資源簡介

湖南省株洲市石峰區田心中學2024-2025學年中考一模數學試題
注意事項：
1.本卷為試題卷，考生應在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無效.
2.答題前，考生須將自己的姓名、準考證分別在試題卷和答題卡上填寫清楚.
3.答題完成后，請將試題卷、答題卡、草稿紙放在桌子上，由監考老師統一收回.
4.本試卷共三道答題，26道小題，滿分120分，時量共120分鐘。
閱卷人 一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
得分
1．下列四個數中，無理數是（　　）
A． B．π C．0.12 D．0
2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A．正三角形 B．等腰直角三角形
C．正五邊形 D．正六邊形
3．下列運算正確的是（　　）
A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a6÷a3=a3
4．如圖所示，小華測得一個圓規的一條支腳長為，另一只腳長為，則該圓規不可能畫出圓的半徑為（　　）
A． B． C． D．
5．據中國國家鐵路集團統計，2025年1月1日元旦期間，全國鐵路發送旅客1150萬人次，數據“1150萬”用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
6．如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，，則等于(　　)
A． B． C． D．
7．為了解某校九年級學生中長跑的成績情況，隨機抽取30名學生的中長跑成績（滿分20分）繪制成下表：關于中長跑成績的統計量中，一定不隨，的變化而變化的是（　　）
成績/分 15 16 17 18 19 20
人數/人 6 8 5 4
A．眾數，中位數 B．中位數，方差
C．平均數，方差 D．平均數，眾數
8．對于一次函數給出下列結論：；時圖象經過一、二四象限；時圖象與坐標軸圍成的三角形的面積等于；不論為何值，其圖象一點經過一個定點．其中，結論正確的有（　　）個
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如圖，P為外一點，分別切于點A、B，切于點E，分別交于點C、D，若，則的周長為（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
10．從，，，，中任取兩數作為，，使拋物線的開口向上，對稱軸在軸左側的概率為（　　）
A． B． C． D．
閱卷人 二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
得分
11．因式分解：　 　．
12．2024年4月23日是第29個世界讀書日，某校舉行了演講大賽，演講得分按“演講內容”占、“語言表達”占、“形象風度”占、“整體效果”占進行計算．小芳這四項的得分依次為85，95，92，88，則她的最后得分是　 　分．
13．如圖，正九邊形內接于，為正九邊形的一邊，點為正九邊形的一個頂點，則的大小為　 　．
14．在平面直角坐標系中，若函數的圖象經過點和， 則n的值為．
15．如圖，在中，，，．若以所在直線為軸，把旋轉一周，得到一個圓錐，則這個圓錐的側面積等于　 　．
16．如圖，在平面直角坐標系中，點，是軸正半軸上的一個動點，是等腰直角三角形，，是點正上方一點，連接，若，則的長為　 　．
閱卷人 三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
得分
17．計算：．
18．先化簡，再求值：，其中．
19．年月日點分，“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛星發射中心點火發射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站．如圖，在發射的過程中，飛船從地面處發射，當飛船到達點時，從位于地面處的雷達站測得的距離是，仰角為；后飛船到達處，此時測得仰角為．
（1）求點離地面的高度；
（2）求飛船從處到處的平均速度．(結果精確到，參考數據：)
20．某地區為了解 2023 年初中畢業生畢業后的去向， 對部分九年級學生進行了抽樣調查， 就九年級學生的四種去向： A． 讀普通高中， B． 讀職業高中， C． 滿 16 周歲后直接進人社會就業， D． 其他， 進行數據統計， 并繪制了如下兩幅不完整的統計圖．
請根據統計圖回答下列問題：
（1） 此次調查共調查了　 　名初中畢業生．
（2） 將兩幅統計圖中不完整的部分補充完整．
（3）老師想從甲、乙、丙、丁 4 位同學中隨機選擇兩位同學了解他們畢業后的去向情況，請用畫樹狀圖或列表法求出同時選中甲和乙的概率．
21．已知：如圖，點B，E，F，C在同一條直線上，，，．
（1）求證：．
（2）若，求的度數．
22．2025年春節凸顯了我國在機器人領域的強大實力，隨著人工智能與物聯網等技術的快速發展，人形機器人的應用場景不斷拓展，某快遞企業為提高工作效率，擬購買兩種型號智能機器人進行快遞分揀，相關信息如下：
