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湖南省長沙市寧鄉市2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
1．（2024七下·寧鄉市期末）在實數，2，，中，無理數是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知識點】無理數的概念
【解析】【解答】解：在實數，2，3.1415926，中，無理數是，
故答案為：A．
【分析】根據無理數的定義：無理數指的是無限不循環小數，據此即可判斷
2．（2024七下·寧鄉市期末）如圖，直線a，b被直線c所截，與是（　　）
A．同位角 B．內錯角 C．同旁內角 D．對頂角
【答案】C
【知識點】同旁內角的概念
【解析】【解答】解：和位于直線a，b的內側，且在直線c的同一側，所以是同旁內角。
故答案為：C。
【分析】根據圖中和的位置，然后再根據同旁內角的定義，進行判斷即可。
3．（2024七下·寧鄉市期末）若，則下列各式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：若，
則，
，
，
，
∴B正確，A，C，D錯誤，
故答案為：B．
【分析】根據不等式的基本性質；不等式兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘（或除以）同一個大于零的數或整式，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘（或除以）同一個小于零的數或整式，不等號的方向改變，據此即可判斷
4．（2024七下·寧鄉市期末）在下列各組圖形中，能將其中一個圖形只經過平移得到另一個圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】圖形的平移
【解析】【解答】解：A、圖形的方向發生變化，不符合平移的性質，不屬于平移得到，故此選項不符合題意；
B、圖形的大小發生變化，不符合平移的性質，不屬于平移得到，故此選項不符合題意；
C、圖形的形狀和大小沒有變化，符合平移的性質，屬于平移得到，故此選項符合題意；
D、圖形的方向發生變化，不符合平移的性質，不屬于平移得到，故此選項不符合題意；
故答案為：C。
【分析】根據平移的性質：平移不改變圖形的形狀、大小和方向，據此對各個選項進行逐一分析即可
5．（2024七下·寧鄉市期末）下列調查中，適合全面調查的是（　　）
A．了解一沓鈔票中有沒有假鈔
B．了解七年級學生近視情況
C．了解剛生產的一批燈泡的使用壽命
D．了解公園花卉開花情況
【答案】A
【知識點】全面調查與抽樣調查
【解析】【解答】解：A、了解一沓鈔票中有沒有假鈔，適宜采用全面調查，故本選項符合題意；
B、了解七年級學生近視情況，適宜采用抽樣調查，故本選項不符合題意；
C、了解剛生產的一批燈泡的使用壽命，適宜采用抽樣調查，故本選項不符合題意；
D、了解公園花卉開花情況，適宜采用抽樣調查，故本選項不符合題意．
故答案為：A．
【分析】全面調查適用于必須了解每一個體情況的情況，而抽樣調查則適用于不可能或不需要對所有個體進行全面調查的情況。抽樣調查通過從總體中抽取樣本單位進行調查，然后用這些樣本的數據來估計總體相應的數字特征。它是一種非全面調查，旨在通過樣本數據推斷總體情況。在實際操作中，抽樣調查會面臨工作誤差和代表性誤差兩種類型的誤差，但這些誤差可以通過科學的設計和計算控制在允許范圍內，使得抽樣調查的結果通常比全面調查更準確。
6．（2024七下·寧鄉市期末）如圖，在體育課上對學生的立定跳遠進行測試，小明雙腳從起跳線，兩點起跳，，兩點是小明的兩腳后跟著地處，體育老師測量他的跳遠成績是線段的長而不是的長度，這樣測量的依據是（　　）
A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線
C．兩點之間距離的定義 D．點到直線的距離的定義
【答案】D
【知識點】點到直線的距離
【解析】【解答】解：∵直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，
∴這樣做依據是：點到直線的距離的定義．
故答案為：D．
【分析】根據點到直線的距離：點到直線的距離是指直線外一點到該直線的最短距離，即垂直距離 ，據此即可判斷
7．（2024七下·寧鄉市期末）已知，滿足方程，則代數式的值是（　　）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：
由可得：，
∴，
故答案為：C．
【分析】先對二元一次方程進行標注，然后再用，可得，然后兩邊同時除以3，據此即可求解
8．（2024七下·寧鄉市期末）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴數軸表示為：
故答案為：D。
【分析】先對不等式組進行標注，然后再分別對各個不等式進行求解，求出不等式組的解集，再在數軸上表示即可求解。
9．（2024七下·寧鄉市期末）已知，則的立方根為（　　）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】C
【知識點】算術平方根的性質（雙重非負性）；絕對值的非負性；加減消元法解二元一次方程組；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
