
平面平面，，
平面.
（2）解：設，則是的中點，
以為坐標原點，的平行線為軸，為軸，為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
設正四面體的棱長為1，
則，，，
設平面的法向量為，
因為，
則，
取平面的一個法向量為，
設平面的法向量為，
因為，
則，
取平面的一個法向量為，
設平面與平面所成角為，
，
則平面與平面所成角的余弦值為.
【知識點】直線與平面垂直的判定；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先根據平面平面平面，平面，從而得到平面且，再由為等邊三角形得到為其中心，則，所以，再利用平面得出，再根據線面垂直的判定定理證出平面.
（2）先利用已知條件和中點的性質，從而建立空間直角坐標系，則得出點的坐標和向量的坐標，再結合兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，從而求出兩個平面PAB和平面的法向量，再利用數量積求向量夾角公式得出平面與平面所成角的余弦值.
（1）平面平面平面，平面，
平面，且.
又平面，
為正三角形，為中心，，，
平面平面，，
平面.
（2）設，則是的中點.
以為坐標原點，的平行線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設正四面體的棱長為1，則，
，，
設平面的法向量為，，
則，
取平面的一個法向量為，
設平面的法向量為，，
則，
取平面的一個法向量為，
設平面與平面所成角為，
，
即平面與平面所成角的余弦值為.
17．【答案】（1）證明：，且，
，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
，
，
，
又，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
.
（2）解：由（1）可知，，
，
，
因為對恒成立，
所以.
【知識點】函數恒成立問題；等比數列概念與表示；等比數列的通項公式；等比數列的前n項和；反證法與放縮法
【解析】【分析】（1）利用已知條件和等比數列定義以及等比數列通項公式，從而證出數列是等比數列，并求其通項公式.
（2）利用等比數列前n項和公式結合對數運算法則，再結合不等式恒成立問題求解方法，從而計算得出實數的取值范圍.
（1），且由題，
，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
，
，
，又，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
；
（2）由（1）可知，，
，
，
由于對恒成立，
所以.
18．【答案】（1）證明：因為點在橢圓外，、為橢圓上的兩個動點，
設、，
則，
則，
由①②得，
則，
因為直線的斜率為，
所以直線的斜率為，
則直線的一個方向向量為，
所以為直線的一個法向量.
（2）解：由，
得，
則，
由（1）可知，直線的斜率為，
設直線方程為，

若，則直線過原點，
則，
則與矛盾，故，
由，
得，
則，
解得或，
由韋達定理可得，，
所以，
，
因為點到直線的距離，
所以，
令，則，
令，
則，
當時，時；
當時，，
所以，函數在、上單調遞增，在上單調遞減，
所以，當時，即當時，取到最大值.
【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【分析】（1）設、，利用點差法和兩點求斜率公式，從而求出直線的斜率，再根據直線斜率與直線方向向量的關系，從而證出向量是直線的一個法向量.
（2）先求出點的坐標，設直線方程為，再將該直線方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理表達式，再利用弦長公式和點到直線的距離公式，從而求出以及點到直線的距離，再利用導數判斷函數的單調性，從而求出面積的最大值.
（1）由于點在橢圓外，、為橢圓上的兩個動點，設、，
，
則，由①②得，
即，由于直線的斜率為，
所以直線的斜率為，故直線的一個方向向量為，
從而為直線的一個法向量.
（2）由得，即，
由（1）可知，直線的斜率為，設直線方程為，
若，則直線過原點，則，從而與矛盾，故，
由得，
則，解得或，
由韋達定理可得，，
所以，
，
由于到直線的距離，
所以，
令，則，
令，則，
當時，時；當時，.
所以，函數在、上單調遞增，在上單調遞減，
所以，當時，即當時，取到最大值.
19．【答案】（1）解：因為
當時，時，，
則當時，函數在為減函數，在為增函數，
同理可得，當時，函數在為增函數，在為減函數.
（2）解：由（1）可知，當時，，
則，
令，
因為，所以，
可得，
所以，當且僅當時“”成立.
（3）證明：由（1）可知，當時，，
當時，，
故時，，
則，
令，可得；
令，可得，
兩式相加可得，
則，
所以
，當且僅當時“”成立，
由，可得，
令，
可得，
兩邊同乘，整理得，
用替換可得，
同理可得，
兩式相加可得：
，
則，
所以
，
當且僅當時“”成立，
所以
，當且僅當時“”成立.
【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用不等式的性質比較數（式）的大小；含三角函數的復合函數的值域與最值
【解析】【分析】（1）分類討論三種情況，再根據導函數正負判斷函數單調性.