信息一
A型機器人臺數 B型機器人臺數 總費用（單位：萬元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型機器人每臺每天可分揀快遞22萬件； B型機器人每臺每天可分揀快遞18萬件．
（1）求兩種型號智能機器人的單價；
（2）現該企業準備購買兩種型號智能機器人共10臺，需要每天分揀快遞不少于200萬件，則該企業最少需要購買幾臺A種型號智能機器人？
23．如圖，在平行四邊形中，連接，為邊上一點，連接并延長交的延長線于點，交于點，過點作交于點，．
（1）若，求的長；
（2）若，求平行四邊形的面積．
24．現將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，關于點中心對稱的拋物線記為．
（1）當，，，時，求拋物線和的解析式；
（2）當，，時，若直線與拋物線，和有且只有4個交點，求的取值范圍；
（3）當，時，若拋物線的解析式為，請寫出拋物線的解析式．
25． 如圖，直線與軸交于點，與軸交于點．過原點，點和點三點作，再過點作的切線，為上一動點，過作軸的垂線．交軸于點，連接，交于點．
（1）求證：；
（2）連接，，當時，恰好為等腰三角形，求此時的值；
（3）連接，，交于點，時，記的面積為．的面積為，求．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、a3+a3=2a3，錯誤；
B、2（a+1）=2a+2，錯誤；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，錯誤；
D、a6÷a3=a3，正確；
故選D．
【分析】根據同類項合并、多項式乘法、完全平方公式和同底數冪的除法計算判斷即可．
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠B=70°，
∴∠C=∠B=70°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠EDC=90°-70°=20°.
故答案為：B.
【分析】由平行線的性質“兩直線平行內錯角相等”可得∠C=∠B，由垂直的定義可得∠DEC=90°，然后根據直角三角形兩銳角互余可求解.
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵拋物線的開口向上，對稱軸在y軸左側，
∴，，
∴；
畫樹狀圖如下：
∴共有20種等可能結果，其中滿足且的結果有2種結果，
∴使拋物線的開口向上，對稱軸在y軸左側的概率為．
故答案為：B．
【分析】首先根據題意得，，然后利用畫樹狀圖法列舉出所有可能的情況，以及滿足條件的結果數，最后利用概率公式求解即可．
11．【答案】
12．【答案】90
13．【答案】20
14．【答案】
15．【答案】
【解析】【解答】解：由已知得，母線長l=AB==5，半徑r=BC=3，∴圓錐的側面積是．
故答案為：15π．
【分析】首先根據勾股定理算出AB的長，然后根據面動成體可得該圓錐的母線長l=AB，底面圓的半徑r=BC=3，從而根據圓錐側面積公式S=πlr（l為母線長，r為底面圓半徑）直接計算即可.
16．【答案】
【解析】【解答】解：過點作于點，軸于點，如圖，
∴∠BNC=∠BNO=∠BMO=∠MON=90°，
∴∠NBC=90°－∠NCB=45°=∠NCB，且四邊形OMBN為矩形，
∴OM=BN=CN，ON=BM.
是等腰直角三角形，
，，
∵∠POA=∠AMB=90°，
，
，
，
，
，
，
∵，
故答案為：．
【分析】過點作于點，軸于點，證明∠NBC=∠NCB，四邊形OMBN為矩形，可得OM=BN=CN，ON=BM.證明△APO≌△BAM，可得得，OA=BM，于是可得ON=BM=OA=3，然后根據即可求解．
17．【答案】解：原式
.
【解析】【分析】利用負整數指數冪，絕對值的性質，特殊銳角三角函數值，二次根式的性質計算，然后加減解題即可.
18．【答案】解：原式
；
當時，．
【解析】【分析】先利用平方差公式和多項式乘多項式法則化簡整式，再將代入化簡后的式子計算即可．
19．【答案】（1）解：，，，
.
（2）解：，，，
，
，，
，
，
，
飛船從處到處的平均速度．
【解析】【分析】（1）利用直角三角形中度角的直角邊等于斜邊的一半求解；
（2）先利用特殊角的三角函數求出OC，OB，再利用AB=OB-OA，求出AB，再求出飛船從處到處的平均速度．
20．【答案】（1）100
（2）解：100×30%=30（人）
1－40%－30%－5%=25%.
故補全條形統計圖和全扇形統計圖如圖：
（3）解：根據題意畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，其中同時選中甲和乙的結果數有2種，故概率為 ．
【解析】【解答】解：（1）40÷40%=100（人）
故答案為：100.
【分析】（1）用A組的人數÷對應所占的百分比，即可得到調查的總人數；
（2）用總人數×B組所占的百分比，可得到B組的人數；用1－其他各組的百分比可得C組所占的百分比；據此即可補全條形統計圖和頻數分布直方圖；
（3）畫樹狀圖得到所有可能的結果數，以及恰好選中甲和乙的結果數，再利用概率公式計算即可.