∴①，②，
由①+②得：
整理得：，
解得：，
∴的立方根為2．
故答案為：C．
【分析】根據絕對值和平方根的性質，可得x+2y-9大于等于0，2x+y-15大于等于0，然后兩式子相加，最后再同時除以3，即可求出x+y的值，最后再根據立方根的求解方法求解即可
10．（2024七下·寧鄉市期末）如圖，將邊長為1的正方形沿軸正方向連續翻轉2024次，點依次落在點，的位置，則點的坐標是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】點的坐標；探索規律-點的坐標規律
【解析】【解答】解：因為正方形OAPB的邊長為1，
由圖可知P的坐標為，的坐標為，、的坐標為，的坐標為，的坐標為，正方形轉到時與的方位相同，此時正方形剛好轉完一周，即點的坐標是以個單位為周期往上加，
，
當旋轉周時對應的橫坐標為：，縱坐標為1，
即的坐標為，
故答案為：B。
【分析】先從圖中求出P的坐標為（-1，-1），進而求出的橫坐標為，、的坐標為，的坐標為，的坐標為，觀察圖形，可知正方形轉到時與的方位相同，正方形剛好順時針轉一周，即點的坐標是以個單位為周期，用2023除以4，求出周期，進而求出此時的點對應的橫坐標，據此即可求解。
11．（2024七下·寧鄉市期末）2的相反數是　 　．
【答案】-2
【知識點】相反數及有理數的相反數
【解析】【解答】解：﹣2的相反數是2．
【分析】根據相反數的定義可知．主要考查相反數的定義：只有符號相反的兩個數互為相反數.0的相反數是其本身．
12．（2024七下·寧鄉市期末）在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位得到點，則點的坐標為　 　．
【答案】
【知識點】用坐標表示平移
【解析】【解答】解：因為點由點向右平移2個單位得到，且點的坐標為，
所以，
所以點的坐標為．
故答案為：．
【分析】根據“左加右減”的平移規則，將A點向右平移，則將A的橫坐標向加上2，縱坐標不變，據此即可求解
13．（2024七下·寧鄉市期末）a＞b,且c為實數，則ac2　 　bc2.
【答案】≥
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】∵c為實數，
∴c2≥0，
∵a＞b,
∴ac2≥bc2.
故答案為：≥.
【分析】根據不等式的性質解答即可.
14．（2024七下·寧鄉市期末）為估算湖里有多少條魚，先捕上50條做了標記，然后再放回湖里，過一段時間（魚群完全混合）后，再捕上100條魚，發現其中帶標記的魚有5條，那么湖里大約有　 　條魚．
【答案】1000
【知識點】用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：可估計湖里大約有魚：
（條），
故答案為：1000．
【分析】用5除以100，求出有標記的占比，然后再用50除以有標記的占比，即可求出總數．
15．（2024七下·寧鄉市期末）如圖所示為八年級數學興趣小組繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面與平行，入射光線與反射光線平行．如入射光線與鏡面的夾角，則的度數為　 　．（提示：根據光的反射定理知，）
【答案】
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：根據光的反射定理知，
，
∵，
。
故答案為：。
【分析】根據光的反射定理，可知，然后再根據平角定義，求出的度數，最后根據平行線的性質，即可求出 的度數。
16．（2024七下·寧鄉市期末）《水滸傳》中關于神行太保戴宗有這樣一段描述：程途八百里，朝去暮還來．某日，戴宗去160里之外的地方打探情報，去時順風，用了2小時；回來時逆風，用了4小時，則戴宗在無風時的平均速度為　 　里/小時．
【答案】60
【知識點】二元一次方程組的實際應用-行程問題；二元一次方程組的應用-古代數學問題
【解析】【解答】解：戴宗順風行走的速度為：（里小時），
戴宗逆風行走的速度為：（里小時），
設戴宗的速度為里小時，風速為里小時，
由題意得：，
解得：，
設戴宗的速度為60里小時，
答：戴宗的速度為60里小時。
故答案為：60。
【分析】設戴宗的速度為里小時，風速為里小時，根據順風行走的速度等于戴宗的速度加上風速，逆風行走的速度等于戴宗的速度減去風速，列出二元一次方程組：，然后再解方程組即可。
17．（2024七下·寧鄉市期末）計算：．
【答案】解：
【知識點】實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】根據立方根，算術平方根，絕對值的定義，對各個式子進行運算，然后再進行解答即可。
18．（2024七下·寧鄉市期末）解不等式（組）：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
解，
可得，
解，
可得，
∴不等式組的解集為：
【知識點】解一元一次不等式；解一元一次不等式組
【解析】【分析】（1）不等式兩邊同時乘以6，然后再去括號，合并同類項，移項，最后再將系數化為1即可求解
（2）先對第一個不等式進行移項，求解；對第二個不等式兩邊同時乘以6，然后再進行去括號，移項，合并同類項，最后再將系數化為1，求出第二個不等式的解集，最后再取這兩個不等式的公共部分，即可求解