（2）利用（1）的結論結合三角型函數的值域求解方法，從而判斷出時的與的大小.
（3）利用（1）的結論結合三角型函數的值域求解方法和不等式的性質，從而證出對于任意的，有
（1）由于
當時，時，
故當時，函數在為減函數，在為增函數，
同理，當時，函數在為增函數，在為減函數：
（2）由（1）可知，當時，，故，
令，由于，則，
可得，所以，
當且僅當時“”成立.
（3）由（1）可知，當時，.
又當時，，
故時，，即，
令，可得，
令，可得，
兩式相加可得，即，
所以
，當且僅當時“”成立.
由可得，
令，可得，
兩邊同乘，整理得，
用替換可得，
同理可得，
兩式相加可得
，
故，
所以
，當且僅當時“”成立.
所以
當且僅當時“”成立.
1 / 12025屆甘肅省高三下學期3月（一模）數學試卷
1．（2025·甘肅模擬）若復數在復平面內對應的點位于第二象限，則實數的取值范圍是（　　）
A． B．或
C． D．
【答案】C
【知識點】復數在復平面中的表示
【解析】【解答】解：因為復數在復平面內對應的點為，
若其在第二象限，則，
解得.
故答案為：C.
【分析】根據復數的幾何意義結合題意，從而列出不等式，進而解不等式得出實數a的取值范圍.
2．（2025·甘肅模擬）設集合，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】交集及其運算
【解析】【解答】解：因為函數中，，
所以集合，
又因為，
所以.
故答案為：B.
【分析】利用奇次根式函數求定義域的方法，從而求出集合A，再利用已知條件和交集的運算法則，從而得出集合.
3．（2025·甘肅模擬）某班研究性小組的同學為了研究活性碳對污水中某種污染物的吸附能力，設計了一種活性碳污水凈化裝置.現污水中該種污染物含量為（單位：），測得污水通過長度為（單位：）的凈化裝置后污染物的含量如下表：
0 1 2 3
研究小組的同學根據表格數據建立了關于的函數模型.則與表格中數據吻合的函數模型是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】“指數爆炸”模型
【解析】【解答】解：由圖表中數據可知函數模型滿足：
第一，定義域為；第二，在定義域單調遞減且單位減少率變慢；第三，函數圖象過，
則函數和圖象不過，不符合條件，
故選項B、選項C錯誤；
因為函數單調遞增，故A錯誤；
因為滿足上述條件，故D正確.
故答案為：D.
【分析】先分析表中數據，再結合函數的單調性和函數圖象過點的性質，從而判斷出最符合實際的函數模型．
4．（2025·甘肅模擬）高一年級400名學生參加數學基礎知識競賽活動，答題后隨機抽取22名男生和18名女生，計算得男生的平均得分為82分，女生的平均得分為80分，則估計本次比賽高一年級的總體均分為（　　）
A．81.8 B．81.5 C．81.1 D．80.8
【答案】C
【知識點】眾數、中位數、平均數
【解析】【解答】解：因為，
所以，估計本次比賽高一年級的總體均分為分.
故答案為：C.
【分析】利用分層抽樣的均值公式，從而估計出本次比賽高一年級的總體均分.
5．（2025·甘肅模擬）從1-9這9個數字中任意取出3個數，組成一個沒有重復數字的三位數，從百位到個位數字依次增大，則滿足條件的三位數的個數是（　　）
A．84 B．120 C．504 D．720
【答案】A
【知識點】排列、組合的實際應用
【解析】【解答】解：從9個數字中選擇3個不同的數，無需再排序，
所以.
故答案為：A.
【分析】從9個數字中選擇3個不同的數，只需選出，無需排序，再利用組合數公式得出滿足條件的三位數的個數.
6．（2025·甘肅模擬）若，，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】兩角和與差的余弦公式；同角三角函數間的基本關系
【解析】【解答】解：因為，所以，
又因為，所以，
則
.
故答案為：C.
【分析】先根據的范圍確定的范圍，再利用同角三角函數的基本關系求出的值，最后利用兩角差的余弦公式求的值即可.
7．（2025·甘肅模擬）已知梯形中，，點為邊上的動點，若，則的范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】函數的最大（小）值；平面向量數量積的坐標表示、模、夾角
【解析】【解答】解：如圖所示建立平面直角坐標系，
則，，
設，
則，，
所以，
令，則，
則，
可得.
故答案為：D.
【分析】先建立平面直角坐標系，則得出點的坐標，設，從而得出向量的坐標，再利用數量積求向量夾角的余弦值的坐標表示結合換元法，令，則，則，再由函數求值域的方法，從而得出的取值范圍.
