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2024-2025學年第二學期第2次月考 高一級數學科試卷
一、單選題
1．設a－2＋(2a＋1)i的實部與虛部相等，其中a為實數，則a＝（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
2．已知復數，，則（ ）
A． B．3 C． D．2
3．已知向量，，則在上的投影向量的坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，則實數（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．下列說法正確的是（ ）
A．垂直于同一條直線的兩條直線平行 B．平行于同一條直線的兩條直線平行
C．平行于同一個平面的兩條直線平行 D．平行于同一個直線的兩個平面平行
6．一化學器皿為圓臺形狀，其上、下底面半徑分別為1cm和5cm，高為10cm（器皿厚度忽略不計）.現將該器皿水平放置后（上底位于上方）注入鹽酸溶液，若溶液高度恰為5cm，則溶液體積為（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角，，所對的邊分別為，，，為的面積，若，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知中，角所對的邊分別是，且，點在邊上，且，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．已知復數z滿足，則（ ）
A．為純虛數 B．對應的點在第四象限
C． D．和是方程的兩個根
10．如圖，為邊長為2的等邊三角形，以的中點為圓心，1為半徑作一個半圓，點為此半圓弧上的一個動點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．的最大值為5
D．若，則當三點共線時，
11．已知點P在棱長為2的正方體的表面上運動，點Q是的中點，點P滿足，下列結論正確的是（ ）
A．點P的軌跡的周長為
B．點P的軌跡的周長為
C．三棱錐的體積的最大值為
D．三棱錐的體積的最大值為
三、填空題
12．已知向量，.若.則 .
13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，，則角C的大小為_____
14．已知正三棱柱的高與底面邊長均為3，則該正三棱柱外接球的體積為 .
四、解答題
15．已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．如圖是一種機器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六邊形，側面是全等的矩形），上面是圓柱（尺寸如圖，單位：mm）.電鍍這種零件需要用鋅，已知每平方米用鋅0.11kg，問電10000個零件需鋅多少千克（結果精確到0.01kg）？
17．函數(A，，常數，A>0，>0，)的部分圖象如圖所示.
（Ⅰ）求函數的解析式；
(Ⅱ)將函數的圖象向左平移(0<<)個單位長度，再向上平移2個單位長度得到函數的圖象，若的圖象過點(，2)，求函數的單調遞減區間.
18．如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，P為CD的中點．
（1）求證：CD⊥平面MAP；
（2）求證：MP∥平面OBC；
（3）求三棱錐M﹣PAD的體積．
19．已知函數．
(1)若，且，求的值；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，求的取值范圍．數學科參考答案
1．【詳解】由題意知，a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故選：A.
2．【詳解】由題意，則.故選：D.
3．【詳解】在上的投影向量的坐標為.故選：.
4．【詳解】向量，，，則，所以.故選：A
5．【詳解】垂直于同一個直線的兩條直線可能相交，則A錯誤；
根據平行的傳遞性可知，B正確；
平行于同一個平面的兩條直線可能相交，則C錯誤；
平行于同一個直線的兩個平面可能相交，則D錯誤； 故選：B
6．【詳解】因為溶液高度恰為5cm，所以溶液的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，
所以溶液的體積. 故選：B
7．【詳解】將代入已知條件，得到，
則，則，則. 故選：B
8．【詳解】由正弦定理可知：
即
即

在中，，即解得： 本題正確選項：
9．【詳解】因為，所以，
對于A，顯然不是純虛數，A不正確；
對于B，，對應的點在第四象限，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，，所以和不是方程的根, D不正確. 故選：BC
10．【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，由A知，，
，故B錯誤；
對于C，以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
，，設，
所以，
當時，的最大值為5，故C正確；
對于D，當三點共線時，，
，所以，
又因為，所以，
所以，所以，故D正確.故選：ACD.
11．【詳解】取的中點為，取的中點為，取的中點為，取的中點為，
取的中點為，分別連接，
由，且，所以平面，
由題意可得P的軌跡為正六邊形，其中，
所以點P的軌跡的周長為，所以A不正確，B正確；
當點P在線段上運動時，此時點到平面的距離取得最大值，
此時有最大值，最大值為，
所以C不正確，D正確．故選：BD
12．【詳解】向量，，由，得，
所以或.故答案為：或3
13．
14．【詳解】設正三棱錐，取三棱錐的兩底面中心為，
連接，取的中點，連接，則為正三棱柱外接球的半徑，
因為是邊長為3的正三角形，為的中心，
所以，
又因為，
所以，
所以正三棱柱外接球的體積為.
15．【詳解】（1）因為，， 所以，.
所以.
（2）.
16．【詳解】解：∵圓柱的側面積，棱柱的表面積，
∴該機器零件的表面積.
則10000個零件的表面積為.
故需鋅的質量為.
答：電鍍10000個零件需鋅1.74kg.
17．【詳解】(Ⅰ)由圖可知，， ∴, 又 ∴
由
∵，取k=0，得 ∴.
(Ⅱ)，∵的圖象過點
∴ ∴ ∴,∴
∵,∴ ∴
由 即
∴函數的單調遞減區間為.
18．（1）證明：∵OA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD， ∴OA⊥CD
∵四邊形ABCD這菱形且∠ABC=60°， ∴△ACD為正三角形，
∵P為CD的中點， ∴AP⊥CD
又OA∩AP=A， ∴CD⊥平面MAP；…（5分）
（2）證明：設N為線段OB的中點，連接MN、CN，則
∵M為OA的中點，∴MN∥AB，且，
∴MN∥CP且MN=CP， ∴四邊形MNCP為平行四邊形， ∴MP∥CN
∵MP 平面OBC，CN 平面OBC ∴MP∥平面OBC；
（3）解：∵OA=CD=2，∴，
∴
19．【詳解】（1）因為，
所以，
又，則，所以，
又，故.
（2）由，又，所以，即．
由正弦定理，可得，
因為是銳角三角形，
所以，即．
所以，所以．即的取值范圍為.

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