（1）解：
（2）解：
解可得，
解可得，
∴不等式組的解集為
19．（2024七下·寧鄉市期末）如圖是游樂園的一角．
（1）如果用表示跳跳床的位置，那么蹺蹺板用數對___________表示，碰碰車用數對___________表示，摩天輪用數對___________表示．
（2）請你在圖中標出秋千的位置，秋千在大門以東，再往北處．
【答案】（1）
（2）解：畫圖如下：
【知識點】有序數對
【解析】【解答】解：（1）如果用表示跳跳床的位置，那么蹺蹺板用數對表示，碰碰車用數對表示，摩天輪用數對表示；
故答案為：；
【分析】（1）根據數對的表示方法：橫軸表示橫坐標，豎軸表示縱坐標，對照數軸上標示的數據，即可求解
（2）根據每一格表示米，然后再根據大門的位值，從而確定秋千的位置
（1）解：如果用表示跳跳床的位置，那么蹺蹺板用數對表示，碰碰車用數對表示，摩天輪用數對表示；
故答案為：；
（2）
20．（2024七下·寧鄉市期末）已知的立方根是3，的算術平方根是4，c是的整數部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是3，的算術平方根是4，
∴，，
∴，，
∵c是的整數部分，
∴．
（2）解：將a＝5，b＝2，c＝3代入得：，
∴的平方根是．
【知識點】平方根；算術平方根；立方根及開立方；無理數的估值
【解析】【分析】（1）首先立方根的定義，求得a的值；再根據算數平方根的定義求得b的值，最后根據實數的估算可求出c的值；
（2）根據（1）的結果，代入3a-b+c中，先求出代數式的值，然后根據平方根的定義，得出它的平方根即可。
21．（2024七下·寧鄉市期末）如圖，已知，．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數．
【答案】（1）證明：，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，，
，即，
．
【知識點】平行線的判定與性質
【解析】【分析】（1）先根據，同旁內角互補，可得，然后再根據已知條件，即可得到，根據內錯角相等，兩直線平行，即可得到；
（2）根據 及 ，可求出，再根據 ，同位角相等，即可證明，再由 ，即可證明，即可求出．
（1）證明：，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，，
，即，
．
22．（2024七下·寧鄉市期末）倡導經典誦讀，傳承中華文化，某市在4月23日世界讀書日開展讀書活動，并隨機抽取了七年級40個班進行調查，統計了全班一個學期內借閱圖書數量，根據調查結果繪制成如下不完整的統計圖表與統計圖．
頻數分布表
類型 借閱圖書數量 頻數
A
B
C 12
D 10
請結合上述信息完成下列問題：
（1）__________，__________；
（2）補全頻數分布直方圖；
（3）該市要對借閱圖書數量達到優秀（不低于140本）的班級進行表彰，按借閱圖書數量從高到低設一、二、三等獎，并且一、二、三等獎的班級比例為，若該市七年級有300個班，根據抽樣調查結果，請估計該市獲得一等獎的班級有多少個．
【答案】（1）4，14
（2）解：補全圖形如下：
；
（3）解：借閱圖書數量達到優秀（不低于140本）的班級的對應百分比為：
（12+10）÷40×100%
=22÷40×100%
=0.55×100%
=55%
估計該市獲得表彰的班級數為：（個）．
所以該市獲得一等獎的班級大約有（個）．
【知識點】頻數（率）分布表；頻數（率）分布直方圖；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：由題意知，，．
故答案為：4，14；
【分析】（1）從條狀圖中可直接讀出a的值，然后用40個頻數減去A的頻數再減去C的頻數，再減去D的頻數，即可求出B的頻數
（2）根據（1）求出的結果，即可補全圖形；
（3）根據優秀的標準，即不低于140本，找出大于等于140本的頻數，然后求出優秀的班級對應的百分比：（12+10）÷40×100%，用七年級的總班數乘以優秀班級的占比，求出獲得表彰的班級數，然后再根據“ 一、二、三等獎的班級比例為2：3：5 ”，用獲得表彰的班級數乘以，即可求出一等獎的班級數
（1）解：由題意知，，．
故答案為：4，14；
（2）解：補全圖形如下：
；
（3）解：借閱圖書數量達到優秀（不低于140本）的班級的對應百分比為，
估計該市獲得表彰的班級數為（個）．
所以該市獲得一等獎的班級大約有（個）．
23．（2024七下·寧鄉市期末）已知：，，
（1）在坐標系中描出各點，畫出．
（2）求的面積；
（3）設點P在坐標軸上，當與的面積相等時，直接寫出點P的坐標．
【答案】（1）解：如圖所示：為所求，
（2）解：過點向、軸作垂線，垂足為、．
四邊形的面積，的面積，
的面積，的面積
的面積四邊形的面積的面積的面積的面積
。
（3）或或或．
【知識點】坐標與圖形性質；三角形的面積；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】解：（3）當點在軸上時，的面積，
即：，解得：，
所以點的坐標為或；
當點在軸上時，的面積，
即，解得：．
所以點的坐標為或．
所以點的坐標為或或或。
【分析】（1）根據A、B、C三點的坐標，然后在坐標軸上進行描點，最后再將各個點進行連線即可