21．【答案】（1）證明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）首先根據等式的性質得出，再根據SAS即可證得；
（2）根據，可得，再根據三角形外角的性質即可得出．
22．【答案】（1）A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元；
（2）至少購進5臺A型智能機器人．
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵BG+DG=BD=20，
∴．
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，，.
∵，可設DF=3x，FC=2x，
∴，
∵，
∴，即，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根據平行線分線段成比例得出，結合BG+DG=BD=20，即可求出的長；
（2）根據平行四邊形的性質得出，，，繼而可得出，，.設DF=3x，FC=2x，可得AB=CD=5x。由可計算出DM和CM的值，由可得，于是可得，由得，最后根據即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：當，，，時，
∴，
∴頂點坐標為；
∵將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，
則拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
∵關于點中心對稱的拋物線記為，
則拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：當，，時，
∴，頂點坐標為（2，﹣1）.
∴頂點坐標（2，﹣1）關于直線對稱的點坐標為（2，2m+1），關于點（0，m）對稱的點坐標為（﹣2，2m+1）.
，，.
∵ 直線與拋物線，和有且只有4個交點，
∴和有兩個交點A，B（點A在點B左側），且交點的縱坐標為m，直線與拋物線另外兩個交點C，D（點C在點D左側），
∴，，
∴，，，
∴m>﹣1，，，，，
可畫圖如下：
或
∵，即，
可得：m≠3.
故直線與拋物線，和有且只有4個交點時，的取值范圍為或．
（3）解：當，時，
∴，
∴拋物線的頂點坐標為，
∵拋物線的解析式為，
∵與關于直線 對稱，
∴，，，
∴與關于點中心對稱，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為．
【解析】【分析】（1）首先將a，b，c的值代入并配方得到，然后根據軸對稱和關于點對稱的性質分別求出拋物線和的頂點坐標和二次項系數，即可得到和的解析式；
（2）根據題意分別求出，和的解析式，再根據直線與拋物線，和有且只有4個交點，可得和有兩個交點A，B（點A在點B左側），且交點的縱坐標為m，直線與拋物線另外兩個交點C，D（點C在點D左側），根據交點個數得，，；分別表示出A，B，C和D四點的橫坐標，并畫出圖形，再根據點A和點D不重合，可再確定一個m的取值范圍，即可得到答案.
（3）首先配方得到，求出拋物線的頂點坐標為，然后配方得到拋物線的解析式為，求出，，，進而求解即可．
（1）解：當，，，時，
∴，
∴頂點坐標為；
∵將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
∵關于點中心對稱的拋物線記為，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：當，，時，
∴，
如圖所示，當時，直線與拋物線，和沒有交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有2個交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有4個交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有3個交點；
如圖所示，當時，直線與拋物線，和有4個交點；
綜上所述，若直線與拋物線，和有且只有4個交點，的取值范圍為或．
（3）解：當，時，
∴，
∴拋物線的頂點坐標為，
∵拋物線的解析式為，
∵將拋物線關于直線的對稱拋物線記為，
∴，，，
如圖所示，
∵關于點中心對稱的拋物線記為，
∴拋物線的頂點坐標為，二次項系數為，
∴拋物線的解析式為．
25．【答案】（1）證明：∵為切線，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①當時，．
∵，
∴，
∴，
，，即；
②當時，如圖，
∵，
∴，
∴，，
過點A作，
∵，
∴為等腰直角三角形，
，即；
③當時，，
則是等腰直角三角形，
∴．
∴
∴
即，（舍去），
綜上所述：或．
（3）解：過點P作于H，；過點A作于點N，
∵，
設，
設，
∵為直徑
∴，
∵，
∴，
∴，
又
∴
∴，即
∴，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
則，
∴，
∵，
∴為中位線，
∴．
∴．
【解析】【分析】（1）根據切線的性質得到：，然后根據同角的補角相等即可求證；
（2）根據題意可知需分3種情況討論，①當時，，利用圓周角定理和等腰直角三角形的判定和性質即可求解；②當時，利用圓周角定理和全等三角形的性質求出，過點A作，利用等腰直角三角形的性質、矩形的判定和性質即可求解；，③當時，則是等腰直角三角形，，即可求解；
（3）過點P作于H，；過點A作于點N，設，則，，根據相似三角形的性質得到：，據此列出方程：，則，再證明，則，進而求出CF和PF的長度，最后根據三角形中位線定理和三角形面積計算公式計算即可.

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