8．（2025·甘肅模擬）已知是拋物線上一點，為拋物線的焦點，直線與軸交于點，，點為線段的中點，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【解答】解：依題意，可知，
設為坐標原點，
則，
，得，
則，
軸，
，
因為，
.
故答案為：B.
【分析】利用點參法，設點坐標，再利用得出點的坐標，再利用轉化的思想，將轉化為，再結合誘導公式和正弦函數的定義，從而得出的值.
9．（2025·甘肅模擬）已知雙曲線方程為，則（　　）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．雙曲線的離心率是
C．雙曲線的虛軸長是8
D．雙曲線上任意一點到兩焦點的距離之差的絕對值為6
【答案】C,D
【知識點】雙曲線的簡單性質
【解析】【解答】解：因為雙曲線，
所以.
對于A：因為雙曲線的漸近線方程為，故A錯誤；
對于B：因為離心率為，故B錯誤；
對于C：因為雙曲線的虛軸長是，故C正確；
對于D：因為雙曲線上任意一點到兩焦點的距離之差的絕對值為，故D正確.
故答案為：CD.
【分析】先根據題意結合雙曲線方程和雙曲線中a，b，c三者的關系式，從而求出a、b、c的值，再利用雙曲線的漸近線方程、離心率公式、虛軸長、兩點距離公式，從而逐項判斷找出正確的選項.
10．（2025·甘肅模擬）函數，則（　　）
A．的最小正周期是
B．的值域是
C．的圖象是軸對稱圖形，其中一條對稱軸是
D．的零點是
【答案】A,B,D
【知識點】利用導數研究函數最大（小）值；簡單的三角恒等變換；含三角函數的復合函數的周期；函數的零點與方程根的關系；含三角函數的復合函數的對稱性
【解析】【解答】解：對于A：因為，故為的周期，
顯然，沒有比更小的正周期，
所以的最小正周期為，故A正確；
對于B：考慮到的最小正周期為，
故只需考慮在的值域；
則，，
故 ，
則，
因為，所以，
則當時，，
則，此時，單調遞減；
當時，，
則，此時，單調遞增，
又因為，，
，
所以的值域為，故B正確；
對于C：因為
則，
所以，
則不是的對稱軸，故C錯誤；
對于D：令，則，，
所以，
則或，
解得或，，
又因為，，
所以，函數的零點為，故D正確.
故答案為：ABD.
【分析】檢驗，則可判斷選項A；利用導數判斷函數的單調性，從而得出函數的值域，則判斷出選項B；檢驗的結果是否為零，則可判斷選項C；令，從而得出函數的零點，則判斷出選項D，從而找出正確的選項.
11．（2025·甘肅模擬）若自變量表示時間，在長為定值的時間周期中，函數的增長率為，以下判斷正確的是（　　）
A．若，則為減函數
B．若，則為增函數
C．若，則為增函數
D．若，則為減函數
【答案】A,D
【知識點】函數單調性的判斷與證明；利用導數研究函數的單調性
【解析】【解答】解：對于函數，
因為為正常數，
所以為上的減函數，故A正確：
對于函數，
因為為正常數，
所以為常函數，故B錯誤；
對于函數，
則，
因為為正常數，
所以為減函數，故C錯誤；
對于函數，
，
令，
則，
當時，為增函數，
因為為正常數，
所以，
則，
所以為減函數，故D正確.
故答案為：AD.
【分析】將四個選項中的函數代入 中化簡，從而得出關于的函數，再判斷其單調性，從而逐項判斷找出正確的選項.
12．（2025·甘肅模擬）用一個平面截正方體，截面形狀為正六邊形，則截出的兩部分幾何體的體積之比是　 　.
【答案】
【知識點】組合幾何體的面積、表面積、體積問題；棱柱的結構特征
【解析】【解答】解：如圖所示，
在正方體中，
分別是的中點，
連接，
則六邊形是正六邊形，
根據對稱性可知，截出的兩部分幾何體的體積之比是.
故答案為：.
【分析】先畫出正六邊形截面，再根據圖形的對稱性得出截出的兩部分幾何體的體積比.
13．（2025·甘肅模擬）已知等差數列的前項和為，，，則數列的前項和　 　.
【答案】
【知識點】等差數列概念與表示；等差數列的前n項和
【解析】【解答】解：設等差數列的公差為，
則，
解得，
所以，，
所以，，
所以，，
則數列為等差數列，
所以，.
故答案為：.
【分析】設等差數列的公差為，根據已知條件可得關于、的方程組，從而解出這兩個量的值，進而可得的表達式，則可得的表達式，再利用等差數列的求和公式得出數列的前項和.