（2）過點向、軸作垂線，垂足為、，再利用割補法，分別求出四邊形DOEC、三角形BCD、三角形ACE和三角形AOB的面積，然后再用四邊形DOEC減去三角形BCD減去三角形ACE減去三角形AOB的面積，即可求出三角形ABC的面積。
（3）根據題干條件，可分兩種情況討論：當點在軸上時，的面積，當點在軸上時，的面積，代入數據，求出BP和AP的值，進而即可求出P點的坐標
24．（2024七下·寧鄉市期末）新能源汽車因其環保、節能，被越來越多的家庭所喜愛，老寧車行銷售甲、乙兩種型號的新能源汽車，十月的第一周售出3輛甲型車和2輛乙型車，銷售額為98萬元；第二周售出5輛甲型車和4輛乙型車，銷售額為174萬元．
（1）求每輛甲型車和乙型車的售價各為多少萬元？
（2）湖湘科技發展有限公司準備向老寧車行購買甲、乙兩種型號的新能源汽車共12輛，其購車費用不少于216萬元，且不超過225萬元，問有哪幾種購車方案？
【答案】（1）解：設每輛甲型車的售價為x萬元，每輛乙型車的售價為y萬元，根據題意得：
解得：，
答：每輛甲型車的售價為22萬元，每輛乙型車的售價為16萬元；
（2）解：設購買甲型車a輛，則購買乙型車為輛，依題意，可得：
，
解得：
∵a為正整數，
∴a取4或5．
∴有兩種購車方案：
方案一：購買甲型車4輛，購買乙型車8輛；
方案二：購買甲型車5輛，購買乙型車7輛．
【知識點】一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的應用-和差倍分問題
【解析】【分析】（1）設每輛甲型車的售價為x萬元，每輛乙型車的售價為y萬元，根據“第一周售出3輛甲型車和2輛乙型車，銷售額為98萬元”，建立方程：3x+2y=98；根據“第二周售出5輛甲型車和4輛乙型車，銷售額為174萬元”，建立方程：5x+4y=174，然后再解這兩個方程即可求解
（2）設購買甲型車a輛，則購買乙型車為（12-a）輛，根據“購車費用不少于216萬元，且不超過225萬元”，建立不等式：，求出a的解集，然后再根據a的取值特征，求出a的整數值，即可求出方案數
（1）解：設每輛甲型車的售價為x萬元，每輛乙型車的售價為y萬元，根據題意得：
解得：，
答：每輛甲型車的售價為22萬元，每輛乙型車的售價為16萬元；
（2）解：設購買甲型車a輛，則購買乙型車為輛，依題意得：
，
解得：
∵a為正整數，
∴a取4或5．
∴有兩種購車方案：
方案一：購買甲型車4輛，購買乙型車8輛；
方案二：購買甲型車5輛，購買乙型車7輛．
25．（2024七下·寧鄉市期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，且，滿足：，點在軸的負半軸上，連接，．
（1）如圖1，若，求點的坐標．
（2）如圖2，點在上，點在上，連接，過點作軸于點，若，求證：．
（3）在（1）的條件下，點從點出發以每秒1個單位長度的速度沿方向移動，同時點從點出發以每秒2個單位長度的速度在間往返移動，即先沿方向移動，到達點點后反向移動．設移動的時間為，四邊形與的面積分別記為，，是否存在時間，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）解：，
，
解得，
，，
，
，
，
。
（2）證明：軸，
軸，
，
，
，
，
。
（3）解：存在．
理由：由題意秒點到達點，當時點達點，秒點到達點秒點再次到達點，
故當，，，由，
解得；
當，，，由，
解得，舍棄；
當，，，由，
解得，符合題意；
當，，，
解得，舍棄；
當，的最大值為17.5，的最小值為35，不存在．
綜上，或時，使．
【知識點】坐標與圖形性質；平行線的判定與性質；算術平方根的性質（雙重非負性）；絕對值的非負性；一元一次方程的實際應用-行程問題
【解析】【分析】（1）根據絕對值和平方根的性質，分別令2a-b-6=0和a+2b-13=0，求出a和b的值，進而求出A和B的坐標，然后再根據 ，即可求出OC的長，進而即可確定C的坐標
（2）先根據軸 ，根據同位角相等，可得；再根據，再根據 ，即可證明，最后再根據平行線的判定定理：內錯角相等，兩直線平行，即可證明
（3）根據題意，可得，秒點到達點，當時點達點，秒點到達點秒點再次到達點，然后再分五種情形：當，當，當，當，當，分別求解即可．
（1）解：，
，
解得，
，，
，
，
，
；
（2）證明：軸，
軸，
，
，
，
，
；
（3）解：存在．
理由：由題意秒點到達點，當時點達點，秒點到達點秒點再次到達點，
故當，，，由，
解得；
當，，，由，
解得，舍棄；
當，，，由，
解得，符合題意；
當，，，
解得，舍棄；
當，的最大值為17.5，的最小值為35，不存在．
綜上，或時，使．
1 / 1湖南省長沙市寧鄉市2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
1．（2024七下·寧鄉市期末）在實數，2，，中，無理數是（　　）
A． B．2 C． D．
2．（2024七下·寧鄉市期末）如圖，直線a，b被直線c所截，與是（　　）
A．同位角 B．內錯角 C．同旁內角 D．對頂角
3．（2024七下·寧鄉市期末）若，則下列各式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·寧鄉市期末）在下列各組圖形中，能將其中一個圖形只經過平移得到另一個圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·寧鄉市期末）下列調查中，適合全面調查的是（　　）
