資源簡介

內江六中高 2025 屆高三下期數學熱身考試 2
第一部分（選擇題 共 58 分）
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合 A x x 1， B x 2 x 2，則 R A B （ ）
A． 2,1
B． 2,1
C． 1, 2
D． , 2
2．已知i 為虛數單位，若1 i2 ai是純虛數，則實數a （ ）
A． 4
B． 2
C．1 D．2
3．函數 = 2 + e e sin 在區間 3.4,3.4 的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
4．若C1 + C2 2 + + C 能被 5 整除，則 x，n 的一組值可能為（ ）

A． = 2, = 6 B． = 4, = 6 C． = 8, = 4 D． = 14, = 4
5．已知A 為拋物線C : y2 2 px p 0上一點，點A 到C 的焦點的距離為 12，到 y 軸的距離為 9，則 p （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．已知平面向量- -+，- -+，- -+滿足 - -+ = 1， --+ - -+ = 0，- -+ - -+ = 1，- -+ - -+ = 1，則 - -+ + - -+ 的最小值為（ ）
A．1 B． 2 C．2 D．4
7．在VABC 中，若b 2 ， A 120，三角形的面積 S
3 ，則三角形外接圓的半徑為（ ）
(
3
)A． 3 B．2 C． 2 D． 2
8．在正四棱臺 1 1 1 1中， = 4， 1 1 = 2，若存在球 O 與該正四棱臺的各個面均相切，則點 1到平面 1 1的距離為（ ）
A．4 2
3
B． 3 C．4 5
5
D．8 17
17
二、多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部
選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分．
9．下列關于概率統計的知識，其中說法正確的是（ ）
(
3
)A． 數 據 3, 1,3,7,8,9,11,15 的 第 25 百 分 位 數 是 1； B．若一組樣本數據 , = 1,2, , 的對應樣本點都在直線 = 1 + 1 上，則這組樣本數據的相關
系數為 1；
3
C．已知隨機變量 , ，若 = 36, = 9，則 = 48；
D．某班有 50 名同學，一次考試后的數學成績服從正態分布 100, 102 ，則理論上說在 90 100 分的人數約為 17 人．（參考數據： ≤ ≤ + ≈ 0.6827， 2 ≤ ≤ + 2 ≈ 0.9545， 3 ≤ ≤ + 3 ≈ 0.9973)
10．函數 = 2cos + sin2 ∈ ，則（ ）
A． 的最小正周期是 2π B． 的值域是 3 3 , 3 3
2 2
C． 的圖象是軸對稱圖形，其中一條對稱軸是 = π
6
11．已知函數 f x e2 x 2ax 1，則下列說法正確的是（ ）
D． 的零點是π + π, ∈
2
A．若曲線 y f x在點0, f 0處的切線方程為 y 2x ，則a 1
B．若a 1，則函數 f x在0, 上單調遞增
C．若a e2 ，則函數 f x在1, 上的最小值為a a ln a 1
D．若 f x 0 ，則a 1
第二部分（非選擇題 共 92 分）
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12．已知1 ax 4 a
a x a x 2 a x 3 a x 4 ，若a 32 ，則a a
a a
．
0 1 2 3 4 3
1 2 3 4
13．已知數列 滿足 1 = 2， > 0 且 2 2 = 1 + 1，則 2 = .
+1 2
14．已知 ( ) = ln ， = e ，若對任意 1 ∈ (0, + ∞)，都存在 2 ∈ (0, + ∞)，使得 ( 1) ( 2) =
1 2，則實數 a 的取值范圍為 .
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13 分）在△ 中，角 , , 所對的邊分別為 ， ， ，且 = π， = 4.
3
(1)若 邊上的高 = 2 3，求證：△ 為等邊三角形；
(2)已知直線 為∠ 的平分線，且與 交于點 ，若 = 2 6，求△ 的周長.