14．（2025·甘肅模擬）如圖，甲、乙兩人在這段弧形路段跑步，該路段的內、外弧線為兩個同心圓的圓周，內弧半徑為米，路寬為米，兩人均從外弧點處跑入該路段，甲沿內弧切線方向跑至切點，又沿內弧跑至點處后跑出該路段，乙沿內弧切線方向直接跑至外弧上點處，再沿外弧跑至點處后跑出該路段，則在該路段跑動距離更短的是　 　（填“甲”或“乙”），兩人跑動距離之差的絕對值約為　 　米.（結果精確到米，參考數據：，）
【答案】甲；
【知識點】扇形的弧長與面積
【解析】【解答】解：連接、，
可知，，
則，，
在中，，
所以，，
所以，，，
所以，，
則甲跑步的距離約為米，
因為，，
則乙跑步的距離約為米，
所以甲跑動的距離更短，少跑米.
故答案為：甲；.
【分析】連接、，求出的值，從而求出、的長，進而求出甲、乙兩人的跑動的距離，則得出在該路段跑動距離更短的人；再結合作差法得出兩人跑動距離之差的絕對值.
15．（2025·甘肅模擬）為了解高一學生整理數學錯題與提高數學成績的相關性，某小組通過隨機抽樣，獲得了每天整理錯題和未每天整理錯題的各20名學生3次數學考試成績的平均分，繪制了如圖1，2的頻率分布直方圖，并且已知高一學生3次數學考試成績的總體均分為115分.
（1）依據頻率分布直方圖，完成以下列聯表：
成績不低于總體均分 成績低于總體均分 合計
每天整理錯題
未每天整理錯題
合計
（2）依據小概率值的獨立性檢驗，分析數學成績不低于總體均分是否與每天整理數學錯題有關.
附
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
【答案】（1）解：根據頻率分布直方圖，可得：
成績不低于總體均分 成績低于總體均分 合計
每天整理錯題 14 6 20
未每天整理錯題 5 15 20
合計 19 21 40
（2）解：假設：數學成績不低于總體均分與每天整理數學錯題無關，
計算可得，
根據小概率值的獨立性檢驗，可推斷不成立，
即認為數學成績不低于總體均分與每天整理錯題有關.
【知識點】頻率分布直方圖；獨立性檢驗的應用；2×2列聯表
【解析】【分析】（1）根據數表分析計算，從而完善列聯表.
（2）利用卡方計算公式和與表中數據比較，再利用獨立性檢驗思想，從而認為數學成績不低于總體均分與每天整理錯題有關.
（1）根據頻率分布直方圖，可得
　 成績不低于總體均分 成績低于總體均分 合計
每天整理錯題 14 6 20
未每天整理錯題 5 15 20
合計 19 21 40
（2）假設：數學成績不低于總體均分與每天整理數學錯題無關.
計算可得
根據小概率值的獨立性檢驗，可推斷不成立，
即認為數學成績不低于總體均分與每天整理錯題有關.
16．（2025·甘肅模擬）正四面體的三條棱是圓錐的三條母線，點在圓錐的底面內，過且與圓錐底面垂直的平面與圓錐側面交于（不同于）.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）證明：平面平面平面，平面，
平面，且，
又平面，
為正三角形，為中心，
，
，
平面平面，，
平面.
（2）解：設，則是的中點，
以為坐標原點，的平行線為軸，為軸，為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
設正四面體的棱長為1，
則，，，
設平面的法向量為，
因為，
則，
取平面的一個法向量為，
設平面的法向量為，
因為，
則，
取平面的一個法向量為，
設平面與平面所成角為，
，
則平面與平面所成角的余弦值為.
【知識點】直線與平面垂直的判定；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先根據平面平面平面，平面，從而得到平面且，再由為等邊三角形得到為其中心，則，所以，再利用平面得出，再根據線面垂直的判定定理證出平面.
（2）先利用已知條件和中點的性質，從而建立空間直角坐標系，則得出點的坐標和向量的坐標，再結合兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，從而求出兩個平面PAB和平面的法向量，再利用數量積求向量夾角公式得出平面與平面所成角的余弦值.
（1）平面平面平面，平面，
平面，且.
又平面，
為正三角形，為中心，，，
平面平面，，
平面.
（2）設，則是的中點.
以為坐標原點，的平行線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設正四面體的棱長為1，則，
，，
設平面的法向量為，，
則，
取平面的一個法向量為，
設平面的法向量為，，
則，
取平面的一個法向量為，
設平面與平面所成角為，
，
即平面與平面所成角的余弦值為.
17．（2025·甘肅模擬）數列滿足，數列滿足.