A．了解一沓鈔票中有沒有假鈔
B．了解七年級學生近視情況
C．了解剛生產的一批燈泡的使用壽命
D．了解公園花卉開花情況
6．（2024七下·寧鄉市期末）如圖，在體育課上對學生的立定跳遠進行測試，小明雙腳從起跳線，兩點起跳，，兩點是小明的兩腳后跟著地處，體育老師測量他的跳遠成績是線段的長而不是的長度，這樣測量的依據是（　　）
A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線
C．兩點之間距離的定義 D．點到直線的距離的定義
7．（2024七下·寧鄉市期末）已知，滿足方程，則代數式的值是（　　）
A．3 B．1 C． D．
8．（2024七下·寧鄉市期末）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·寧鄉市期末）已知，則的立方根為（　　）
A． B．0 C．2 D．3
10．（2024七下·寧鄉市期末）如圖，將邊長為1的正方形沿軸正方向連續翻轉2024次，點依次落在點，的位置，則點的坐標是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·寧鄉市期末）2的相反數是　 　．
12．（2024七下·寧鄉市期末）在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位得到點，則點的坐標為　 　．
13．（2024七下·寧鄉市期末）a＞b,且c為實數，則ac2　 　bc2.
14．（2024七下·寧鄉市期末）為估算湖里有多少條魚，先捕上50條做了標記，然后再放回湖里，過一段時間（魚群完全混合）后，再捕上100條魚，發現其中帶標記的魚有5條，那么湖里大約有　 　條魚．
15．（2024七下·寧鄉市期末）如圖所示為八年級數學興趣小組繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面與平行，入射光線與反射光線平行．如入射光線與鏡面的夾角，則的度數為　 　．（提示：根據光的反射定理知，）
16．（2024七下·寧鄉市期末）《水滸傳》中關于神行太保戴宗有這樣一段描述：程途八百里，朝去暮還來．某日，戴宗去160里之外的地方打探情報，去時順風，用了2小時；回來時逆風，用了4小時，則戴宗在無風時的平均速度為　 　里/小時．
17．（2024七下·寧鄉市期末）計算：．
18．（2024七下·寧鄉市期末）解不等式（組）：
（1）
（2）
19．（2024七下·寧鄉市期末）如圖是游樂園的一角．
（1）如果用表示跳跳床的位置，那么蹺蹺板用數對___________表示，碰碰車用數對___________表示，摩天輪用數對___________表示．
（2）請你在圖中標出秋千的位置，秋千在大門以東，再往北處．
20．（2024七下·寧鄉市期末）已知的立方根是3，的算術平方根是4，c是的整數部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
21．（2024七下·寧鄉市期末）如圖，已知，．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數．
22．（2024七下·寧鄉市期末）倡導經典誦讀，傳承中華文化，某市在4月23日世界讀書日開展讀書活動，并隨機抽取了七年級40個班進行調查，統計了全班一個學期內借閱圖書數量，根據調查結果繪制成如下不完整的統計圖表與統計圖．
頻數分布表
類型 借閱圖書數量 頻數
A
B
C 12
D 10
請結合上述信息完成下列問題：
（1）__________，__________；
（2）補全頻數分布直方圖；
（3）該市要對借閱圖書數量達到優秀（不低于140本）的班級進行表彰，按借閱圖書數量從高到低設一、二、三等獎，并且一、二、三等獎的班級比例為，若該市七年級有300個班，根據抽樣調查結果，請估計該市獲得一等獎的班級有多少個．
23．（2024七下·寧鄉市期末）已知：，，
（1）在坐標系中描出各點，畫出．
（2）求的面積；
（3）設點P在坐標軸上，當與的面積相等時，直接寫出點P的坐標．
24．（2024七下·寧鄉市期末）新能源汽車因其環保、節能，被越來越多的家庭所喜愛，老寧車行銷售甲、乙兩種型號的新能源汽車，十月的第一周售出3輛甲型車和2輛乙型車，銷售額為98萬元；第二周售出5輛甲型車和4輛乙型車，銷售額為174萬元．
（1）求每輛甲型車和乙型車的售價各為多少萬元？
（2）湖湘科技發展有限公司準備向老寧車行購買甲、乙兩種型號的新能源汽車共12輛，其購車費用不少于216萬元，且不超過225萬元，問有哪幾種購車方案？
25．（2024七下·寧鄉市期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，且，滿足：，點在軸的負半軸上，連接，．
（1）如圖1，若，求點的坐標．
（2）如圖2，點在上，點在上，連接，過點作軸于點，若，求證：．
（3）在（1）的條件下，點從點出發以每秒1個單位長度的速度沿方向移動，同時點從點出發以每秒2個單位長度的速度在間往返移動，即先沿方向移動，到達點點后反向移動．設移動的時間為，四邊形與的面積分別記為，，是否存在時間，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】無理數的概念
【解析】【解答】解：在實數，2，3.1415926，中，無理數是，