3
16．（15 分）甲參加圍棋比賽，采用三局兩勝制，若每局比賽甲獲勝的概率為 (0 < < 1)，輸的概率為 1 ，每局比賽的結果是獨立的．
(1)當 = 2時，求甲最終獲勝的概率； 3
(2)為了增加比賽的趣味性，設置兩種積分獎勵方案．方案一：最終獲勝者得 3 分，失敗者得 2 分；方案二： 最終獲勝者得 1 分，失敗者得 0 分，請討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數學期望更大．
17．（15 分）已知函數 = e ln 1．
(1)設 = 2 是 的極值點．求 的值，并討論 的零點個數；
(2)證明：當 ≥ 1時， ≥ 0．
e
18．（本小題滿分 17 分）平面直角坐標系中，點 M 與定點 F ( 3, 0) 的距離和它到定直線 x 4 3 的距離之
3
比是常數 3 .
2
(1)求點 M 的軌跡方程；
(2)若不過點 A(2, 0)的直線l 交曲線M 于 P，Q 兩點；
①若以 P，Q 為直徑的圓過點A ，證明：直線l 過定點；
②在①條件下，作 AD PQ, D為垂足.是否存在定點T ，使得| DT |為定值？若存在，求點T 的坐標；若不存在，說明理由.
19．（17 分）在三棱柱 1 1 1中，點 在 1 上，且 1 = 2 ， 為線段 1 上的動點.
(1)若 為 1 的中點，
（i）在圖中畫出△ 1 的重心 ，并說明點 與線段 BE 的位置關系；
（ii）求證： //平面 .
(
3
)(2)若三棱柱 1 1 1是棱長均為 2 的正三棱柱，當二面角 1為π時，求 1到平面 的距離.內江六中高 2025屆高三下期數學熱身考試 2答案
選擇題：DBBC DCBA 9.ACD 10.ABD 11.BCD 填空題：12．0
13．4 1 1 14． e + 1 , + ∞
2 e
15．（1）證明：在△ 中， = ， = 4，
由余弦定理得 2 + 2 2cos = 42，即 2 + 2 = 16①.
又 || | | ，
即 ，故 = 16②.
由①②得( )2 + = 16，即( )2 = 0，故 = = 4 = .
所以△ 為等邊三角形.
（2）在△ 中，由 Δ = Δ + Δ，得 = sin∠ +
sin∠，又直線為∠的平分線，則∠ = ∠ = ，
所以 × = × × + × × ，即 = ( + )③，
2+2 2 2 + 2 = 16.④，又由余弦定
理可得 cos∠ = ，即
2
由③④可知 16 = ( + )2 3 = ( + )2 2 2( + )，解得 + = 4
2 或 + = 2 2（舍），所以△ 的周長為 + + = 4 2 + 4.
于是 = ∪ ， 與 為互斥事件，
由于 = C1
8
2 1 = ， =
2 = ，
27
則 = + = 3 2 2 3 = ，
20
即甲最終獲勝的概率為 ．
27
（2 ）由（1 ） 可知， = + = 3 2 2 3 ，
若選用方案一，記甲最終獲得積分為 分，則 可取 3 , 2 ，
= 3 = = 3 2 2 3 , = 2 = 1 3 2 + 2 3 ，
4 9
20 27
16．（1）記“甲最終以 2: 1 獲勝”為事件，記“甲最終以 2: 0 獲勝”為事件，“甲最終獲勝”為事件，
則的分布列為：
3 2
32 23 1 32 + 23
則 = 92 63 2 + 62 43 = 103 + 152 2，
若選用方案二，記甲最終獲得積分為分，則可取 1，0，
= 1 = = 32 23 = 0 = 1 32 + 23，則的分布列為：
1 0
32 23 1 32 + 23
則 = 32 23，所以 = 83 + 122
由于 0 < < 1，則 22 2 1 于是
1
2 = 4 22 2 1 ，
= ，，種種方案可可以選， 0 2
< < ，， < < 1 ，， = 2 1 1 < 0，
< ，應該選第二種方案，
> ，應該選第一種方案．
17． （ 1 ） 的定義域為 0 , + ∞ ，
' = e
1
，
1
由題設知， ' 2 = 0 ，所以 =
2 ， e2
1 ' 1 1從而 = 2 e ln 1 , = 2 e
，
2e 2e
0 < < 2 ，， ' < 0 ； > 2 ，， ' > 0 ，
可得 在 0, 2 上單調遞減，在 2 , + ∞ 上單調遞增，
1
= 2 = ln2 < 0 ， min 2
2
由易知 = e > 0 , e2 > 0 ，由零點存在定理可得函數有種個零點 2e2
1 e
（2 ）證明： ≥ ，， ≥
e e ln 1 ；
e 1
設 = ln 1 ，則 ' = ，
e
0 < < 1 ，， ' < 0 ； > 1 ，， ' > 0 ，
∴ = 1 是 的極小值點，也是最小值，
故 > 0 ，， ≥ 1 = 0 ，
因此， ≥ ，， ≥ 0
2 2
( x 3 ) y
18． 【 解】 （ 1 ） 令 M ( x, y )
，結合題設有 4 3 2 ，
( x
3
3 4
)
1 e
1 e
1 e e e
則 4(x 3)2 4y2 3x2 8 3x 16，
2 4y2 4 ，即點M 的軌跡方程 為 x2 y2 1.