（1）求證：數列是等比數列，并求其通項公式；
（2）若數列滿足是數列的前項和，對恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】（1）證明：，且，
，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
，
，
，
又，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
.
（2）解：由（1）可知，，
，
，
因為對恒成立，
所以.
【知識點】函數恒成立問題；等比數列概念與表示；等比數列的通項公式；等比數列的前n項和；反證法與放縮法
【解析】【分析】（1）利用已知條件和等比數列定義以及等比數列通項公式，從而證出數列是等比數列，并求其通項公式.
（2）利用等比數列前n項和公式結合對數運算法則，再結合不等式恒成立問題求解方法，從而計算得出實數的取值范圍.
（1），且由題，
，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
，
，
，又，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
；
（2）由（1）可知，，
，
，
由于對恒成立，
所以.
18．（2025·甘肅模擬）設為坐標原點，點，、為橢圓上的兩個動點，.
（1）證明：向量是直線的一個法向量；
（2）若線段與橢圓交于點，求面積的最大值.
【答案】（1）證明：因為點在橢圓外，、為橢圓上的兩個動點，
設、，
則，
則，
由①②得，
則，
因為直線的斜率為，
所以直線的斜率為，
則直線的一個方向向量為，
所以為直線的一個法向量.
（2）解：由，
得，
則，
由（1）可知，直線的斜率為，
設直線方程為，

若，則直線過原點，
則，
則與矛盾，故，
由，
得，
則，
解得或，
由韋達定理可得，，
所以，
，
因為點到直線的距離，
所以，
令，則，
令，
則，
當時，時；
當時，，
所以，函數在、上單調遞增，在上單調遞減，
所以，當時，即當時，取到最大值.
【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【分析】（1）設、，利用點差法和兩點求斜率公式，從而求出直線的斜率，再根據直線斜率與直線方向向量的關系，從而證出向量是直線的一個法向量.
（2）先求出點的坐標，設直線方程為，再將該直線方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理表達式，再利用弦長公式和點到直線的距離公式，從而求出以及點到直線的距離，再利用導數判斷函數的單調性，從而求出面積的最大值.
（1）由于點在橢圓外，、為橢圓上的兩個動點，設、，
，
則，由①②得，
即，由于直線的斜率為，
所以直線的斜率為，故直線的一個方向向量為，
從而為直線的一個法向量.
（2）由得，即，
由（1）可知，直線的斜率為，設直線方程為，
若，則直線過原點，則，從而與矛盾，故，
由得，
則，解得或，
由韋達定理可得，，
所以，
，
由于到直線的距離，
所以，
令，則，
令，則，
當時，時；當時，.
所以，函數在、上單調遞增，在上單調遞減，
所以，當時，即當時，取到最大值.
19．（2025·甘肅模擬）函數，且.
（1）時，判斷的單調性；
（2）若，判斷與的大小，且，并說明理由；
（3）證明：對于任意的，有.
【答案】（1）解：因為
當時，時，，
則當時，函數在為減函數，在為增函數，
同理可得，當時，函數在為增函數，在為減函數.
（2）解：由（1）可知，當時，，
則，
令，
因為，所以，
可得，
所以，當且僅當時“”成立.
（3）證明：由（1）可知，當時，，
當時，，
故時，，
則，
令，可得；
令，可得，
兩式相加可得，
則，
所以
，當且僅當時“”成立，
由，可得，
令，
可得，
兩邊同乘，整理得，
用替換可得，
同理可得，
兩式相加可得：
，
則，
所以
，
當且僅當時“”成立，
所以
，當且僅當時“”成立.
【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用不等式的性質比較數（式）的大小；含三角函數的復合函數的值域與最值
【解析】【分析】（1）分類討論三種情況，再根據導函數正負判斷函數單調性.
（2）利用（1）的結論結合三角型函數的值域求解方法，從而判斷出時的與的大小.
（3）利用（1）的結論結合三角型函數的值域求解方法和不等式的性質，從而證出對于任意的，有
（1）由于
當時，時，
故當時，函數在為減函數，在為增函數，
同理，當時，函數在為增函數，在為減函數：
（2）由（1）可知，當時，，故，
令，由于，則，
可得，所以，
當且僅當時“”成立.
（3）由（1）可知，當時，.
又當時，，
故時，，即，
令，可得，
令，可得，
兩式相加可得，即，
所以
，當且僅當時“”成立.
由可得，
令，可得，
兩邊同乘，整理得，
用替換可得，
同理可得，
兩式相加可得
，
故，
所以
，當且僅當時“”成立.
所以
當且僅當時“”成立.
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