故答案為：A．
【分析】根據無理數的定義：無理數指的是無限不循環小數，據此即可判斷
2．【答案】C
【知識點】同旁內角的概念
【解析】【解答】解：和位于直線a，b的內側，且在直線c的同一側，所以是同旁內角。
故答案為：C。
【分析】根據圖中和的位置，然后再根據同旁內角的定義，進行判斷即可。
3．【答案】B
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：若，
則，
，
，
，
∴B正確，A，C，D錯誤，
故答案為：B．
【分析】根據不等式的基本性質；不等式兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘（或除以）同一個大于零的數或整式，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘（或除以）同一個小于零的數或整式，不等號的方向改變，據此即可判斷
4．【答案】C
【知識點】圖形的平移
【解析】【解答】解：A、圖形的方向發生變化，不符合平移的性質，不屬于平移得到，故此選項不符合題意；
B、圖形的大小發生變化，不符合平移的性質，不屬于平移得到，故此選項不符合題意；
C、圖形的形狀和大小沒有變化，符合平移的性質，屬于平移得到，故此選項符合題意；
D、圖形的方向發生變化，不符合平移的性質，不屬于平移得到，故此選項不符合題意；
故答案為：C。
【分析】根據平移的性質：平移不改變圖形的形狀、大小和方向，據此對各個選項進行逐一分析即可
5．【答案】A
【知識點】全面調查與抽樣調查
【解析】【解答】解：A、了解一沓鈔票中有沒有假鈔，適宜采用全面調查，故本選項符合題意；
B、了解七年級學生近視情況，適宜采用抽樣調查，故本選項不符合題意；
C、了解剛生產的一批燈泡的使用壽命，適宜采用抽樣調查，故本選項不符合題意；
D、了解公園花卉開花情況，適宜采用抽樣調查，故本選項不符合題意．
故答案為：A．
【分析】全面調查適用于必須了解每一個體情況的情況，而抽樣調查則適用于不可能或不需要對所有個體進行全面調查的情況。抽樣調查通過從總體中抽取樣本單位進行調查，然后用這些樣本的數據來估計總體相應的數字特征。它是一種非全面調查，旨在通過樣本數據推斷總體情況。在實際操作中，抽樣調查會面臨工作誤差和代表性誤差兩種類型的誤差，但這些誤差可以通過科學的設計和計算控制在允許范圍內，使得抽樣調查的結果通常比全面調查更準確。
6．【答案】D
【知識點】點到直線的距離
【解析】【解答】解：∵直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，
∴這樣做依據是：點到直線的距離的定義．
故答案為：D．
【分析】根據點到直線的距離：點到直線的距離是指直線外一點到該直線的最短距離，即垂直距離 ，據此即可判斷
7．【答案】C
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：
由可得：，
∴，
故答案為：C．
【分析】先對二元一次方程進行標注，然后再用，可得，然后兩邊同時除以3，據此即可求解
8．【答案】D
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴數軸表示為：
故答案為：D。
【分析】先對不等式組進行標注，然后再分別對各個不等式進行求解，求出不等式組的解集，再在數軸上表示即可求解。
9．【答案】C
【知識點】算術平方根的性質（雙重非負性）；絕對值的非負性；加減消元法解二元一次方程組；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
∴①，②，
由①+②得：
整理得：，
解得：，
∴的立方根為2．
故答案為：C．
【分析】根據絕對值和平方根的性質，可得x+2y-9大于等于0，2x+y-15大于等于0，然后兩式子相加，最后再同時除以3，即可求出x+y的值，最后再根據立方根的求解方法求解即可
10．【答案】B
【知識點】點的坐標；探索規律-點的坐標規律
【解析】【解答】解：因為正方形OAPB的邊長為1，
由圖可知P的坐標為，的坐標為，、的坐標為，的坐標為，的坐標為，正方形轉到時與的方位相同，此時正方形剛好轉完一周，即點的坐標是以個單位為周期往上加，
，
當旋轉周時對應的橫坐標為：，縱坐標為1，
即的坐標為，
故答案為：B。
【分析】先從圖中求出P的坐標為（-1，-1），進而求出的橫坐標為，、的坐標為，的坐標為，的坐標為，觀察圖形，可知正方形轉到時與的方位相同，正方形剛好順時針轉一周，即點的坐標是以個單位為周期，用2023除以4，求出周期，進而求出此時的點對應的橫坐標，據此即可求解。
11．【答案】-2
【知識點】相反數及有理數的相反數
【解析】【解答】解：﹣2的相反數是2．
【分析】根據相反數的定義可知．主要考查相反數的定義：只有符號相反的兩個數互為相反數.0的相反數是其本身．
12．【答案】
【知識點】用坐標表示平移
【解析】【解答】解：因為點由點向右平移2個單位得到，且點的坐標為，
所以，
所以點的坐標為．
故答案為：．
【分析】根據“左加右減”的平移規則，將A點向右平移，則將A的橫坐標向加上2，縱坐標不變，據此即可求解
13．【答案】≥
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】∵c為實數，
∴c2≥0，
∵a＞b,
∴ac2≥bc2.