所以 x
4
（2）若以 P，Q為直徑的圓過點 A ，且直線 PQ不過點 A 可知，直線的斜率不為
0，
可設 PQ: x ky m，P(x 2 1, y1),Q(x2, y2) ，聯立 x 4y2 4 ，
則 (ky m)2 4y2 4 ，整理得 (4 k2)y2 2mky m2 4 0 ，
且 4m2k2 4(k2 4)(m2 4) 0，則 m2 k2 4，
2mk m2 4
所以 y1 y2 2 ，y1y2 4 k2 ，
4 k

①由題意 AP AQ (x1 2,y1) (x2 2,y2) x1x2 2(x1 x2) 4 y1y2
(k2 1)y1y2 k(m 2)(y1 y2) m2 4m 4
m2 4 2 mk
2 k(m 2) 4 k 2 2 m 4m 4 0，
(k2 1)
4 k
所以 5m2 16m 12 (5m 6)(m 2) 0 ，即 m 或 m 2 （舍，直線過 A 點），所以
PQ : x ky ，故直線過定點 ( ,0) ，得證.
②由 AD PQ，且直線 PQ : x ky 過定點 C( ,0) ，故 D在以 AC為直
徑的圓上，且 AC中點為( ,0)，該點到 D的距離恒為 ，
所以，存在定點 T( ,0) 使| DT | .
19．（1）（i）連結 1， 1交于點 1，連結 1交 BE于點.
因為 1為 1的中點，為 1的中點，所以為△ 1的重
心，所以 = 21.
又因為 1為△ 1的中線，所以點也為△ 1的重心，
所以點在線段 BE上.
（ii）連結 1，并延長交 AC于點，連結 DG. 因為為△ 1
的重心，所以 1 = 2.
又因為 1 = 2，所以//，即//. 又因為 平面， 平面，所以//平面.
（2）取 AB的中點.
因為 111為棱長相等的正三棱柱，所以△ 為正三角形，所以又因為在
正三棱柱中 1 ⊥平面 ，所以 ⊥ 1， ⊥ 1. 以為坐標原點，建立如圖所示的空
間直角坐標系 .
則(0,0, 3)，(1,0,0)，1(1,2,0)，( 1,0,0)，1( 1,2,0)，
⊥ .
設 = 1，可知 ∈ (0,1)，所以(, 2, 3 3)，所以 = ( 2,0,0)， =
( + 1,2, 3 3).
= 0, 設平
面 的法向量為 = (, , )，則 所以
= 0,( + 1) + 2
令 = 1，則可得 = 0, 3 3 , 1 .
2
2 = 0,
易知平面 1的一個法向量為 = (0,0,1)， + ( 3 3) = 0.
所以 cos，解得 = 1（舍），或
= .
所以3, 1).又 1 = (2, 2,0)，
2 3
則 到平面 的距離 1
1 = || = 2 = 3.

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