故答案為：≥.
【分析】根據不等式的性質解答即可.
14．【答案】1000
【知識點】用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：可估計湖里大約有魚：
（條），
故答案為：1000．
【分析】用5除以100，求出有標記的占比，然后再用50除以有標記的占比，即可求出總數．
15．【答案】
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：根據光的反射定理知，
，
∵，
。
故答案為：。
【分析】根據光的反射定理，可知，然后再根據平角定義，求出的度數，最后根據平行線的性質，即可求出 的度數。
16．【答案】60
【知識點】二元一次方程組的實際應用-行程問題；二元一次方程組的應用-古代數學問題
【解析】【解答】解：戴宗順風行走的速度為：（里小時），
戴宗逆風行走的速度為：（里小時），
設戴宗的速度為里小時，風速為里小時，
由題意得：，
解得：，
設戴宗的速度為60里小時，
答：戴宗的速度為60里小時。
故答案為：60。
【分析】設戴宗的速度為里小時，風速為里小時，根據順風行走的速度等于戴宗的速度加上風速，逆風行走的速度等于戴宗的速度減去風速，列出二元一次方程組：，然后再解方程組即可。
17．【答案】解：
【知識點】實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】根據立方根，算術平方根，絕對值的定義，對各個式子進行運算，然后再進行解答即可。
18．【答案】（1）解：
（2）解：
解，
可得，
解，
可得，
∴不等式組的解集為：
【知識點】解一元一次不等式；解一元一次不等式組
【解析】【分析】（1）不等式兩邊同時乘以6，然后再去括號，合并同類項，移項，最后再將系數化為1即可求解
（2）先對第一個不等式進行移項，求解；對第二個不等式兩邊同時乘以6，然后再進行去括號，移項，合并同類項，最后再將系數化為1，求出第二個不等式的解集，最后再取這兩個不等式的公共部分，即可求解
（1）解：
（2）解：
解可得，
解可得，
∴不等式組的解集為
19．【答案】（1）
（2）解：畫圖如下：
【知識點】有序數對
【解析】【解答】解：（1）如果用表示跳跳床的位置，那么蹺蹺板用數對表示，碰碰車用數對表示，摩天輪用數對表示；
故答案為：；
【分析】（1）根據數對的表示方法：橫軸表示橫坐標，豎軸表示縱坐標，對照數軸上標示的數據，即可求解
（2）根據每一格表示米，然后再根據大門的位值，從而確定秋千的位置
（1）解：如果用表示跳跳床的位置，那么蹺蹺板用數對表示，碰碰車用數對表示，摩天輪用數對表示；
故答案為：；
（2）
20．【答案】（1）解：∵的立方根是3，的算術平方根是4，
∴，，
∴，，
∵c是的整數部分，
∴．
（2）解：將a＝5，b＝2，c＝3代入得：，
∴的平方根是．
【知識點】平方根；算術平方根；立方根及開立方；無理數的估值
【解析】【分析】（1）首先立方根的定義，求得a的值；再根據算數平方根的定義求得b的值，最后根據實數的估算可求出c的值；
（2）根據（1）的結果，代入3a-b+c中，先求出代數式的值，然后根據平方根的定義，得出它的平方根即可。
21．【答案】（1）證明：，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，，
，即，
．
【知識點】平行線的判定與性質
【解析】【分析】（1）先根據，同旁內角互補，可得，然后再根據已知條件，即可得到，根據內錯角相等，兩直線平行，即可得到；
（2）根據 及 ，可求出，再根據 ，同位角相等，即可證明，再由 ，即可證明，即可求出．
（1）證明：，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，，
，即，
．
22．【答案】（1）4，14
（2）解：補全圖形如下：
；
（3）解：借閱圖書數量達到優秀（不低于140本）的班級的對應百分比為：
（12+10）÷40×100%
=22÷40×100%
=0.55×100%
=55%
估計該市獲得表彰的班級數為：（個）．
所以該市獲得一等獎的班級大約有（個）．
【知識點】頻數（率）分布表；頻數（率）分布直方圖；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：由題意知，，．
故答案為：4，14；
【分析】（1）從條狀圖中可直接讀出a的值，然后用40個頻數減去A的頻數再減去C的頻數，再減去D的頻數，即可求出B的頻數
（2）根據（1）求出的結果，即可補全圖形；
（3）根據優秀的標準，即不低于140本，找出大于等于140本的頻數，然后求出優秀的班級對應的百分比：（12+10）÷40×100%，用七年級的總班數乘以優秀班級的占比，求出獲得表彰的班級數，然后再根據“ 一、二、三等獎的班級比例為2：3：5 ”，用獲得表彰的班級數乘以，即可求出一等獎的班級數
（1）解：由題意知，，．
故答案為：4，14；
（2）解：補全圖形如下：
；
（3）解：借閱圖書數量達到優秀（不低于140本）的班級的對應百分比為，
估計該市獲得表彰的班級數為（個）．
所以該市獲得一等獎的班級大約有（個）．
23．【答案】（1）解：如圖所示：為所求，
（2）解：過點向、軸作垂線，垂足為、．
四邊形的面積，的面積，
的面積，的面積
的面積四邊形的面積的面積的面積的面積
。
（3）或或或．
【知識點】坐標與圖形性質；三角形的面積；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】解：（3）當點在軸上時，的面積，
即：，解得：，
所以點的坐標為或；
當點在軸上時，的面積，
即，解得：．
所以點的坐標為或．
所以點的坐標為或或或。
【分析】（1）根據A、B、C三點的坐標，然后在坐標軸上進行描點，最后再將各個點進行連線即可
（2）過點向、軸作垂線，垂足為、，再利用割補法，分別求出四邊形DOEC、三角形BCD、三角形ACE和三角形AOB的面積，然后再用四邊形DOEC減去三角形BCD減去三角形ACE減去三角形AOB的面積，即可求出三角形ABC的面積。
（3）根據題干條件，可分兩種情況討論：當點在軸上時，的面積，當點在軸上時，的面積，代入數據，求出BP和AP的值，進而即可求出P點的坐標
24．【答案】（1）解：設每輛甲型車的售價為x萬元，每輛乙型車的售價為y萬元，根據題意得：
解得：，
答：每輛甲型車的售價為22萬元，每輛乙型車的售價為16萬元；
（2）解：設購買甲型車a輛，則購買乙型車為輛，依題意，可得：
，
解得：
∵a為正整數，
∴a取4或5．
∴有兩種購車方案：
方案一：購買甲型車4輛，購買乙型車8輛；
方案二：購買甲型車5輛，購買乙型車7輛．
【知識點】一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的應用-和差倍分問題
【解析】【分析】（1）設每輛甲型車的售價為x萬元，每輛乙型車的售價為y萬元，根據“第一周售出3輛甲型車和2輛乙型車，銷售額為98萬元”，建立方程：3x+2y=98；根據“第二周售出5輛甲型車和4輛乙型車，銷售額為174萬元”，建立方程：5x+4y=174，然后再解這兩個方程即可求解
（2）設購買甲型車a輛，則購買乙型車為（12-a）輛，根據“購車費用不少于216萬元，且不超過225萬元”，建立不等式：，求出a的解集，然后再根據a的取值特征，求出a的整數值，即可求出方案數
（1）解：設每輛甲型車的售價為x萬元，每輛乙型車的售價為y萬元，根據題意得：
解得：，
答：每輛甲型車的售價為22萬元，每輛乙型車的售價為16萬元；
（2）解：設購買甲型車a輛，則購買乙型車為輛，依題意得：
，
解得：
∵a為正整數，
∴a取4或5．
∴有兩種購車方案：
方案一：購買甲型車4輛，購買乙型車8輛；
方案二：購買甲型車5輛，購買乙型車7輛．
25．【答案】（1）解：，
，
解得，
，，
，
，
，
。
（2）證明：軸，
軸，
，
，
，
，
。
（3）解：存在．
理由：由題意秒點到達點，當時點達點，秒點到達點秒點再次到達點，
故當，，，由，
解得；
當，，，由，
解得，舍棄；
當，，，由，
解得，符合題意；
當，，，
解得，舍棄；
當，的最大值為17.5，的最小值為35，不存在．
綜上，或時，使．
【知識點】坐標與圖形性質；平行線的判定與性質；算術平方根的性質（雙重非負性）；絕對值的非負性；一元一次方程的實際應用-行程問題
【解析】【分析】（1）根據絕對值和平方根的性質，分別令2a-b-6=0和a+2b-13=0，求出a和b的值，進而求出A和B的坐標，然后再根據 ，即可求出OC的長，進而即可確定C的坐標
（2）先根據軸 ，根據同位角相等，可得；再根據，再根據 ，即可證明，最后再根據平行線的判定定理：內錯角相等，兩直線平行，即可證明
（3）根據題意，可得，秒點到達點，當時點達點，秒點到達點秒點再次到達點，然后再分五種情形：當，當，當，當，當，分別求解即可．
（1）解：，
，
解得，
，，
，
，
，
；
（2）證明：軸，
軸，
，
，
，
，
；
（3）解：存在．
理由：由題意秒點到達點，當時點達點，秒點到達點秒點再次到達點，
故當，，，由，
解得；
當，，，由，
解得，舍棄；
當，，，由，
解得，符合題意；
當，，，
解得，舍棄；
當，的最大值為17.5，的最小值為35，不存在．
綜上，或時，使．
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